5.1 轴对称及其性质 课时同步训练2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.1 轴对称及其性质 【知识点1】【教材重现】如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴（教材P121） 【★数学技巧】轴对称图形的判断：可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分是否互相重合来判断该图形是否是轴对称图形，找对称轴时要多角度观察图形和对称图形。 【★易错点】一个轴对称图形的对称轴是一条直线，不是线段、射线，它可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条。 【知识点2】【教材重现】如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是A'。类似地，线段关于对称轴的对应线段是线段'，是关于对称轴的对应角是。（教材P121） 【例1】轴对称图形的识别 【典例】下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 【变式2】剪纸是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的图案是中心对称图形的概率为__________． 【变式3】如图，在四边形中，，点分别在，上，． (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【知识点3】【教材重现】如果两个平面图行沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。（教材P122） 【★易错点】理解成轴对称的定义应抓住以下三点： （1）两个图形； （2）一条直线； （3）一个图形沿着这条直线折叠后和另一个图形完全重合。 【知识点4】成轴对称和轴对称图形的区别和联系： 成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条 联系 ①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形； ②如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【例2】成轴对称的两个图形的识别 【典例】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【变式2】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 【变式3】如图，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点C，D，作直线，连接，图中成轴对称的三角形有： ， 【例3】根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【变式1】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 【变式2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【变式3】直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； （3）如图3，延长AB至C，已知∠ABO、∠CBO的角平分线与∠AON的角平分线及其反向延长线相交于D、E，在DBE中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠ABO的度数． 【例4】求对称轴条数 【典例】下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】下列说法：①线段的垂直平分线是它的对称轴；②角的对称轴是角的平分线；③平面上的两条相交直线是轴对称图形，它只有一条对称轴；④直线是轴对称图形，它有无数条对称轴．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有 （填序号）． 【变式3】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 【知识点5】【教材重现】在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（教材P123） 【知识点6】【教材重现】画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴（教材P122） 步骤如下： ① 找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； ② 连接这对对应点； ③ 作对应点所连线段的垂直平分线； 那么，这条垂直平分线就是该对称轴图形或成轴对称的两个图形的对称轴。 理论依据：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 【★易错点】作全轴对称图形对称轴的方法：对于轴对称图形，由于对称轴可能不止一条，因此要多角度观察，选取不同类型的对应点，才能作全对称轴。 【例5】画对称轴 【典例】只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【变式2】如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． (1)的面积为________； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴； (3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使． 【变式3】如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【例6】画轴对称图形 【典例】如图，在的方格纸中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，在图中可画出以格点为顶点且与成轴对称的三角形个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【变式3】如图，在中，点在直线 上，直线 ，相交于点． (1)画关于直线 成轴对称的； (2)在直线 上画出点 ，使 的值最小． 【例7】设计轴对称图案 【典例】如图，在标有序号①②③④的小正方形中选择一个涂上阴影，与图中阴影部分构成轴对称图形，该小正方形的序号是 ． 【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 【变式2】如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ． 【变式3】综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地． 【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.1 轴对称及其性质 第3课时 三角形的三边关系 【知识点1】【教材重现】如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴（教材P121） 【★数学技巧】轴对称图形的判断：可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分是否互相重合来判断该图形是否是轴对称图形，找对称轴时要多角度观察图形和对称图形。 【★易错点】一个轴对称图形的对称轴是一条直线，不是线段、射线，它可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条。 【知识点2】【教材重现】如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是A'。类似地，线段关于对称轴的对应线段是线段'，是关于对称轴的对应角是。（教材P121） 【例1】轴对称图形的识别 【典例】下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可．熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式1】将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 【变式2】剪纸是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． 从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的图案是中心对称图形的概率为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称、轴对称图形等知识点，掌握运用列表法和树状图法求概率成为解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：中心对称图形的卡片是A，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形中，，点分别在，上，． (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案； （2）由（1）得，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 在和中，， ， ， 在和中，， ， 该图形沿直线折叠后能够完全重合， 该图形是轴对称图形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【知识点3】【教材重现】如果两个平面图行沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。（教材P122） 【★易错点】理解成轴对称的定义应抓住以下三点： （1）两个图形； （2）一条直线； （3）一个图形沿着这条直线折叠后和另一个图形完全重合。 【知识点4】成轴对称和轴对称图形的区别和联系： 成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条对称轴 不一定只有一条 联系 ①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形； ②如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【例2】成轴对称的两个图形的识别 【典例】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 【变式2】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 【变式3】如图，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点C，D，作直线，连接，图中成轴对称的三角形有： ， 【答案】 和 和 【分析】本题考查了尺规作图，轴对称图形的识别．根据全等三角形的判定和性质，轴对称图形的特征即可得解． 【详解】解：由作图知， ∵公共，，， ∴， ∵公共，，， ∴， ∴和成轴对称，和成轴对称， 故答案为：和，和． 【例3】根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 【变式1】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 【答案】② 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定，由轴对称的性质即可得①④正确，再证明可得③正确，由现有条件无法证明②，据此可得答案． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有①③④，错误的有②， 故答案为：②． 【变式2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式3】直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； （3）如图3，延长AB至C，已知∠ABO、∠CBO的角平分线与∠AON的角平分线及其反向延长线相交于D、E，在DBE中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠ABO的度数． 【答案】（1）大小不变，135°；（2）大小不变，67.5°；（3）45°或54° 【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出 由三角形内角和定理即可得出结论； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA，故∠PAB+∠MBA，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知由三角形内角和定理可知∠E，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE，进而得出结论； （3）BD、BE分别是∠ABO、∠CBO的角平分线，．知道与的角平分线相交于D，得到，，，，由一个角是另一个角的4倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】解：的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ， ， 、BE分别是和角的平分线， ，， ， ； 的大小不变． 延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ， ， ， 、BC分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， 、CE分别是和的角平分线， ， ； （3）∵BD、BE分别是∠ABO、∠CBO的角平分线， ，， ． 与的角平分线相交于D ，， ， 在中，有一个角是另一个角的4倍，故有： ①当∠DBE=4∠BED时，∠BED =22.5°，∠BDE=67.5° 不合题意，舍去； ②当∠DBE =4∠BDE时，∠BDE =22.5°， ③当时，设，则 ④当， 同理可得： 则 不合题意，舍去. 故答案为：54°或45°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°和角平分线的定义是解答此题的关键． 【例4】求对称轴条数 【典例】下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了确定轴对称图形的对称轴，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形有两条对称轴，故此选项符合题意； B、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； C、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； D、图形有六条对称轴，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列说法：①线段的垂直平分线是它的对称轴；②角的对称轴是角的平分线；③平面上的两条相交直线是轴对称图形，它只有一条对称轴；④直线是轴对称图形，它有无数条对称轴．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形以及对称轴，熟练掌握轴对称图形的相关知识是解题的关键． 根据轴对称图形以及对称轴的概念即可判断． 【详解】解：线段的垂直平分线是它的对称轴，①正确； 角的对称轴是角的平分线所在直线，②错误； 平面上两条相交直线是轴对称图形，它有2条对称轴，③错误：； 直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，④正确． 故选：B． 【变式2】如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有 （填序号）． 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查的是确定轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的定义可得对称轴的位置即可得到答案. 【详解】解：由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有：②④⑥； 故答案为：②④⑥ 【变式3】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 【知识点5】【教材重现】在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（教材P123） 【知识点6】【教材重现】画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴（教材P122） 步骤如下： ① 找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； ② 连接这对对应点； ③ 作对应点所连线段的垂直平分线； 那么，这条垂直平分线就是该对称轴图形或成轴对称的两个图形的对称轴。 理论依据：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 【★易错点】作全轴对称图形对称轴的方法：对于轴对称图形，由于对称轴可能不止一条，因此要多角度观察，选取不同类型的对应点，才能作全对称轴。 【例5】画对称轴 【典例】只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 【变式1】如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 【变式2】如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． (1)的面积为________； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴； (3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用割补法求解即可； （2）在如图所示的网格中作出对称轴即可； （3）在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，直线即为所求作； （3）解：如图，即为所求作． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，画对称轴，三角形全等的判定，画出直线、射线、线段等知识点，熟练掌握轴对称的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 【变式3】如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 【例6】画轴对称图形 【典例】如图，在的方格纸中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，在图中可画出以格点为顶点且与成轴对称的三角形个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形．利用轴对称图形的性质即可解答． 【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、共6个， 如图： 故选：C． 【变式1】如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 【变式2】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【变式3】如图，在中，点在直线 上，直线 ，相交于点． (1)画关于直线 成轴对称的； (2)在直线 上画出点 ，使 的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的△； （2）先作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时根据两点之间，线段最短，即可得到的最小值等于线段的长． 【详解】（1）如图所示，分别做点、的对称点，连接、、，则即为所求； （2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，点即为所求． 【例7】设计轴对称图案 【典例】如图，在标有序号①②③④的小正方形中选择一个涂上阴影，与图中阴影部分构成轴对称图形，该小正方形的序号是 ． 【答案】① 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，将①涂上阴影即可与图中阴影部分构成轴对称图形． 故答案为：①． 【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 【答案】2 【分析】本题主要考查了利用轴对称的定义设计图案，正确掌握轴对称图形的定义(如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形)是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分析解答即可． 【详解】解：如图：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1或2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 【变式2】如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据概率公式求概率，根据白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，结合概率公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， ∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：． 故答案为：． 【变式3】综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地． 【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 【答案】(1)图中空地的面积表示为； (2)示意图见解析． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、设计轴对称图案，解题关键是熟练掌握列代数式． （1）根据空地面积等于长方形面积减去三个圆的面积进行求解即可； （2）根据题意设计出方案，符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得，空地面积为：， ； （2）解：（答案不唯一）如下图： 学科网（北京）股份有限公司 $$