精品解析：江西省新余市新余四中2024-2025学年下学期九年级第二次模拟测试数学试卷

新余四中2024-2025学年下学期初三年级第二次模拟测试 数学试卷 考试时间：120分钟试卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. －5的相反数是( ) A. －5 B. C. － D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：-(-5)=5 考点：相反数 点评 考基础知识，此题是简单题， 2. 对某中学2000名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误是（ ） A. 总体是该中学2000名学生的身高 B. 个体是每个学生 C. 样本是所抽取的200名学生的身高 D. 样本容量是200 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义．根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体是指所要考查对象的全体；个体是指每一个考查对象；样本是指从总体中抽取的部分考查对象称为样本；样本容量是指样本所含个体的个数（不含单位）． 【详解】解：A、总体是该中学2000名学生的身高，说法正确，此选项不符合题意； B、个体是每个学生的身高，原说法错误，此选项符合题意； C、样本是所抽取的200名学生的身高，说法正确，此选项不符合题意； D、样本容量是200，说法正确，此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方运算．根据完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5. 在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：当时，则， ∴可能是正数，也可能是负数， ∴点可能在第二或第三象限； 当时，则， ∴不可能是负数， ∴点不可能在第四象限； ∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第四象限． 故选：D． 6. 如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 和均不变 B. 只有不变 C. 只有不变 D. 和均会变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，，得出两阴影部分的周长和为：，设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：，说明只有当时，为定值． 【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，， 利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：， ∵的长固定不变， ∴为定值， 设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，则： ， 将向下平移个单位长度后，两阴影面积和： ， ∴只有当时，为定值， 综上分析可知：只有不变， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 写一个小于3的无理数：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．根据无理数估算的方法求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 详解】解：． 故答案为：． 9. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】（1，-3） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，-3）， 故答案为：（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则小正方形的边长为， ∴， 如图，，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得和，设点的坐标为，利用勾股定理求得，用表示出和，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ， ， ①当为斜边时，， 解得或， ∴点的坐标为或； ②当为斜边时，， 解得(舍去)； ③当为斜边时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、本大题共5小题，每小题6分，共30分 13. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了乘方，二次根式以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据乘方以及二次根式的运算，求解即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14. 如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．先证明，进而可得四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ∵点，分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴． 15. 如图，点，均在反比例函数图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．由的面积为4，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，求得，，进而求出k的值． 【详解】解：∵的面积为4，轴于点，于点， ， ∴， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 16. 某公司在新春晚宴上，举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外其余都相同，公司员工每次摸出1个球，若摸到红球，则获得1份礼品：若摸到绿球，则没有礼品． （1）当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是______事件，获得礼品的概率是______． （2）若小亮有2次摸球机会（摸出后不放回），请用列表法或画树状图法求小亮获得2份礼品的概率． 【答案】（1）随机， （2） 【解析】 【分析】（1）由随机事件的定义和概率公式求解即可； （2）先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是随机事件，获得礼品的概率是． 【小问2详解】 画树状图如图： 共有20个等可能的结果，其中小亮获得2份礼品的结果有6个， ∴小亮获得2份礼品的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】解：（1）如图1，连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）如图2．连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 四、本大题共3小题，每小题8分，共24分 18. 学校组织部分师生到某红色教育基地进行研学活动，此次研学活动中，在该基地购买门票的信息如下： 信息一 门票类别 单价/元 购票总额/元 学生票 2500 成人票 2000 信息二：购买学生票的数量是购买成人票数量的2倍． （1）求学生票和成人票的单价分别是多少？ （2）该学校决定再次组织50名师生到该基地研学，若购买门票的费用不超过2800元，求此次研学活动最多能安排多少位老师参加? 【答案】（1）学生票单价为50元，则成人票单价为80元； （2）此次研学活动最多能安排位老师． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识． （1）由题意得学生票、成人票单价分别为元、元，根据题意找到等量关系构造出分式方程即可解决问题． （2）设此次研学活动安排了位老师，根据题意找到不等量关系构造出不等式即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：由题意得学生票、成人票单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的根且符合题意， ∴ 答：学生票单价50元，则成人票单价为80元； 【小问2详解】 解：此次研学活动安排了位老师，则安排了个学生， 依题意得： ， 解得：， 答：此次研学活动最多能安排位老师． 19. 如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据是的切线，得到，再根据，得到，根据是的直径，得到，得到是的垂直平分线，即可解答； （2）证明，根据三角形相似的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 20. 滕王阁，与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，世称“西江第一楼”．为了计算滕王阁的高度，如图，滕王阁前有一斜坡，长为5米，，高为，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为，其中点C，B，E在同一直线上． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度（结果保留一位小数，参考数据：，，，，） 【答案】（1）3米 （2）36.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答此类题目关键是明确题意，利用勾股定理，三角函数等数量关系得到方程，求解即可． （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）过A作于F，利用勾股定理求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，然后根据构建关于的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 即斜坡的高度为3米； 【小问2详解】 解：过A作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 即滕王阁的高度为36.2米． 五、本大题共2小题，每小题9分，共18分 21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是________，七年级活动成绩是9分所在扇形的圆心角度数是 （2）_______，______； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，请你估计全校七八年级1200名学生中“优秀”的人数． 【答案】（1）1， （2）2，3 （3）540人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，利用样本估计总体，从统计图表获取信息是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，根据七年级活动成绩为9分所占百分比可得圆心角度数，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解； （3）利用样本七八年级优秀人数估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩是9分所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：1，． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生为分，第名学生为分， ∴， ， 故答案为：2，3． 【小问3详解】 七年级优秀率为，则七年级优秀人数为人， 八年级优秀人数为人， ∴全校七八年级1200名学生中“优秀”的人数为人． 22. 如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2，；②，；（2），见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）①连接，，，根据轴对称的性质得出，，，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出； ②同①解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可； （2）同（1）②求解过程一致； （3）分两种情况，①当点在线段上时和②当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴； ②连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2），证明如下： 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)①当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ②当点在线段的延长线上时，连接， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 六、本大题共12分 23. 在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线的顶点为，与轴交于点，． （1）点的坐标为_____，（用含的代数式表示），点_____直线上（填“在”或“不在”）； （2）将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式； （3）将直线向下平移得到直线，直线交轴于点．交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为． ①若四边形为菱形，求的值； ②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标． 【答案】（1），在 （2） （3）①；②点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入一次函数解析式，进行判断即可； （2）令，求出点坐标，利用平移规则求出的解析式，将点坐标代入，求出直线的解析式． （3）①求出的长，根据菱形的边长相等，列出方程进行求解即可； ②设直线的解析式为，令，根据抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，得到直线与抛物线有且只有一个交点，得到，得到，平移得到，进而得到，求出的值，进而求出的值，进一步求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：， ． ∵当时，， 点在直线上． 故答案为：，在； 【小问2详解】 解：令， 解得，， 点的坐标为， 由平移可得直线解析式为． 将代入． 得，解得． 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：①点的纵坐标为，， ， 若四边形为菱形，则， ， ， 或0（舍去）； ②设直线的解析式为， 令，则． 抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小． ， 解得． ． 由平移可得， ，解得， ． 由，得， 解得， 点的横坐标为， 将代入，得， 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新余四中2024-2025学年下学期初三年级第二次模拟测试 数学试卷 考试时间：120分钟试卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. －5的相反数是( ) A. －5 B. C. － D. 5 2. 对某中学2000名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误是（ ） A. 总体是该中学2000名学生身高 B. 个体是每个学生 C. 样本是所抽取200名学生的身高 D. 样本容量是200 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C D. 5. 在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 和均不变 B. 只有不变 C. 只有不变 D. 和均会变 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 写一个小于3的无理数：_____． 8. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为______． 9. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 11. 如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则_____． 12. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 三、本大题共5小题，每小题6分，共30分 13. （1）计算：； （2）化简： 14. 如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，连接，．求证：． 15. 如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 16. 某公司在新春晚宴上，举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外其余都相同，公司员工每次摸出1个球，若摸到红球，则获得1份礼品：若摸到绿球，则没有礼品． （1）当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是______事件，获得礼品的概率是______． （2）若小亮有2次摸球机会（摸出后不放回），请用列表法或画树状图法求小亮获得2份礼品的概率． 17. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 四、本大题共3小题，每小题8分，共24分 18. 学校组织部分师生到某红色教育基地进行研学活动，此次研学活动中，在该基地购买门票的信息如下： 信息一 门票类别 单价/元 购票总额/元 学生票 2500 成人票 2000 信息二：购买学生票的数量是购买成人票数量的2倍． （1）求学生票和成人票的单价分别是多少？ （2）该学校决定再次组织50名师生到该基地研学，若购买门票的费用不超过2800元，求此次研学活动最多能安排多少位老师参加? 19. 如图，内接于，是的直径，交于点，的切线交的延长线于点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 滕王阁，与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，世称“西江第一楼”．为了计算滕王阁的高度，如图，滕王阁前有一斜坡，长为5米，，高为，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为，其中点C，B，E在同一直线上． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度（结果保留一位小数，参考数据：，，，，） 五、本大题共2小题，每小题9分，共18分 21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是________，七年级活动成绩是9分所在扇形的圆心角度数是 （2）_______，______； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，请你估计全校七八年级1200名学生中“优秀”的人数． 22. 如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 六、本大题共12分 23. 在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线顶点为，与轴交于点，． （1）点的坐标为_____，（用含的代数式表示），点_____直线上（填“在”或“不在”）； （2）将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式； （3）将直线向下平移得到直线，直线交轴于点．交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为． ①若四边形为菱形，求的值； ②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$