第18章 等腰三角形压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

第18章 等腰三角形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴。 ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即旋转角为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 5．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，如图所示，则下列说法正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法①和④正确； 又∵，，， ∴，则说法③正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法②⑥错误； ∵， ∴， ∴，则说法⑤正确； 综上，说法正确的有4个． 故选：D． 二、填空压轴 6．在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 7．某次数学探究活动中，小明将一张斜边长为4的等腰直角三角形硬纸片）剪切成图1所示的四块（其中分别为的中点，分别为的中点）．小明将这四块纸片重新拼成图2所示的四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形的周长为 . 【答案】 【详解】解：在Rt中， ， ． 分别为的中点， ， 又分别为的中点， ． ． 四边形的周长为：． 故答案为： 8．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，若B，D，C三点恰好在同一直线上，有下列结论：①是等腰三角形；②；③．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【详解】因为绕点按逆时针方向旋转得到，所以． 所以是等腰三角形，故①正确． 由旋转性质可知，，，仅根据已知条件无法得出，故②错误． 因为绕点A按逆时针方向旋转得到， 所以， 所以． 在中，； 在中，． 又因为，，，． ， 得，故③正确． 综上，正确的是①③． 故答案为：①③． 9．如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 10．如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【详解】解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 11．如图，钝角中，，平分，点是上一定点，点，分别是射线，上的动点，当周长最小时， ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、，如图所示： 由对称性质可知，，， 周长，则当三点共线时，，此时的周长最小， ，平分， ， 连接、，如图所示： 由对称性可知，，， ，则， ， ，则， ，， 由三角形外角的性质可得， 同理可得 在中，由三角形内角和定理可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题求角度，涉及对称性质、两点之间线段最短、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法步骤是解决问题的关键． 12．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：在线段上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，三角形的底边与等腰直角三角形的直角边重合，保持三角形不动，等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针旋转，已知，若在旋转的过程中，旋转角度不大于且三角形与三角形有一条边平行，则的度数为 ． 【答案】或或或 【详解】解：∵，等腰直角三角形， ∴； 如图①中，当时， ∴， ∴；       ②如图②中，当时， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； ③如图③中，当时， ∴． ∵， ∴；    ④如图④中，当时， ∴． ∵， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 14．如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 15．如图，是正三角形中边上的高，在点，处各有一只电子乌龟和同时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到点距离之和最小时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，取，连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当共线时，最小，连接交于， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答压轴 16．如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：由图可知：， ， ； （2）解：， ∴， 又， 在与中： ， ， ∴； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ①当时，如图所示： ， ； ②当时， ， ， ； ③当时， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， ∴此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 18．如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为：，，，，见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴除与外所有的等腰三角形为：，，，． 19．如图，是等边三角形．是延长线上一点，连接并延长至点，使得．连接并延长，与延长线交于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，的数量关系并证明． 【答案】(1)补图见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：设，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，作，交于，则， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．如图，是的中线，为上一点，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 分以下三种情况： 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 22．已知线段，点是平面内一动点，连接、，且，过点作，且，连接，，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，过点作，且使，连接，若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)最小值为． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时， ∴有最小值，即最小值为． 23．点、、在直线上（、两点分别在点的左右两边），，． (1)如图1，若，证明：． (2)如图2，连接，若，点为平分线上的一点，且，连接、，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． （2）是等边三角形，理由如下： 连接， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴，， 根据（1）得， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， 故是等边三角形． 24．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见详解 (3) 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 25．已知在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合），以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． (1)若为等边三角形，当点D在线段上时，如图（1）所示，则直线与直线所夹锐角等于 度； (2)若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时，如图（2）所示，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若不是等边三角形，且，当点D在线段上时，如图（3）所示，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立并说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中得到的结论仍然成立，理由见解析 (3)（1）中结论不成立，当时，能使（1）中的结论成立，理由见解析 【详解】（1）解：∵为等边三角形，为等边三角形，点D在线段上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹锐角为， 故答案为：； （2）解：（1）中得到的结论仍然成立，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴仍然有直线与直线所夹锐角为， 即（1）中得到的结论仍然成立； （3）解：若不是等边三角形，问题（1）中结论不成立，当时，能使（1）中的结论成立，理由如下： 如图（3）所示，在上截取一点G，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 从而， ∴， ∴， ∴， 此时直线与直线所夹锐角为； 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 等腰三角形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 5．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，如图所示，则下列说法正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空压轴 6．在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 7．某次数学探究活动中，小明将一张斜边长为4的等腰直角三角形硬纸片）剪切成图1所示的四块（其中分别为的中点，分别为的中点）．小明将这四块纸片重新拼成图2所示的四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形的周长为 . 8．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，若B，D，C三点恰好在同一直线上，有下列结论：①是等腰三角形；②；③．其中，正确的是 （填序号）． 9．如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 10．如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 11．如图，钝角中，，平分，点是上一定点，点，分别是射线，上的动点，当周长最小时， ． 12．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为 ． 13．如图，三角形的底边与等腰直角三角形的直角边重合，保持三角形不动，等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针旋转，已知，若在旋转的过程中，旋转角度不大于且三角形与三角形有一条边平行，则的度数为 ． 14．如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 15．如图，是正三角形中边上的高，在点，处各有一只电子乌龟和同时起步以相同的速度分别沿，向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到点距离之和最小时，的度数为 ． 三、解答压轴 16．如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： (1) (2)． 17．如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 18．如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 19．如图，是等边三角形．是延长线上一点，连接并延长至点，使得．连接并延长，与延长线交于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，的数量关系并证明． 20．如图，是的中线，为上一点，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求证：． 21．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 22．已知线段，点是平面内一动点，连接、，且，过点作，且，连接，，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，过点作，且使，连接，若，求的最小值． 23．点、、在直线上（、两点分别在点的左右两边），，． (1)如图1，若，证明：． (2)如图2，连接，若，点为平分线上的一点，且，连接、，试判断的形状并说明理由． 24．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 25．已知在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合），以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． (1)若为等边三角形，当点D在线段上时，如图（1）所示，则直线与直线所夹锐角等于 度； (2)若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时，如图（2）所示，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若不是等边三角形，且，当点D在线段上时，如图（3）所示，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立并说明理由． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$