精品解析：山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测数学试题

山东名校考试联盟 2024-2025学年高二年级下学期期中检测 数 学 试 题 2025.04 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 3. 一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 5. 现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ） A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（ ） A. B. C. D. 8. 今有A、B、C、D、E、F共6本不同的书全部分给4个同学，每个同学至少分到一本，其中A、B必须分给同一个同学的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为4 10. 已知随机变量服从正态分布，且，任取3个随机变量，记在区间的个数为X，则正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同 C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，则的最大值为__________． 13. 为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为__________． 附表：，其中． 0.050 0.010 3.841 6.635 14. a，b，c都为正整数，，随机变量，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下图为某学校20个公用电话的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，． （1）根据频率分布直方图，求a的值，并求日使用次数在内的公用电话个数； （2）从这20个公用电话中任取2个，设这2个公用电话中日使用次数在内的有X个，求X的分布列和期望． 16. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 17. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 18. 有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. （1）求的值； （2）求的值，并证明：当时，； （3）求（用含的式子表达）. 19. 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品． （1）根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？ 一级品 二级品 合计 甲生产线 乙生产线 合计 （2）现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望． （3）用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2024-2025学年高二年级下学期期中检测 数 学 试 题 2025.04 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】接触集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】, 故选：D. 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二项展开式通式计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，，展开式的常数项为. 故选：A. 3. 一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 4. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 5. 现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ） A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种 【答案】C 【解析】 【分析】分使用三种颜色和四种颜色讨论即可. 【详解】当使用4种颜色时，不同的涂法有种方法； 当使用3种颜色时，不同的涂法有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：C. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可. 【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为， 所以． 故选：D. 8. 今有A、B、C、D、E、F共6本不同的书全部分给4个同学，每个同学至少分到一本，其中A、B必须分给同一个同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将书先分为4组，再分发给不同同学求出所有情况，再求出A、B分给同一个同学的情况数，最后利用古典概型即可得到答案. 【详解】将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学， 若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为：种； 若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种． 将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学，A，B分给同一个同学， 若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为：种； 若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种． 所以所求事件的概率为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解. 【详解】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确. ，当且仅当时，等号成立，故B正确. ，即，故C不正确. ，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知随机变量服从正态分布，且，任取3个随机变量，记在区间的个数为X，则正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可判断A；根据均值和方差的性质即可判断BC；根据独立重复试验即可判断D. 【详解】对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，由A知，在区间的概率为， 因此，B正确； 对于C，由B知，， 因此，C错误； 对于D，，D错误． 故选：AB 11. 有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数． A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同 C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断. 【详解】由于新成对样本数据， 其平均数分别为， 同理， 这样根据公式， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 用样本数据减去平均数得与新成对数据， 即它们每一个对应数据的差值都是一样的， 这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同， 故A、C正确； 由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为， 即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为， 故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误； 由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，则的最大值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式并结合基本不等式即可求出最值. 【详解】因为随机变量，， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 故答案为：1. 13. 为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为__________． 附表：，其中． 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】 【解析】 【分析】求出的观测值，利用给定信息，结合独立性检验列出不等式求解即得. 【详解】列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 A地区 B地区 合计 ， 由认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 得，则，解得，又是5的倍数， 则可以取的值为，所以x构成的集合为. 故答案为： 14. a，b，c都为正整数，，随机变量，则__________． 【答案】3.8 【解析】 【分析】利用隔板法求出试验的基本事件总数，再求出的可能取值及对应的概率，进而求出期望. 【详解】，且，将7个小球排成一列形成6个间隙， 用2块隔板将7个小球分成3部分，每部分小球数即为,,的取值， 因此,,的取值共有种情况，的所有可能取值为3,4,5， 当时，,,的取值有两种情况： ①,,中有一个是3，余下两个都为2，则有种情况， ②,,中有二个是3，余下一个为1，则有种情况，则； 当时，即, , 中有一个是4，余下两个分别为1,2，则有种情况，； 当时，即,,中有一个是5，余下两个都是1，则有种情况，； 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下图为某学校20个公用电话的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，． （1）根据频率分布直方图，求a的值，并求日使用次数在内的公用电话个数； （2）从这20个公用电话中任取2个，设这2个公用电话中日使用次数在内的有X个，求X的分布列和期望． 【答案】（1），12. （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，进而求出频数. （2）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，所以； 日使用次数在内的频率为， 所以日使用次数在内的公用电话个数为. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】（1）62； （2）71； （3）455. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. 【小问3详解】 由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 17. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】（1），约为千人； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第10天进入该景区参观的人数. （2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解. 【小问1详解】 依题意，，而， 则，， 因此，当时，， 所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人. 【小问2详解】 记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件， ，， 由全概率公式得，同理， 所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 18. 有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. （1）求的值； （2）求的值，并证明：当时，； （3）求（用含的式子表达）. 【答案】（1）； （2）， 由（1）知，， 所以， 当时，由全概率公式，得 所以即； （3）. 【解析】 【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案； （2）由题意及全概率公式可得答案； （3）设，由（2）可知，然后通过构造等比数列可得答案. 【小问1详解】 在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记，由（2）知递推关系式，变形为， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 则即. 19. 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品． （1）根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？ 一级品 二级品 合计 甲生产线 乙生产线 合计 （2）现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望． （3）用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，能； （2）分布列见解析，数学期望为 （3）80. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式，作商确定单调性求出最大值. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 一级品 二级品 合计 甲生产线 600 200 800 乙生产线 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设：甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异， 根据列联表中数据，经计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8个保温杯中，一级品保温杯有个，二级品有2个， 随机变量的可能值为1，2，3， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望为. 【小问3详解】 依题意，乙生产线的一级品率为， 从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，一级品的保温杯个数， 则， 当时，， 由，解得，而，则当时，递增； 由，解得，而，则当时，递减， 所以使事件“”的概率最大时r的值为80. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $