精品解析：江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2024-2025学年度第二学期高二4月期中联合测试

江苏省江都中学､江苏省高邮中学､江苏省仪征中学 2024-2025学年度第二学期高二4月期中联合测试 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个 A. B. C. D. 3. 在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 4. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 7. 设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若是锐角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C. 某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D. 11. 已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 过点作函数的切线，有且只有三条 C. 若，则有 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 13. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则__________． 14. 如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________；二面角的正弦值的最小值为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线垂直于直线． （1）求的值； （2）求的极值． 16. 已知空间四点． （1）求以为邻边的平行四边形面积； （2）若四点共面，求的值； （3）求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围． 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18. 已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面 （1）证明：平面； （2）已知点是线段上一点， ①若平面，求点到平面的距离； ②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值． 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：在上有且只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江都中学､江苏省高邮中学､江苏省仪征中学 2024-2025学年度第二学期高二4月期中联合测试 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2. 自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出六个数的全排列数，再根据条件出现次，出现次，列式求解. 【详解】六个数的全排列共有个， 因为出现次，出现次， 所以不同的密码有个. 故选：C. 3. 在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由求出平面的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 4. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 由函数在区间上单调递减，可得在上恒成立， 则要使在上恒成立，只需， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 6. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决. 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 7. 设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件考虑构造函数，利用导数证明函数在上单调递增，结合单调性判断BD，因为，由此可得，取，判断的单调性，判断A，取，判断的单调性，判断C. 【详解】因为， 又， 所以， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 因为，所以，所以，B错误， 因为，所以，所以，D正确， 因为， 故， 又， 所以， 所以 ，故， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以，所以，所以A不一定正确； 因为，所以， 所以， 设，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以若，则， 取，可得当时，， 所以当，时，，函数在上单调递减， 所以，所以C不一定正确； 故选：D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数a的取值范围． 【详解】令，则， 当时， ，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数； 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为 当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，因为， 当直线过点时，则，解得； 又，直线，所以此时函数与直线相切于点， 当直线过点时，则，且， 结合图象可得， 所以的取值范围是， 故选：A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若是锐角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，判断A；由条件先判断为非零向量，再结合数量积的定义判断B；先证明，再结合线面位置关系判断C，根据空间向量共面定理结合基底的定义判断D. 【详解】对于A，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；. 对于B，由是锐角，可得为非零向量，且， 故，，所以，B正确. 对于C， 因为，所以， 所以或，故C错误． D．假设共面，则存在实数，使得， 由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立， 所以不共面，即也是空间的一个基底，D正确． 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C. 某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据排列数公式和阶乘运算性质即可判断；对于B，先给每个班分一个名额，然后利用挡板法即可判断；对于C，求出总情况，减去一种正确的情况即可判断；对于D，根据组合数的性质，得出或，逐一验证即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，先给每个班分一个名额，共用去3个名额，还剩6个名额分给3个班级，要求每个班级至少一个名额，利用挡板法，共有种，故B错误； 对于C，“apple”有 5 个字母，其中“p”重复 2 次，所以总的排列个数为， 除去一种正确的情况，所以可能出现的错误共有种，故C正确； 对于D，，解的，又为正整数，所以或， 当时，； 当时，，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 过点作函数的切线，有且只有三条 C. 若，则有 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A通过导函数研究函数单调性，结合图象即可判断；B设切点，求出切线方程，将点代入，求其方程根的个数即可判断；C计算即可判断；D化简即可判断 【详解】，则， 则或；， 故在上单调递增，在单调递减， ， 因为直线与函数的图像有3个不同的交点，所以，故A正确； 设切点为，斜率， 则切线方程为， 将点代入得，得或， 则过点作函数的切线有2条，故B错误； ，则C正确； 由题意得的三个不同的根为， ， 则，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果. 【详解】由，得， 则点处的切线的斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 13. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可． 【详解】因为函数， 则，， 令，解得，且， 由题意可知，的拐点为， 故的对称中心为， 所以， 所以． 又， 所以 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________；二面角的正弦值的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取的中点，根据面面垂直性质定理证明平面，利用三角形面积公式及锥体体积公式结合三角函数的有界性计算最值即可；过作于，利用线面垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角形三边关系确定最小值即可. 【详解】取的中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，又， 所以三棱锥的体积为 ， 因为，所以，则； 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 由平面，又平面， 所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 因为为的中点，所以等于点到直线的距离的， 而点到直线的距离小于等于， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 四､解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线垂直于直线． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求直线的斜率，根据切线与直线垂直可得切线斜率，再结合导数的几何意义及导数运算列方程求. （2）由（1）确定函数及其导函数，求的零点，分区间确定导数的取值规律，再确定极值. 【小问1详解】 因为直线的斜率为， 又函数在处的切线垂直于直线， 所以函数在处的切线斜率为， 所以， 由， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 令，可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故当时，取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为． 16. 已知空间四点． （1）求以为邻边的平行四边形面积； （2）若四点共面，求的值； （3）求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出和，进而得到，由面积公式求出答案； （2）由四点共面，设，从而得到方程组，求出的值； （3）设直线和直线的夹角为，利用向量夹角公式求出. 【小问1详解】 ， 又， ， ， ， 四边形的面积为． 以为邻边的平行四边形的面积为12． 【小问2详解】 由题意，得， 四点共面， 存在唯一一对实数使得， ， 解得：， 故的值为． 【小问3详解】 ， 设直线和直线的夹角为， ， ，故，， 因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1）504 （2）360 （3）1140种 【解析】 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 依题得，共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 18. 已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面 （1）证明：平面； （2）已知点是线段上一点， ①若平面，求点到平面的距离； ②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据已知有，再由面面垂直的判定得平面，进而有，再由已知得，且，即为等腰直角三角形，故，最根据线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，①若求得，再求出平面的一个法向量，结合平面MAC求得，由此可得的坐标，再求平面的法向量，结合点到平面结论的向量求法求结论；②应用向量法求线面角的正弦值的不等式，由条件列方程求，再求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 以为腰作等腰直角三角形，且，则， 由平面平面，平面平面平面， 所以平面，而平面，则， 由，则为直角梯形，故， 由，即为等腰直角三角形，故，且， 所以为等腰直角三角形，故， 又，平面， 则平面． 【小问2详解】 由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系， 所以， ①若，则， 所以， 令是平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以是平面的一个法向量， 而， 由平面，则，解得， 所以是靠近的三等分点，则， 因为， 设是平面的一个法向量， 所以， 取，可得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以点到平面PBC的距离是； ②设，其中，所以， 因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是， ， 所以． 所以，解得：或者（舍） 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 令得，， 所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 设二面角为， 则， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：在上有且只有一个零点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数求的单调性，按的不同取值分类讨论即可求解； （3）利用导数求的单调性，结合零点存在性定理证明即可. 【小问1详解】 当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $