第17章 三角形压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

第17章 三角形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 当点在上时取“”，此时取得最大值， ∴的最大值为． 故选：C． 2．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ∴， ，故③错误； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，故④②正确； ∴正确的是①②④， 故选：． 4．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则 此时 ∴当点在同一直线上时，有最大值，此时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 由题意得和关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，, ∵ 故选：C． 5．如图，等腰中，，，点为直线上一点，以为边作等边，连接，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过A点作于F， 过E点作于P，连接， ∵， ∴， 在等边中，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点为直线上一点， ∴点为直线上运动， ∵， ∴，即点P为的中点， ∴点A关于直线的对称点为点C， 如图：连接，即， ∴， 当B、E、C共线时，即E为图中的， ∴为的最小值， 如图：连接，则， ∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空压轴 6．在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或或 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图②，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 7．如图，在中，，，于D，E和F分别在线段和上运动，且．当最小时，的度数是 ． 【答案】/77度 【详解】解：∵，， ∴， 在下方作，使， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，此时点到达点的位置，点到达点的位置， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是构造全等三角形，确定点的位置． 8．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． 9．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 10．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 11．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【详解】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 12．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，又， ∴， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，又 ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 【答案】1或1.5 【详解】解：设点的运动速度是，则有， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， 解得：，即点的运动速度是； 当时，， 解得：，即点的运动速度是； 综上所述，点的运动速度为1或，与全等， 故答案为：1或1.5． 14．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 15．如图，在中，，，E，F是内两点，，，当的值最小时，的度数是 °．    【答案】 【详解】过C点取线段的长等于线段的长，连接，，    在和中， ，，， ， ，， 在中，， A、F、D三点共线时，当的值最小，    在中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答压轴 16．如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析： (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： ． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点C关于直线的对称点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段之间的数量关系是，证明如下： 证明：如图：延长到M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 17．如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点E作垂直交于点G， ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点F是的中点． 18．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②6 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； （2）解：如图，设交于点O， 由（1）可知，， ， 又，，， ， ； （3）①证明：过点C作，，垂足分别为，， 则， 由（1）可知， ， 又， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， 解：②在线段上取一点G，使，连接， 由（2）可知，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，从而， 在和中， ， ， ， ，， ， 19．如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）解：平分， ， 又∵， ； （2）解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 20．如图，在中，． (1)如图1，______°； (2)如图2，若于点D，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至一点K，的平分线与的延长线交于点G，点E在上，点F在上，点H在上，连接、、，已知，，，求的度数． 【答案】(1)90 (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， 故答案为：90； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， （3）解：∵，且由（1）得， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的延长线交于点G， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， 则， ∵，且， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴得 ∴ 解得， ∴， 则，， ∴， 则． 21．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． (3)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，； (3)等于或． 【详解】（1）解：直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ； （2）解：的度数，． 直线与互相垂直，垂足为， ， 是的外角，设， ， 平分交于点，平分， ， ， ， 的值不变，且； （3）解：平分，平分，平分， ，，， ， 在中， 是的外角，是的外角， ；， ，即， 一个角是另一角的倍， 由图可知，可分种情况讨论： ①当时， ， ， ； ②当时， 即， ， ； 当时， ， ， 不符合题意，应舍去； 当时， 即， ， 不符合题意，应舍去； 综上所述，等于或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 22．操作与探究： 如图，已知长方形的每个内角都是直角，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C的对应点分别是的延长线与相交于点与相交于； (1)若，求的度数； (2)与的角平分线相交于点，求的度数； (3)设与的角平分线相交于，图中与之间存在某种关系，你能找出这个关系吗？说明理由； 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠， ∴，， ， ，， ； （2）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， ∵与的角平分线相交于， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 23．一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 【答案】(1)5，35 (2)10或25或40 (3)105 【详解】（1）解：如图（1），当时，， 平分，， ， 又为的一个外角， ， ； 如图（2），当时，， ， ， ， ． 故答案为：5，35． （2）解：①如图（3），当时， ， ， ； ②如图（4），当时， ，， ， ； ③如图（5），当时， ， ， 综上所述：当为10或25或40时，有两个内角相等． （3）解：是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是解题的关键． 24．（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）延长到点M，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），证明： 如图所示，延长到点M，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，在延长线上取一点，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 25．已知中，是角平分线． (1)若的平分线与相交于点． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，点，分别在，上，连接，，且，，试猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当时， P、Q两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】(1)①；②，证明见详解； (2) 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵中是角平分线，的平分线与相交于点， ∴， ∴； ②，理由如下， 在上截取， ∵的平分线与相交于点， ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中是角平分线，， ∴垂直平分， ∴，， 过作的垂线分别交、于点P，Q，此时最小即最小， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 三角形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 3．如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，等腰中，，，点为直线上一点，以为边作等边，连接，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空压轴 6．在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为 ． 7．如图，在中，，，于D，E和F分别在线段和上运动，且．当最小时，的度数是 ． 8．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 9．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 10．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 11．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 12．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）． 13．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 14．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 15．如图，在中，，，E，F是内两点，，，当的值最小时，的度数是 °．    三、解答压轴 16．如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 17．如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 18．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 19．如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，． (1)如图1，______°； (2)如图2，若于点D，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至一点K，的平分线与的延长线交于点G，点E在上，点F在上，点H在上，连接、、，已知，，，求的度数． 21．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． (3)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 22．操作与探究： 如图，已知长方形的每个内角都是直角，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C的对应点分别是的延长线与相交于点与相交于； (1)若，求的度数； (2)与的角平分线相交于点，求的度数； (3)设与的角平分线相交于，图中与之间存在某种关系，你能找出这个关系吗？说明理由； 23．一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 24．（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 25．已知中，是角平分线． (1)若的平分线与相交于点． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，点，分别在，上，连接，，且，，试猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当时， P、Q两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$