精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

高一数学4月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出. 【详解】向量，则， 由，得，所以. 故选：A 3. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 4. 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 故选：A. 5. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可. 【详解】 设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得 故选：. 【点睛】本题主要考查扇形弧长公式. 6. 函数的部分图象如图所示，则= A. 6 B. 14 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合正切函数图象得到点A与点B的坐标，进而表示出，然后利用向量数量积的坐标运算法则进行解答即可． 【详解】在中， 令，得，所以点A的坐标为； 令，得，所以点B的坐标为． ∴， ∴， ∴. 故选D． 【点睛】本题考查数量积的运算和正切函数的性质，求解的关键是根据正切函数的图象得到点的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算求解，考查转化能力和计算能力． 7. 如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】采用解析的方法，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 写出各个点的坐标，利用得到的坐标，进而求出的解析式，由此可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 任意向量，满足 B. 若且，则 C. 若非零向量满足，则 D. 任意两个非零向量和，向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】利有向量的运算律，向量数量积运算，向量垂直的性质即可作出判断. 【详解】对于A，根据向量数量积的分配律成立，故A正确； 对于B，由可得， 因为，所以，所以不一定成立， 举反例：如此时，故B错误； 对于C，因为非零向量满足，所以， 即，所以，故C正确； 对于D，由于， 所以向量与向量垂直，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解. 【详解】由于，又函数的定义域为， 所以定义域关于原点对称， 而， 故为奇函数，A正确， 由于，所以， 从而，B正确， ， 所以不是周期为的周期函数，C错误， 由于上单调递减，所以在上单调递减， 从而在上单调递增，则在上单调递减， 则在上单调递减，D正确. 故选：ABD. 11. 函数，的反函数称为反正弦函数，记为，；函数，的反函数称为反余弦函数，记为，．则下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据反余弦函数的定义，设，即，设，即，得即可判断A，由，利用反正弦函数的定义即可判断B，设，即，得，利用诱导公式即可判断C，由，根据同角三角函数的关系即可判断D. 【详解】设，即，设，即， 所以，又，所以，即， 所以，故A错误； 由，，所以，故B正确； 设，，，， 所以，故C正确； 由，，即，所以，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题（共3小题，5×3=15分） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案. 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 13. 如图，角的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点关于x轴的对称点为，角的终边在上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】因为P的横坐标为所以P的坐标为 由因为半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点 所以以为终边的角大小为 关于x轴的对称点为，角的终边在上， 所以角的终边构成的角为 ， 故答案为： 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为是腰上的两个动点，则，， 所以，又， 则，得到，所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）将其次式的分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可； （2）利用诱导公式化简转化为其二次式分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可. 【小问1详解】 ． 小问2详解】 ． 16. 从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． （1）求为偶数的概率； （2）求为整数的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【小问1详解】 样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． 【小问2详解】 由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 17. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设弓形面积为．由题知． ． 【小问3详解】 由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】（1）表格见解析， （2）作图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由题可知，，所以， ，， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 【小问2详解】 由（1），在一个周期内的图象如图所示， ； 【小问3详解】 ， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 19. 已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点． （1）当时，求函数的值域； （2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 【答案】（1） （2），n=5 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域. （2）结合图象特征可求的值． 【小问1详解】 的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故， 因为图象过点，故， 故，故. 当时，，， 故函数的值域为. 【小问2详解】 在上图象如图所示： 因此与的图象在上共有5不同的交点， 这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5. 令，则， 故的图象在内的对称轴分别为： ，，，，， 结合图象可得，，， ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学4月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A B. C. D. 2 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 4. 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A. B. C. D. 5. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则= A. 6 B. 14 C. 3 D. 6 7. 如图，在中，为线段中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 任意向量，满足 B. 若且，则 C. 若非零向量满足，则 D. 任意两个非零向量和，向量与向量垂直 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减 11. 函数，的反函数称为反正弦函数，记为，；函数，的反函数称为反余弦函数，记为，．则下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共3小题，5×3=15分） 12. 函数的定义域为______． 13. 如图，角的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点关于x轴的对称点为，角的终边在上，则______． 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． （1）求为偶数的概率； （2）求为整数的概率． 17. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 19. 已知函数（，），若图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点． （1）当时，求函数的值域； （2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $