精品解析：2024年山东省青岛市即墨区第二十八中学九年级中考数学一模试题

2023-2024学年度第二学期学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26道题，第Ⅰ卷1—10题为选择题，共30分；第Ⅱ卷11—16题为填空题，17题为作图题．18—26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A．B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．若不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据新闻网报道：截至2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球。北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元。将“156亿”用科学记数法表示为：（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是(　　) A. ﹣20210=2 B. a8÷a4=a2 C. a2+a3=a5 D. (3a3)2﹣a•a5=8a6 5. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 小亮在网上销售某种笔记本，最近一周，每天销售该笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 方差是 B. 众数是14本 C. 平均数是15本 D. 中位数是14本 7. 如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ③④ 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：______． 12. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得_____________． 13. 如图，在正方形中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则______． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 15. 如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②； ③当时，函数最小值为-6； ④若点，点二次函数图象，则； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是______．（把所有正确结论的序号都填上） 三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹） 17. 已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本题满分68分） 18. （1）化简：； （2）解不等式组：． 19. 在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动，某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取户居民，获得了他们1月份的用电量x（单位：平均数/），分别将两个小区居民用电量的数据分成5组：，，，，，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息： 信息一： 信息二：乙小区居民1月份用电量在这一组的数据是 信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数/ 中位数/ b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空______，______； （2）在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于的总户数． 20. 随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 21. 如图是某货站传送货物平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） （1）求新传送带长度． （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 22. （1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O． ①如图1，容易得到______； ②探究：如图1，______； 如图2，______； 如图3，______； （2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）． 23. 某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 （1）求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 24. 如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，，延长交于点E，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 25. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为(元)(利润销售售额成本广告费)． 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳效纳元的附加费，设月利润为(元)(利润销售额成本附加费)． （1）分别求出W内，与x之间的函数关系式(不需写x的取值范围)； （2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？ ②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值_____； （3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26道题，第Ⅰ卷1—10题为选择题，共30分；第Ⅱ卷11—16题为填空题，17题为作图题．18—26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A．B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．若不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 据新闻网报道：截至2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球。北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元。将“156亿”用科学记数法表示为：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：156亿用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】长方体的左视图为矩形，圆柱的左视图为矩形，据此分析即可得左视图 【详解】从左面可看到一个长方形和一个长方形，且两个长方形等高． 故选C 【点睛】本题考查了简单几何题的三视图，掌握简单几何题的三视图是解题的关键． 4. 下列计算正确的是(　　) A. ﹣20210=2 B. a8÷a4=a2 C. a2+a3=a5 D. (3a3)2﹣a•a5=8a6 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质化简，再结合同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、合并同类项分别计算判断即可． 【详解】解：A.﹣20210=2﹣1=1，故此选项不合题意； B．a8÷a4=a4，故此选项不合题意； C．a2+a3，无法合并，故此选项不合题意； D．(3a3)2﹣a•a5=9a6﹣a6=8a6，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=3， 如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A′的坐标为（1，-3）， 再向左平移2个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（-1，-3）， 故选D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 6. 小亮在网上销售某种笔记本，最近一周，每天销售该笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 方差是 B. 众数是14本 C. 平均数是15本 D. 中位数是14本 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提． 根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择． 【详解】解：数据12，13，14，15，14，16，21中，14出现的次数最多， 因此众数是14，故B选项不符合题意； ，即平均数是15，故选项C不符合题意； ， 因此方差为，故选项A符合题意； 将这7个数据从小到大排列为12，13，14，14，15，16，21， 处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，故选项D不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据题意，易得垂直平分，进而推出，角平分线，得到，三角形的内角和得到，进而得到，三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 8. 如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据等腰三角形的性质得出，根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵=， ∴ ∵四边形内接于， ∴； 故选：B． 9. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，二次根式的除法运算等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象确定系数的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题． 【详解】二次函数的图象开口向下， 二次函数的图象与y轴交点在x轴上方， 二次函数图象对称轴在轴的左侧， 同号， 一次函数图象经过第二、一、四象限， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值性质和二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，即可得到结果； 【详解】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， ∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米． 依题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键． 13. 如图，在正方形中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用全等三角形证明是解答本题的关键．已知题目条件P为的中点，观察图形发现若是直角三角形，容易得出与的关系，考虑 ，则，最后利用正方形的性质与全等三角形的性质即可证明． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， 在与中，， (SAS)， ， ， ， ， 为直角三角形， P为 的中点， ． 故答案为：． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴的面积=|k|=3． 又∵的面积=×6×4=12， ∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故答案为：9． 15. 如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，，然后利用图中阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵点是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵半径为1， ∴ ∵是的切线，切点为， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，求阴影部分面积，解直角三角形的相关计算，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②； ③当时，函数最小值为-6； ④若点，点在二次函数图象，则； ⑤方程有两个不相等实数根． 其中，正确结论的序号是______．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】解：将，，，代入得， ， 解得， 抛物线的关系式为， ，因此①正确； ，故②错误； 对称轴为直线，即当时，函数的值最小，因此③不正确； 把，，代入关系式得，，，因此④正确； 方程，也就是，即方程，由可得有两个不相等的实数根，因此⑤正确； 正确的结论有：①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹） 17. 已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作∠ABC的角平分线BP，过点P作PD⊥BC于D，以P为圆心，PD为半径作⊙P即为． 【详解】解：如图，⊙P即为所求． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 四、解答题（本题满分68分） 18 （1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）原不等式组的解集为 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） (2) 解：①的解集为： ②的解集为： 原不等式组的解集为 19. 在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动，某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取户居民，获得了他们1月份的用电量x（单位：平均数/），分别将两个小区居民用电量的数据分成5组：，，，，，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息： 信息一： 信息二：乙小区居民1月份用电量在这一组的数据是 信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量平均数、中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数/ 中位数/ b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空______，______； （2）在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于的总户数． 【答案】（1）， （2） （3）这两个小区1月份用电量大于的总户数为户 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，找准题目要求的数据是解题的关键． （1）观察频数分布直方图可知频数总数为50，即可算出；结合信息一的直方图与信息二，求偶数个数的中位数即可； （2）先算出“”该组数据在扇形图的占比即可； （3）找出信息一中甲乙两小区用电量大于的占比即可计算． 【小问1详解】 乙小区抽取了50户居民， 乙小区一共有50组数据． ， ． 乙小区的中位数应该是第，位的平均数，观察信息二中乙小区数据以及直方图，第，位的数据均为， ． 故答案：，． 【小问2详解】 根据扇形图可知该组数据占比为：， “”所在扇形圆心角的度数为， 故答案为：． 【小问3详解】 (户) 这两个小区1月份用电量大于的总户数为户． 20. 随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： C D E A AC AD AE B BC BD BE 共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种， ∴小华两段路程都选省级公路的概率． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 21. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） （1）求新传送带的长度． （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】（1）新传送带AC的长度为6.1米 （2）货物需要搬走，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； 【小问2详解】 解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 22. （1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O． ①如图1，容易得到______； ②探究：如图1，______； 如图2，______； 如图3，______； （2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）． 【答案】（1）① ②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和正多边形的性质： （1）①根据等边三角形的性质可以得出，再根据可证明；②在图1中，根据三角形的外角与内角的关系就可以求出的值，在图2中，连接，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出的值，在图3中同理可得的值； （2）依据②中的规律就可以得出当作正n边形的时候就可以求出图4中的值． 【详解】解：①证明：如图1， ∵和是等边三角， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3，连接， ， ∵五边形和五边形是正五边形， ∴， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②； （2）以此类推，当作正n边形时，． 故答案为： 23. 某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示： 品种 原运费 现运费 （1）求每次运输的农产品中，产品各有多少件？ （2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？ 【答案】（1）每次运输产品件，产品件 （2）最少运费需要元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数结合不等式，根据题意正确列式是解题关键． （1）设每次运输产品件，产品件，根据原一次运费和现一次运费列出二元一次方程组即可； （2）设运输产品件，运费为元，列出关于的一次函数，再根据总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，确定自变量的范围，再取最小值即可． 【小问1详解】 解：设每次运输产品件，产品件，由题意得： ， 解得， 答：每次运输产品件，产品件． 【小问2详解】 设运输产品件，则产品为件，运费为元， ， 又，∴， ∵，∴随着的增大而增大， ∴要最少，取最小， 即当时，， 答：最少运费需要元． 24. 如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，，延长交于点E，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握以上基础知识是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，根据等腰三角形的性质可得，从而可得到结论． 【小问1详解】 证明：是的切线，切点为， ， ∴， ， ， ， ， ； ； 【小问2详解】 解： 是的切线，切点为B， ∴， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 25. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为(元)(利润销售售额成本广告费)． 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳效纳元的附加费，设月利润为(元)(利润销售额成本附加费)． （1）分别求出W内，与x之间的函数关系式(不需写x的取值范围)； （2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？ ②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值_____； （3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 【答案】（1）； （2）①当时，国内销售的月利润率最大；②30 （3）选择国外销售才能使所获月利润较大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用最值问题，解决本题的关键是正确理解题意能够找到题目中蕴含的等量关系，熟练掌握二次函数的性质求函数最值． （1）根据“利润销售额成本广告费”可求出与x间的函数关系式，根据“利润销售额成本附加费”可求出与x间的函数关系式； （2）先运用二次函数的性质求出取最大值时x的值，再根据的最大值等于的最大值，列出关于a的方程，解方程即可求出a的值； （3） 代入x和a的值，分别求出W内，，然后再比较大小即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ①由得： 当时，国内销售的月利润率最大， ②当时， ∴当时， (不含题意，舍去) ， 故答案为：； 【小问3详解】 当时，元 当时，元 选择国外销售 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）面积的最大值为，此时D点坐标为 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$