精品解析：2025年山东省青岛市即墨区九年级中考一模考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期学业水平诊断性测试九年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题分第I卷和第II卷两部分，共26道题．第I卷1-10题为选择题，共30分；第II卷11-16题为填空题，17题为作图题，18-26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题共有10道小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 中科院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（EAST）实现1056秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达1.6亿度，是太阳的数十倍，将数据1.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据1.6亿用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看外边是一个长方形，矩形中间有一条纵向的实线． 故选：A． 【点睛】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论． 【详解】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE， ∴AF=CF， ∴AC=2AB=6， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 6. 如图，的边经过的圆心O，与相切于B，D是上的一点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理．设交于点E，连接，根据切线的性质可得，从而得到，再根据是的直径，可得，然后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：设交于点E，连接，如图， ∵与相切于B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴平移和变化规律是：横坐标减4，纵坐标减3． ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1）． ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴点P1和点P2关于坐标原点对称． ∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选C． 8. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象，熟练掌握函数图象法是解题关键． 9. 如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE =∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG△FCD，推出，即可判断④． 【详解】∵在中，为斜边的中线， ∴DA=DB=DC， ∵于点E，且， ∴AE=EC， ∴四边形ADCF为菱形， ∴FC∥BD，FC=AD=BD， ∴四边形DBCF为平行四边形，故②正确； ∴DF=BC， ∴DE=BC，故①正确； ∵四边形ADCE为菱形， ∴CF=CD， ∴∠CFE=∠CDE， ∵∠CDE+∠EGC=180，而∠FGE+∠EGC=180， ∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE， ∴EF=EG，故③正确； ∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG， ∴△FEG△FCD， ∴，即， ∴， ∴BC =DF，故④正确； 综上，①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 10. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符； 当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点在原点上方，A符合． 由已知，k＞0：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象以及图象的特点． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据二次根式、零指数幂、负整数指数幂和特殊三角函数值化简后，再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润单件利润销售量，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 13. 如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∴AB=OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB==6π， 故答案为：6π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 14. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】, 过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为，根据反比例函数比例系数的几何意义结合列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为 ∵点A，B都在函数图象上， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 解得， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握基础知识． 15. 如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 16. 二次函数中，与的部分对应值如下表： 给出以下结论：二次函数有最小值为；当时，；已知点，在函数的图象上，则当，时，；；为任意实数）；其中正确结论的序号是___________． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据表格中自变量值与因变量值的对应关系确定二次函数各项系数之间的关系、二次函数图象的开口方向、对称轴． 【详解】解：由表格可知， 二次函数当时，， 二次函数有最小值为，故错误； 由表格可知， 当和时，， 当时，， 则当时，；故正确； 由表格可知， 当时，， 当时，， ，故错误； 由表格可知，当时，，当时，， ， 解得：， ，故正确； 由表格可知，当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数的值为， 则有， 整理得：， ，故正确． 综上所述，正确结论的序号为②． 故答案为：② ． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，点A为直线l外一点，点B为直线l上一点，求作：，使经过点A且与直线l相切于点B 【答案】见解析 【解析】 【分析】①作AB垂直平分线． ②过点B作直线l的垂线交AB的垂直平分线于点O． ③以点O为圆心，OB长为半径作⊙O． 【详解】①作AB的垂直平分线． ②过点B作直线l的垂线交AB的垂直平分线于点O． ③以点O为圆心，OB长为半径作⊙O． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组 （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本考查了解一元一次不等式组以及分式的化简，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据解一元一次不等式组的方法解答即可； （2）先将括号里的通分化简，再把括号外的除法变为乘法，最后进行约分，得到最简分式． 【详解】解：（1）， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为； （2）， ， ， ． 19. 某超市进行五一抽奖促销活动，购物满200元的顾客可以参加活动，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被均分成面积相等的三个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，将赢得一张九折购物券，在下次购物时使用，李大妈获得了参加活动的资格． （1）若李大妈转动一次盘，则她转出红色的概率为___________． （2）若李大妈同时转动盘和盘，请用列表或画树状图的方法，求出她赢得购物券的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得她赢得购物券的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝， ∴李大妈转出红色的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆角是， ∴蓝色区域占整体的， ∴红色区域占整体的， 根据题意列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有9种等可能结果，其中她赢得购物券的有3种等可能结果， 则她赢得购物券的概率是． 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 769 m 80 d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）30；（2）77.5；（3）810 【解析】 【分析】（1）参赛学生成绩频数分布直方图，可得75分以上的有 人，即可求解； （2）根据题意可得位于第25位，第26位的分别为77、78，即可求解； （3）用1500乘以成绩超过平均数76.9分的人数所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有 人； （2）∵位于第25位，第26位的分别为77、78， ∴中位数为 ， 即表中m的值为77.5； （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数：（人）， 答：估计成绩超过平均数76.9分的人数是810人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，能从频数分布直方图获取准确信息是解题的关键． 21. 如图，表示一座风景秀美的观景山，是已经修好的登山步行道．该景区为方便老年游客登顶观景，欲在山脚与山顶之间架设一条登山索道．在山脚处测得点的仰角为24°，在处测得山顶的仰角为45°，在山脚处测得山顶的仰角为37°．已知步行道长640米，则新架设的索道长多少米？（参考数据：，） 【答案】1600米 【解析】 【分析】过点做，交于，过 做，交于，根据， ，，可得， ，四边形是矩形，则有，， 设，则， ，根据，可得，解得 ，可知，根据，可求得 ． 【详解】解：如图示，过点做，交于，过做，交于， 在中，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解之得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 在中，， ∵， 即：， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 （1）等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先画图，再分别表示，，因为，结合勾股高三角形，即可作答． （2）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形如图所示： 依题意，， 即是边上的高， 设， ∴， ∵， 即满足三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 在中，， 则 ； 又， ，， ， ， ， ， 而， ∵， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 23. 某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 【答案】（1）商场第一次购入的空调每台进价是元 （2）最多将8台空调打折出售 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，一定要注意验根． （1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元”列出分式方程解答即可； （2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得： ， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元； 【小问2详解】 设将y台空调打折出售，根据题意，得： ， 解得：， 答：最多将8台空调打折出售． 24. 如图，已知中，，E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若的面积是18，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 1 2 ．．． （1）该喷枪的出水口到地面的距离为___________米． （2）观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出与之间的函数关系式． （3）在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 【答案】（1）1 （2） （3）水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，建立函数模型是解题的关键． （1）由表格即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入一次函数解析式求出(m)，故抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式求出解析式，再令即可求解． 【小问1详解】 解：由表格知当， ∴喷枪的出水口到地面的距离为1米， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：观察表格中的数据可知与之间成一次函数关系， ∴设直线为，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为； 【小问3详解】 解：当时， 得(m)， 故抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式， 解得， ∴， 令，得， 解得，或（舍去）， ∴水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米． 26. 和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、、在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． （3）是否存在某一时刻，使点、和的中点这三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（图③为备用图） 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，由题意得：，，则，证明，根据相似三角形的性质可求出，推出，即可求解； （2）过点作于点，证明得到，即，求出，根据，即可求解； （3）设的中点为，连接，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ， 等腰的底边，底边上的高为， ，， 由题意得：，， 则， ，， ， ，即， ， ， 当点在线段的垂直平分线上，， ， 解得：， 时，点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 如图，过点作于点， ， ， ， ，即， ， ， ； 【小问3详解】 存在， 如图，设的中点为，连接，过点作于点， ，，， ， ，即， ，， ， ， ，即， 解得：， 存在时，使点、和的中点这三个点在同一条直线上． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、二次函数与几何图形，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期学业水平诊断性测试九年级数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题分第I卷和第II卷两部分，共26道题．第I卷1-10题为选择题，共30分；第II卷11-16题为填空题，17题为作图题，18-26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题共有10道小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 中科院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（EAST）实现1056秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达1.6亿度，是太阳的数十倍，将数据1.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 6. 如图，的边经过的圆心O，与相切于B，D是上的一点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 8. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 12. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 13. 如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为__________. 14. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 15. 如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________． 16. 二次函数中，与的部分对应值如下表： 给出以下结论：二次函数有最小值为；当时，；已知点，在函数的图象上，则当，时，；；为任意实数）；其中正确结论的序号是___________． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，点A为直线l外一点，点B为直线l上一点，求作：，使经过点A且与直线l相切于点B 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组 （2）化简： 19. 某超市进行五一抽奖促销活动，购物满200元的顾客可以参加活动，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被均分成面积相等的三个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，将赢得一张九折购物券，在下次购物时使用，李大妈获得了参加活动的资格． （1）若李大妈转动一次盘，则她转出红色概率为___________． （2）若李大妈同时转动盘和盘，请用列表或画树状图的方法，求出她赢得购物券的概率． 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.9 m 80 d．参赛学生甲竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 21. 如图，表示一座风景秀美的观景山，是已经修好的登山步行道．该景区为方便老年游客登顶观景，欲在山脚与山顶之间架设一条登山索道．在山脚处测得点的仰角为24°，在处测得山顶的仰角为45°，在山脚处测得山顶的仰角为37°．已知步行道长640米，则新架设的索道长多少米？（参考数据：，） 22. 【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 （1）等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 23. 某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 24. 如图，已知中，，E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若的面积是18，求的长． 25. 如图，在一次学校组织社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 1 2 ．．． （1）该喷枪的出水口到地面的距离为___________米． （2）观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出与之间的函数关系式． （3）在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 26. 和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、、在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． （3）是否存在某一时刻，使点、和中点这三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（图③为备用图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $