第01讲 分式的意义（2个知识点+11类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第01讲 分式的意义 （2个知识点+11类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 1.分式的概念； 2.分式有五意义的条件； 3.分式值为零的条件； 1.掌握分式的概念； 2.掌握分式有五意义的条件； 3.掌握分式值为零的条件； 知识点01 分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 【即学即练1】 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】2．下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．春节游河南，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到河南游玩，需要住宿，共有个大小相同的间房，结果还有个人无房住，则每间房可住的人数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】4．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即学即练1】 1．下列判断中，错误的是（   ） A．代数式是分式 B．当时，的值为0 C．当时，有意义 D．当时，没有意义 【即学即练2】2．若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【即学即练4】4．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型一 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．在式子，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有 个 4．在，，，，中，属于分式的有 个． 5．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 题型二 分式的规律性问题 6．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 7．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 8．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 9．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 题型三 按要求构造分式 11．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 12．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 13．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 14．已知公式，其中．用，，表示，那么 ． 15．下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 题型四 分式有意义的条件 16．要使分式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．若有意义，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 18．要使得有意义，则x的取值范围是 ． 19．当x 时，分式有意义． 20．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 分式无意义的条件 21．若分式无意义，则（   ） A． B． C． D． 22．当时，分式无意义，则□可以是（   ） A． B． C． D． 23．当x 时，分式有意义；当x 时，分式无意义． 24．已知分式的值不存在，则 ． 25．当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 题型六 分式值为零的条件 26．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 27．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 28．分式的值为0，则 ． 29．当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零． 30．当x取什么值时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 分式的求值 31．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 33．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 34．当时，分式的值是 ． 35．（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 36．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 37．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 38．分式的值为负数，求的取值范围 ． 39．若分式的值为正，则的取值范围为 ． 40．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 41．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 42．已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 44．使得为整数的自然数的个数为 个． 45．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 题型十 倒数法求分式的值 46．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 47．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 48．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 49．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 50．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型十一 分式的新定义问题 51．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ） A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2 52．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 53．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 54．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 55．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 1．若分式的值为0，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 3．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．取任意实数 5．下列判断中，错误的是（   ） A．代数式是分式 B．当时，的值为0 C．当时，有意义 D．当时，没有意义 6．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 7．如果分式的值为0，那么x的值为 ． 8．已知，那么的值为 ． 9．已知实数满足并且，则 ． 10．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 11．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 12．按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 13．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 14．阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 15．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 分式的意义 （2个知识点+11类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 1.分式的概念； 2.分式有五意义的条件； 3.分式值为零的条件； 1.掌握分式的概念； 2.掌握分式有五意义的条件； 3.掌握分式值为零的条件； 知识点01 分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 【即学即练1】 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：属于分式的有，，，一共3个， 故选：C． 【即学即练2】 2．下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式．根据分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式，不是分式，不符合题意； B．是整式，不是分式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不是分式，不符合题意； 故选：C． 【即学即练3】 3．春节游河南，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到河南游玩，需要住宿，共有个大小相同的间房，结果还有个人无房住，则每间房可住的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，每间房可住的人数为， 故选：． 【即学即练4】 4．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即学即练1】 1．下列判断中，错误的是（   ） A．代数式是分式 B．当时，的值为0 C．当时，有意义 D．当时，没有意义 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质等知识点，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 代数式是分式，正确，故选项不符合题意； B. 当时，分式没有意义，错误，故选项符合题意； C. 当时，分式有意义，正确，故选项不符合题意； D. 当时，，没有意义，正确，故选项不符合题意； 故选：． 【即学即练2】 2．若分式的值为零，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题的关键是明确分式值为零需分子为零且分母不为零． 先根据分子为零求出的值，再根据分母不为零对求出的值进行筛选． 【详解】要使分式的值为零，则分子，且分母， 由，解得或， 又因为分母，即， 所以． 故选：D． 【即学即练3】 3．关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义，分母的值不等于，分式的值为，分子的值为，分母的值不等于，据此逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意； 、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 【即学即练4】 4．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型一 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意． 故选：． 2．在式子，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子，，，，，，中，分式为、、，共3个， 故选：A． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有 个 【答案】4 【分析】本题考查了分式的定义：式子（A、B是整式，B中含有字母）叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有；；，，共4个， 故答案为：4． 4．在，，，，中，属于分式的有 个． 【答案】2 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故答案为：2． 5．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 题型二 分式的规律性问题 6．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 7．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 8．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． 9．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 题型三 按要求构造分式 11．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式． 【详解】解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 12．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 13．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶的时间为，然后再根据平均速度的计算方法表示出火车的平均速度． 【详解】一辆汽车行驶了，则它的平均速度为，一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为， 故答案为：， 14．已知公式，其中．用，，表示，那么 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时乘2，再除以，据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式的定义求解即可． 【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 题型四 分式有意义的条件 16．要使分式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义， 故选：B． 17．若有意义，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故选：A． 18．要使得有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：要使得有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 故答案为：． 19．当x 时，分式有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；根据分母，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：且； 故答案为：且． 20．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可 （2）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （4）解：∵分式有意义， ∴， ∴． 题型五 分式无意义的条件 21．若分式无意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 22．当时，分式无意义，则□可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．根据分式无意义的条件解答即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴B选项符合． 故选：B． 23．当x 时，分式有意义；当x 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义， 当，即时，分式无意义， 故答案为：；． 24．已知分式的值不存在，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．由分式的值不存在可知分式无意义，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式无意义， ∴， ∴． 故答案为：． 25．当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． 题型六 分式值为零的条件 26．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为0的条件是同时满足：（1）分子为0；（2）分母不为0．据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得． 故选：D． 27．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为0的条件即可解答． 【详解】解：分式的值为0， 且， 且， ． 故选：D． 28．分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 29．当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式的值为零的计算，理解以上知识，正确列式求解是关键． 分式有意义是指分式的分母不为零，分式的值为零是指分式的分子为零，分母不为零，由此列式求解即可． 【详解】解：分式有意义，则， 解得，， 分式的值为零，则，且， 解得，， 故答案为：①；②． 30．当x取什么值时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的值为0，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：且，解得：； （2）且，解得：； （3）且，解得：； （4）且，解得：． 题型七 分式的求值 31．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，将两边分别除以，进行求解即可． 【详解】解：∵，当时，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 32．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的求值，根据题意确定到是解题关键．根据题意得到，把代入，再约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 33．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键． 首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 34．当时，分式的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了求分式的值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 35．（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 36．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 37．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 38．分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 39．若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 40．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 41．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 42．已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 43．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 44．使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 45．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 题型十 倒数法求分式的值 46．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 47．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 48．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了倒数法解题，正确理解方法的内涵是解题的关键． (1)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． (2)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵取倒数得：， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 49．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 50．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 【详解】（1）由，知， ∴，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由， ∴，即， 则 ； 【点睛】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． 题型十一 分式的新定义问题 51．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（     ） A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2 【答案】C 【分析】①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解； 【详解】依题意得 ，即：b=3 ,即a=1 所以 整理得 解得 所以整数解是0，1 故选：C 【点睛】此题考查了分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题的关键． 52．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 53．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 即 ∴， 故答案为：． 54．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 55．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 1．若分式的值为0，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故选：A． 2．甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题还考查了分式的应用，解答此类问题的关键是要明确：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率．首先根据工作效率工作量工作时间，分别用两队挖的水渠的长度除以用的时间，求出甲乙两队每天挖多少米；然后根据工作时间工作量工作效率，用两队合挖水渠的长度除以甲乙两队的工作效率之和，求出需要的天数为多少即可． 【详解】解： （天 两队合挖米水渠，需要的天数为天． 故选：A． 3．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键； 根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 4．若分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键； 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故选：B． 5．下列判断中，错误的是（   ） A．代数式是分式 B．当时，的值为0 C．当时，有意义 D．当时，没有意义 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质等知识点，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 代数式是分式，正确，故选项不符合题意； B. 当时，分式没有意义，错误，故选项符合题意； C. 当时，分式有意义，正确，故选项不符合题意； D. 当时，，没有意义，正确，故选项不符合题意； 故选：． 6．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有无意义的判断方法，分式有意义的条件：分式的分母不等于 0 ，分式无意义的条件：分式的分母等于 0 ． 根据分式有意义的条件可得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．如果分式的值为0，那么x的值为 ． 【答案】1 【分析】分式的值为零：分子为零且分母不为零． 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：依题意得且， 则且． 解得． 故答案为：1． 8．已知，那么的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．熟练掌握设参法，是解题的关键． 【详解】解：设，则：， ∴； 故答案为：． 9．已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． （1）根据图象表示出即可； （2）根据分解因式可得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个长方形的面积都是5， ， ， 故答案为：4． 11．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可 （2）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （4）解：∵分式有意义， ∴， ∴． 12．按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把字母的值代入计算即可求出值． （2）把字母的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 13．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 14．阅读下列解题过程，并回答问题． 实数满足什么条件时，分式的值为0？ 解：且，即时分式的值为0． 仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0时，分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 根据分式的值为0时，分子为0，而分母不为0列不等式求解． 【详解】解：由题意可得且， 即时，分式的值为0． 15．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$