专题07 全等三角形的常见模型（八大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题07 全等三角形的常见模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、角平分线模型 4 类型二、垂直模型 8 类型三、一线三角模型 13 类型四、手拉手模型 17 类型五、旋转模型 21 类型六、半角模型 28 类型七、倍长中线模型 35 类型八、截长补短模型 40 压轴能力测评 46 一、旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 二、一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 三、倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS) 四、半角模型 1. 等边三角形含半角 已知:是等边三角形,, , 结论:, 2. 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 3. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 五、手拉手模型 已知:在和中, , 连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 六、截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知：如图,在中,平分 1. 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接，结论: 2. 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接，结论: 类型一、角平分线模型 【例1】如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．    (1)求证：平分； (2)求证：； (3)求证：． 【变式1-1】如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【变式1-2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【变式1-3】如图，平分，于点，．求证：． 类型二、垂直模型 【例3】如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 【例4】如图，在四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)连接，求的长． 【变式2-1】如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    【变式2-2】如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【变式2-3】如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 类型三、一线三角模型 【例5】如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 【例6】如图，和都是等腰直角三角形，，A，D，E三点在一条直线上，求证：． 【变式3-1】如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式3-2】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 【变式3-3】如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      类型四、手拉手模型 【例7】已知如图，，在外部． (1)在按照下列要求尺规作图，保留作图痕迹：在的内部作，使，连接； (2)猜想（1）问中与的关系是_______________． 【例8】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 【变式4-1】如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接． 求证：． 【变式4-2】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-3】如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型五、旋转模型 【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（　　）    A．45° B．60° C．62.5° D．67.5° 【例10】在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 【变式5-1】如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积 ． 【变式5-2】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【变式5-3】如图①，，，，相交于点M，连接．    (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 类型六、半角模型 【例11】如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【例12】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【变式6-1】如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【变式6-2】如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝MF； （2）若AE＝2，求FC的长． 【变式6-3】如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 类型七、倍长中线模型 【例13】在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【例14】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【变式7-1】如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【变式7-2】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【变式7-3】如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 类型八、截长补短模型 【例15】如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【例16】已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【变式8-1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【变式8-2】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式8-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 1．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图：中，与交于点G，，，则 ． 3．如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 5．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 6．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 7．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 8．如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 9．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 10．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 11．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 12．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 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【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 【变式1-2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【答案】11 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵和的面积分别为60和38， ∴， ∴． 故答案为：11． 【变式1-3】如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类型二、垂直模型 【例3】如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵于F，于G，于H，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 梯形的面积为：， 三角形的面积为：， 三角形的面积为：， 实线围成的面积为： ， 故选：A． 【例4】如图，在四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接，如图， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）如图，过点作交的延长线于点，则， 是直角三角形，， ， ， ， ， ∵， ， ，． ， ， ， ． 【变式2-1】如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    【答案】50 【详解】解：∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 同理证得， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：50． 【变式2-2】如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 【答案】 【详解】解：解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 类型三、一线三角模型 【例5】如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【详解】解：如图：作于D，作于E，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 【例6】如图，和都是等腰直角三角形，，A，D，E三点在一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：过点B作交的延长线于点F． 则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 在中，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 【变式3-2】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 【变式3-3】如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      【答案】10 【详解】， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 类型四、手拉手模型 【例7】已知如图，，在外部． (1)在按照下列要求尺规作图，保留作图痕迹：在的内部作，使，连接； (2)猜想（1）问中与的关系是_______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：猜想：，； 如图，延长交于点G，交于点F， 作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【例8】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 【变式4-1】如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【详解】解：由旋转可知， ， ， ， 在和中 ， （SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及图形旋转的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式4-2】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 【变式4-3】如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵ 和均为等腰直角三角形 ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）； （2）解：∵, ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质和判定，掌握旋转全等的对应关系是解题的关键． 类型五、旋转模型 【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（　　）    A．45° B．60° C．62.5° D．67.5° 【答案】D 【详解】解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°． ∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB． 即∠ACD＝∠BCE． ∴△ACD≌△BCE． ∴∠CBE＝∠A＝45°． ∵AD＝BF， ∴BE＝BF． ∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题． 【例10】在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析； 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ①∴，∴ ②∴ （2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及有关性质是解题的关键． 【变式5-1】如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积 ． 【答案】18 【详解】解：连接FD，设CF与AD交于点M，CF与AB交于点N，如图： ∵四边形ABFG、BCED是正方形， ∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°， ∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC， 即∠ABD＝∠CBF， 在△ABD和△FBC中， ， ∴△ABD≌△FBC（SAS）； ∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC， ∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°， ∴AD⊥CF， ∵AD＝6， ∴FC＝AD＝6， 四边形ACDF的面积 ． 故答案为：18． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积，以及三角形的三边关系，属于多知识点的四边形综合题．能求出 并证明AD⊥CF是解此题的关键． 【变式5-2】在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【变式5-3】如图①，，，，相交于点M，连接．    (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为等腰直角三角形．证明见解析 【详解】（1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵， ， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键． 类型六、半角模型 【例11】如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【详解】在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故选：C． 【例12】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 【变式6-1】如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】证明：延长至H，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 则在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 【变式6-2】如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝MF； （2）若AE＝2，求FC的长． 【答案】（1）见解析；（2）FC=3． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°， ∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM ∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°， ∴F、C、M三点共线，∠EDM=90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ∵， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF； （2）设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且BC＝6， ∴BM＝BC+CM＝6+2＝8， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， 即， 解得：x＝5， ∴EF＝5， ∴CF=FM-CM=EF-CM=3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长． 【变式6-3】如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】延长到T，使得，连接 ∵是等边三角形， ∴， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故②正确． 连接，交于点Q， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 无法证明，也就无法证明，从判断①④错误， 故选C． 类型七、倍长中线模型 【例13】在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 【例14】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 【变式7-1】如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：C． 【变式7-2】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式7-3】如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 类型八、截长补短模型 【例15】如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 【例16】已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 【变式8-1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式8-2】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式8-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD， 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD=MD，∠ADF=∠ADM， ∵BD=DF， ∴BD=MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴ME=BE， ∵AF=AM，且AF=1.4， ∴AM=1.4， ∵AB=7.4， ∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6， ∴BE＝BM＝3， 即BE的长为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键． 1．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 2．如图：中，与交于点G，，，则 ． 【答案】 【详解】解：过作交于， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ； 故答案为：． 3．如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ，． 设， ， ，． 在中，， ∴， ，即． 解得：， ∴，． ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 【答案】6或 【详解】解：，， ，， 如图1，是等腰三角形，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 如图2，是等腰三角形，且，则， ， ，平分， ； 点D不与点B重合， ， ， ， ， 不存在是等腰三角形，且的情况， 综上所述，的长为6或， 故答案为：6或 5．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 6．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 7．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 8．如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ， ； （2）解：，，理由： 如图，连接， ， ， ． ∵，点是的中点， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ∴； （3）证明：∵，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 又，， ， ， ， ． 9．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 10．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 11．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 12．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析， 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$