专题08 等腰（边）三角形的判定与性质、动点及折叠问题（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题08 等腰（边）三角形的判定与性质、动点及折叠问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰（边）三角形的判定 2 类型二、等腰（边）三角形的性质 2 类型三、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 5 类型四、等腰（边）三角形的折叠问题 10 类型五、等腰（边）三角形的存在性问题 15 类型六、等腰（边）三角形的动点问题 20 类型七、新定义问题 30 压轴能力测评 44 一、等腰三角形 1.等腰三角形的概念与性质 （1）等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底 ，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． （2）等腰三角形的性质 如图所示，在中，是等腰三角形， 其中为腰，为底边,是顶角，是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 二、等边三角形 1.等边三角形的概念与性质 （1）等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ②等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. （2）等边三角形的性质 ①等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴；②三个角都是60° 2.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 类型一、等腰（边）三角形的判定 【例1】如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【答案】或 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到 ，， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 【例2】如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形． 【变式1-1】如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1-2】如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【答案】 等边三角形 【详解】解：∵与关于对称，与关于对称， ∴，，，， ∴，， ∴为等边三角形； ∵与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴的周长， 故答案为：等边三角形；． 【变式1-3】如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件： ．使得是等边三角形．    【答案】或或或者 【详解】解：逆时针旋转得到，则， ， 若添加条件：或者，则是等边三角形； 若添加条件：，则是等边三角形； 若添加条件：， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：或或或者． 类型二、等腰（边）三角形的性质 【例3】如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵旋转角度， ∴，， ∵， ， ∴， ， ， ， 故选：B． 【例4】如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，点P为射线上一点（不包括点O），是等腰三角形， ∴存在两种情况：如图，当时， 则， ∴， ∴； 如图，当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式2-1】如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作， 直线， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ． 【答案】 【详解】解：在中，，， ， 由旋转得，，， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】或或 【详解】解：设， 将沿翻折至处，如图１， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ； 如图2， 由折叠可知，，，， 显然此时为钝角，， 若是等腰三角形，则只能，即， ， ． 综上所述，的度数或或． 故答案为：或或． 类型三、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 【例5】如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点B、C的对应点分别为点，连接，则的度数是 ． 【答案】135 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴． 故答案为：135． 【例6】如图，和是等边三角形，点，分别在，上，且，连接与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）和是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知， ，， ， ， ， ， ； （3）作于点，，交的延长线于点， ， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 【变式3-1】如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】/10度 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图所示，    ∵，D为边的中点 ∴，即垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴绕点顺时针旋转得到； （2）如图所示，    ∵为的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵点M在上，点E和点G关于对称 ∴和关于对称 ∴点F和点H关于对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴将绕点顺时针旋转得到． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-3】在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型四、等腰（边）三角形的折叠问题 【例7】如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：由题意可知：是的对称轴， ∴，即与关于对称， 周长为， ∴当三点共线时，最小值为线段， ∵，， ∴， ∴周长最小值， 故选：C． 【例8】如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为 （用含a的代数式表示）．    【答案】a 【详解】解：如图，连接，    ∴在中，， ∴当点在上时，点C与点之间的距离最小为， 如图，当点在上时，    由折叠的性质得：，，，， ∵在等边三角形中，是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：a． 【变式4-1】将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图①，，． （1）若，则的长为 ； （2）将图①继续沿折叠成图②，设， （用含x的代数式表示）． 【答案】 1 【详解】解：， ， 折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1；． 【变式4-2】把一张长方形纸片（长方形的各个角都是直角）沿对角线折叠，使点落在点的位置． (1)请用尺规作出点，再分别连接，，与的交点记为点；（要求：不写作法，保留清楚的作图痕迹） (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵点关于对称， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式4-3】如图，已知等腰中，，，是边上一个动点，将沿折叠得到，与交于点，再将边折叠到与重合，折痕为，点在射线上． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，的大小为______ ． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：在等腰中，，， ， 将沿折叠得到， ， ， ， ， ； （2）解：将沿折叠得到， ，， ， ， ， ， 将边折叠到与重合， ， ，即， ． 故答案为：． 类型五、等腰（边）三角形的存在性问题 【例9】如图1，为等边三角形，顶点坐标分别为，，，动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止． (1)的值为_____； (2)若点，点运动速度相同，求证：； (3)如图2，动点从点开始，沿着轴的正方向运动，以为边长作等边，连接并延长交轴于点．点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的坐标为：或 【详解】（1）解：过点作交于点 ∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止，点，点运动速度相同， ∴， ∵为等边三角形， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）答：存在，理由如下： ∵是等边三角， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∴， ∴， 当点在点是上方时，有， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； 当点在点是下方时，有， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的坐标为：或． 【点睛】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形，直角三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【例10】在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)（1）中①的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边的长为； （2）解：（1）中①的结论仍然成立． 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：①当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点．掌握全等三角形的判定和性质、等边对等角是解题的关键． 【变式5-1】如图，在中，，，点A的坐标是，点B、C在y轴上．在x轴上是否存在点P，使、和都是等腰三角形，如果存在，请画出相应的图形，并写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．    【答案】，；图形见解析 【详解】解：在x轴上存在点，，使、和都是等腰三角形．理由如下： 当在点左侧时，如图：    ∵，，， ∴，， ∴取关于y轴的对称点，则，，， ∴， ∴、和都是等腰三角形， 当在点右侧时，如图：    ∵，，， ∴，，， ∴在点右侧取一点，使，则， ∴， ∴， ∴， ∴、和都是等腰三角形， 综上，当点P的坐标为或时，、和都是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，坐标与图形性质，三角形内角和，三角形外角的性质，等角对等边，由等腰三角形三线合一的性质得出，是解题的关键． 【变式5-2】在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，22.5或45 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②∵， ， 当时，即， 解得， 即的值为22.5， 当时，， 解得， ∵， 不合题意，故舍去； 当，， 解得， 综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，的值为22.5或45． 【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键． 【变式5-3】如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或或或 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ； ， ， ， ， ，即； （2）平分，， ， ， ， ， 当时，如图，    则， ， ，即； 当时，如图，    则， ，即； 当，且点在线段上，如图，   ， ，； 当，且点在射线上，如图，   ，即， ， ，即． 综上，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识并善于利用分类讨论思想解决问题． 类型六、等腰（边）三角形的动点问题 【例11】如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【答案】2或或4． 【详解】解：当点Q在上时，时，， ∴， ∴，解得：． 当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为2或或4． 故答案为：2或或4． 【例12】如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）解：当线段的长度等于7时，． 理由：， ． ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：的度数为或． 分三种情况：①如图，当时， ， 则， ． ． ②如图，当时， 则， ， ， 此时． ③当时，， ，， ，不符合题意，舍去； 综上所述，和同时为等腰三角形时，的度数为或． 【变式6-1】如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【答案】或 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 【变式6-2】如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，理由见解析； 【详解】（1）证明: ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点关于直线的对称点， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：，理由如下， 如图，在上截取，设， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 同（）理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时， ∴， 两式相减得，， ∴； ②如图2，当点D在线段上时， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时， ∴， 两式相减得，， ∴． 综上所述，与的数量关系是． 46．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）①如图1所示： ； ②如图2所示： （2）如图3所示： （3）设， ①当时，如图， ② 当时，如图， ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不存在，应舍去． 综合上述，的度数为或． 类型七、新定义问题 【例13】定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 【答案】或 【详解】如图，记为等腰三角形，周长为13，， 当为腰时， 则底边为， ，符合， 此时，“优美比”； 当为底边时， 则腰为， ，符合， 此时，“优美比”． ∴k为或． 故答案为：或． 【例14】新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形， ，，， ， 即 ， ； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ∵和互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ． 【变式7-1】定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 【变式7-2】【定义】如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“非余三角形”    (1)如图，若是等边三角形，是边的中线，请你判断是否为“非余三角形”，并说明理由； (2)若是“非余三角形”，，则中最小角的度数为 ． 【答案】(1)是“非余三角形”，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：是“非余三角形”． 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边的中线， ∴，， 设，， ∵， 是否为“非余三角形”； （2）∵是“非余三角形”， ∴（与为的两个内角）， ①当时， 得：，解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ②当时， 得：，解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ③当的第三个内角的度数是时， 得：， 解得：， 此时中最小角的度数为； 综上所述，中最小角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查定义，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和定理等知识点．正确理解新定义，利用分类讨论思想、方程思想解决问题是解题的关键． 【变式7-3】定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 1．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，使得旋转后点的对应点恰好落在边上，连接，则的长为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选D． 3．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴②正确； ∴， ∵， ∴， ∴； ∴①正确； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴③正确； 连接， 由旋转可得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④错误； 正确的为：①②③； 故选：C． 4．如图，在四边形中，平分，，，，面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【详解】解：延长，交的延长线于点E． 平分，于点D， ，， ， ，是的中点，． ， ． 当时，面积最大，面积最大， 此时， 故选：C． 5．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，交于点P，与交于点Q，连接，,有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 过C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 所以，正确的是①②④， 故选：D． 6．如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图， ∵正方形 ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是对角线的中点， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 7．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 【答案】先变小后变大 【详解】解：∵点A与点F关于过点D的某条直线对称， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴周长， ∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大， ∴周长的变化规律是先变小后变大， 故答案为：先变小后变大． 8．如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为边的中点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴，，， ∵分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形的面积 即四边形的面积为 故答案为： 9．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 【答案】或或 【详解】解：∵， ∴， 又， 即， 解得， ∴， ∵平分， ∴． ①如图，当时， ， ∴； ② 如图 ，当时， ∴； ③如图，当时， ∴． 综上分析可知：的度数为：或或 故答案为：或或． 10．如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为 ． 【答案】/100度 【详解】解：如图，作点N关于的对称点D，作点M关于的对称点E，连接交于，点，则， ∴根据两点之间线段最短可得，的值是的最小值， ∴四边形的周长为， ∴四边形的周长最小值为：， 在中，∵，， ∴， 在中，， ∴， 由对称的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 即当四边形的周长最小时，的大小为． 故答案为： 11．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （2）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ，， ． ． 12．如图，等腰中，，D为延长线上点，，，与交于点F． (1)证明：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【详解】（1）证明：在与中， ，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 设，在中，， 在中，， ∴ 在中，， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． 13．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1) (2)点M、N运动秒时，可得到等边； (3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为秒． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得， 答：点M、N运动8秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即8秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 14．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．． (1)用含t的代数式表示的长； (2)如图2，当点D落在边上时，求证：； (3)当平行于的一边时，直接写出t的值； (4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为4或6 (4)10 【详解】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为4或6； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 15．如图，在和中，，，，连接． (1)如图1，当点恰好在边延长线上时，若，求的长； (2)如图2，当点恰在边上，若，求的长； (3)如图3，若，交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)4 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：， ， ， 又，， ， ， ， ； （2）解：同（1）理可证，， ， ，， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，过点作延长线于点， ， ， ， 同（1）理可证，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等腰（边）三角形的判定与性质、动点及折叠问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰（边）三角形的判定 2 类型二、等腰（边）三角形的性质 2 类型三、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 4 类型四、等腰（边）三角形的折叠问题 5 类型五、等腰（边）三角形的存在性问题 6 类型六、等腰（边）三角形的动点问题 8 类型七、新定义问题 11 压轴能力测评 14 一、等腰三角形 1.等腰三角形的概念与性质 （1）等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底 ，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． （2）等腰三角形的性质 如图所示，在中，是等腰三角形， 其中为腰，为底边,是顶角，是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 二、等边三角形 1.等边三角形的概念与性质 （1）等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ②等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. （2）等边三角形的性质 ①等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴；②三个角都是60° 2.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 类型一、等腰（边）三角形的判定 【例1】如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【例2】如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【变式1-1】如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【变式1-2】如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【变式1-3】如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件： ．使得是等边三角形．    类型二、等腰（边）三角形的性质 【例3】如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则 ． 【变式2-1】如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时， ． 【变式2-3】如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °． 类型三、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 【例5】如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点B、C的对应点分别为点，连接，则的度数是 ． 【例6】如图，和是等边三角形，点，分别在，上，且，连接与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【变式3-1】如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为 ． 【变式3-2】如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【变式3-3】在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 类型四、等腰（边）三角形的折叠问题 【例7】如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【例8】如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为 （用含a的代数式表示）．    【变式4-1】将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图①，，． （1）若，则的长为 ； （2）将图①继续沿折叠成图②，设， （用含x的代数式表示）． 【变式4-2】把一张长方形纸片（长方形的各个角都是直角）沿对角线折叠，使点落在点的位置． (1)请用尺规作出点，再分别连接，，与的交点记为点；（要求：不写作法，保留清楚的作图痕迹） (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，求的度数． 【变式4-3】如图，已知等腰中，，，是边上一个动点，将沿折叠得到，与交于点，再将边折叠到与重合，折痕为，点在射线上． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，的大小为______ ． 类型五、等腰（边）三角形的存在性问题 【例9】如图1，为等边三角形，顶点坐标分别为，，，动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止． (1)的值为_____； (2)若点，点运动速度相同，求证：； (3)如图2，动点从点开始，沿着轴的正方向运动，以为边长作等边，连接并延长交轴于点．点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例10】在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，在中，，，点A的坐标是，点B、C在y轴上．在x轴上是否存在点P，使、和都是等腰三角形，如果存在，请画出相应的图形，并写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．    【变式5-2】在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点（都不与点重合），交于点．设．    (1)如图，当时， ①求的度数； ②若，求的值． (2)如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等．若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 类型六、等腰（边）三角形的动点问题 【例11】如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【例12】如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式6-1】如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【变式6-2】如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 类型七、新定义问题 【例13】定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 【例14】新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【变式7-1】定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【变式7-2】【定义】如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“非余三角形”    (1)如图，若是等边三角形，是边的中线，请你判断是否为“非余三角形”，并说明理由； (2)若是“非余三角形”，，则中最小角的度数为 ． 【变式7-3】定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 1．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，使得旋转后点的对应点恰好落在边上，连接，则的长为（   ） A．12 B．6 C． D． 3．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 4．如图，在四边形中，平分，，，，面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 5．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，交于点P，与交于点Q，连接，,有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 6．如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ． 8．如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ． 9．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 10．如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为 ． 11．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 12．如图，等腰中，，D为延长线上点，，，与交于点F． (1)证明：； (2)当时，求的度数． 13．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒时，、两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 14．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．． (1)用含t的代数式表示的长； (2)如图2，当点D落在边上时，求证：； (3)当平行于的一边时，直接写出t的值； (4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上． 15．如图，在和中，，，，连接． (1)如图1，当点恰好在边延长线上时，若，求的长； (2)如图2，当点恰在边上，若，求的长； (3)如图3，若，交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 16．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$