5.1 分式的意义-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 拍照批改 第4章整合拔尖 。“答案与解析”见P35 感知识体系构建 因式分解 概念。把一个多项式化成几个整式的积的形式 与整式乘法的关系。互逆关系 提取公因式法 公因式的概念一个多项式中每一项都含有的相同的因式 把一个多项式中每一项都含有的公因式 因式分解 提取公因式法的概念 提取出来进行因式分解的方法 括号前面添“+”号，括到括号里的各项都不变号： 添括号的法则 括号前面添“-”号，括到括号里的各项都变号 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 用乘法公式 平方差公式 文字描述。数的差的积 分解因式 字母表示a2-b=(a+b)(a-b) 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积 完全平方公式文字描述的2倍，等于这两数和（或者差）的平方 字母表示 a2+2ab+b=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b) S]高频考点突破 考点一因式分解的意义 考点二运用提公因式法分解因式 典例1(2025·浙江模拟)下列各式中，由左边 典例2易错题把下列各式分解因式： 到右边的变形属于因式分解的是 () (1)-14x3(x+5)+7x2y. A.m2-4+m=(m+2)(m-2)+m Bm-5=ma品 C.n(a+b)=na+nb D.x2+2x+1=(x+1)2 (2)10b2(a-2)-5b(2-a)2. 变式]若4x2+m.x+1=(2x一1)2成立，有下 列说法：①从左到右的变形是因式分解；②从 左到右的变形是整式的乘法；③m=4.其中，正 确的是 () (3)(m-n)+n(n-m)3+m(m-n)3. A.① B.② C.③ D.①③ 92 第4章因式分解 [变式]把下列各式分解因式： (2)4(a+2b)2-12a(a+2b)+9a2. (1)y(2a-b)+x(b-2a). (2)-3a+2+a+1-a”. (3)25(a+b)2-9(a-b)2. (3)(2x+3)2-2x-3. 考点四综合运用提公因式法、公式法分解因式 典例4把下列各式分解因式： (1)ax4-8a.x2y2+16ay. 考点三运用公式法分解因式 典例3*把下列各式分解因式： (1)(a+b)2+(a+b)+4 1 (2)m5-81m2n4. (2)(y+2x)2-(x+2y)2. (3)16.xa2b2-x(a2+4b2)2. (3)(2x+y)2-6(2x+y)y+9y2. [变式]把下列各式分解因式： [变式]把下列各式分解因式： (1)x4-8x2+16. (1)号(2m-3mP-2(2m-3n)+9. 93 拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 (2)(a2+4)2-16a2. 能被9整除吗？请说明理由. (3)2x3(a-1)+8x(1-a). [变式]当m为自然数时，(4m十5)2一9一定能 被 整除 考点六运用配方法求代数式的值 (4)(x2-3)2-12(x2-3)+36. 典例6★若实数m,n满足m2十n2+m2n2十 8mn十9=0，则(m一n)的值为 提示 已知等式中有两个未知数，就目前知识无法通 过解方程求出m,n的值.由于已知等式左边有4个 平方项：m2,m2,m2n2,9,故考虑把8mn拆成2m十 6,这样就可以把等式的左边凑成两个完全平方式 考点五运用因式分解说理 (这种方法叫作配方法)，然后运用非负数的性质 典例5随便写出一个十位上的数字与个位上 求解 的数字不相等的两位数，将它的十位上的数字 与个位上的数字对调得到另一个两位数，并用 [变式1已知a2+62=2a-6-2,则3a-20 较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定 的值为 综合素能提升 1.(2025·杭州萧山期中)下列因式分解正确3.把(a+b)一4(a一b2)+4(a一b)2分解因 的是 式的结果为 () A.-2a2+4a=-2a(a+2) A.(3a-b)2 B.(3b+a)2 B.3ax2-6axy+3ay2=3a(x-y)2 C.(3b-a)2 D.(3a+b)2 4.（2025·杭州段考)已知a=m+2024,b= C.2x2+3x3+x=x(2x+3x2) m+2025,c=m+2026,则代数式a+b2+ D.m2+n2=(m+n)2 c2-ab一bc-ac的值为 () 2.若多项式(a十b-c)(a十c-b)+(b一a十c)· A.5 B.6 (b-a一c)=M(a-b十c),则M等于() C.3 D.8 A.2(b-c) B.2a 5.已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,则(a+ C.2b D.2(a-c) 2b)2025的值为 94 第4章因式分解 6.数形结合思想我们学习的许多代数公式，都可9.新考法·阅读理解阅读下面的材料： 以用几何图形来推理验证.观察图①，a2 把多项式x十4分解因式： 1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a十1).接下 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直 来，观察图②，通过类比思考，分解因式：α3一 接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该 式只有两项，而且属于平方和(x2)十22的形 式，要使用公式就必须添一项4x,再将此项 4x2减去，得x4+4=x4+4x2+4-4x2= ① ② (x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(.x2十 (第6题) 2x+2)(x2-2x+2). 7.(2025·宁波段考)a2+b=1,c2+d=1,且 人们为了纪念苏菲·热门给出了这一解法， ac+bd=0,求ab+cd的值为 就把它叫作“热门定理” 8.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 请你依照苏菲·热门的做法，将下列多项式 a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用的面 分解因式： 积为M. (1)x4+4y4 (1)用含a,M的代数式表示A中能使用的 (2)x2-2ax-b2-2ab. 面积： (2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的 使用面积. (第8题) 95方法归纳 运用配方法求字母的值的方法 解决这类题目的两种常见方 法：①先把字母、常数项一起移到 等式的左边，再把平方项及其可能 的2ab项放到一起，据此把常数项 拆成需要的另一个平方项，并把等 式左边运用因式分解法写成完全 平方式，最后根据非负数的性质得 到关于字母的方程，解之可求得字 母的值，②若题中的常数项为平方 数，则一般先分析题中的平方项， 然后把题中的一次项拆成需要的两 项，并把等式左边运用因式分解法 写成完全平方式，最后根据非负数 的性质得到关于字母的方程，得到 字母的数量关系或求出字母的值 [变式]4解析：因为口+子6 2a-b-2,所以(a2-2a+1)+ (262+b+1)=0.所以(a-1)2+ (2b+1）=0.因为(a-1)2≥0， (3b+1)°≥0，所以a-1=0,2b+ 1=0.所以a=1,b=-2.所以3a- 26=8×1-2×(-2》=3+1=4 [综合素能提升] 1.B解析：-2a2+4a=-2a(a 2),故选项A错误；3ax2-6axy+ 3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(.x y)2,故选项B正确；2x2+3x3十x x(2.x十3.x2十1)，故选项C错误： m2十n2不能进行因式分解，故选项D 错误 2.D解析：(a+b-c)(a十c-b)+ (b-a+c)(b-a-c)=(a+b-c)· (a+c-b)-(b-a+c)(a+c-b)= (a+c-b)[(a+b-c)-(b-a+ c)=(a-b+c)(a+b-c-b+a- c)=2(a-c)(a-b+c),所以M(a b+c)=2(a一c)(a一b+c).所以 M=2(a-c). 3.C解析：(a十b)2-4(a2-b2)+ 4(a-b)2=(a+b)2-2(a+b)· [2(a-b)]+[2(a-b)]2=(a+ b-2a+2b)2=(3b-a)2. 4.C解析：因为a=m十2024，b= m+2025,c=m+2026,所以a b=-1,b一c=-1,a一c=-2.所以 1 a2+62+c2-ab-bc-ac=2X (2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)= 7×[(a-b)2+(a=c)2+(b c)2]=2 ×[(-1)2+(-2)2+ (-1)2]=3 5.1解析：因为(a+2b)2-2a 4b+1=0,所以(a+2b)2-2(a+ 2b)+1=0.所以(a+2b一1)2=0.所 以a+2b一1=0.所以a+2b=1.所 以(a+2b)225=1205=1. 6.a(a-1)+a(a-1)+(a-1) (a一1)(a2+a+1)解析：因为题图 ②中的几何体可以看作是棱长为a 的正方体减去一个棱长为1的正方 体，所以题图②中几何体的体积为 a3一1.因为题图②中的几何体的体积 也可以看作三个长方体的体积相加， 所以题图②中几何体的体积为a× (a-1)×a+a×(a-1)×1+(a 1)×1×1=a2(a-1)+a(a-1)+ (a-1).所以a3-1=a2(a-1)+ a(a-1)+(a-1).从式子a2(a- 1)+a(a一1)+(a-1)中提取出(a 1),可得a2(a-1)+a(a-1)+(a 1)=(a-1)(a2+a+1). 7.0解析：因为a2+b2=1,c2十 d2=1,所以ab+cd=abX1+cdX 1=ab(c2+d2)+cd(a2+b2)= abc2+abd2+cda2+cdb2 =abc2+ cdb+abd2+cda=bc (ac+bd)+ ad(bd-ac)=(ac+bd)(bc+ad). 为ac+bd=0,所以ab+cd=0. 8.(1)a2-M. (2)因为a+b=10,a-b=5, 所以A比B多出的使用面积为(a2 36 M)-(b2-M)=a2-b2=(a+ b)(a-b)=10×5=50. 9.(1)原式=x4+4x2y2+4y4 4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(.x2+ 2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2)原式=x2-2ax十a2-a2-b2 2ab=(x-a)2-(a+b)2=(.x-a+ a+b)(x-a-a-b)=(x+b)(x- 2a-b). 第5章分式 5.1分式的意义 1.A2.B3.A4.-4 5.2解析：因为当x=1时，分式 ，3一无意义，所以当x=1时， x2+x-a 分母x2+x-a=0.所以1+1一a= 0,解得a=2. 7 6.(1)x=2 (2)x=5 (3)当x=一1时，原式 5×(-1)-1_2 2X(-1)-73· 7.A解析：因为不论x取何值， x2≥0，所以x2+2>0.所以分式 x+2一定有意义 8.C解析：由题意，得x一1=0， 2x十y≠0，解得x=1,y≠-2. 9.C解析：当x=一1，m=2时， x2-4x十m≠0，所以分式有意义.故 ①正确.当x=3时，x2一4x十m= m一3，此时当m=3时，其值为0，所 以分式可能无意义.故②错误.当x= 1,m=3时，x2一4.x+m=0,所以分 式没有意义.故③正确.当x一3且 m≠3时，x2-4x+m=9-12+ m=-3十m≠0.因为x-3=0,所以 原式=0.故④正确.综上所述，正确的 有3个. 10.12一6解析：由题意，得小林这 天到学校所用的时间为(12-b)mim. 所以他为了按平时的时间准时到校， 平均速度立为12”bam/mim 11.3解析：根据题意，得x2-9=0 且x+3≠0，解得x=3, 12.0解析：把x=1,y=2和x=2, y=3分别代入等式y=x2+m.x十n, (1+m+n=2, m=-2, 得 解得{ 4+2m+n=3, n=3. m=一2，n=3时， 3m+2m 11m 3×(-2)+2×3 0 11×(-2) 13.(1)修这条路实际用了 天 (2)当x=135时，2x十30 1500 1500 2×135+30 =5, 所以实际修完这条路用了5天， 14答案不唯-，如 15.不能 理由：若分式的值为0，则1一x2=0, 解得x=1或x=一1. 当x=1时，(1+xy)2-(x+y)2= (1+y)2-(1+y)2=0: 当x=-1时，(1+xy)2-(x十y)2= (1-y)2-(-1+y)2=0, 所以不论x取1还是一1，原分式分 母的值都为零」 所以原分式的值不能为零 16.(1)当x+1=士1，士3时，分式 x十的值是整数， 3 所以x=0,-2,2,-4. 2)3x-2=36+）=5=3-,5 x+1 x+1 +1 当+1士1，士5时，分式号的 值为整数， 所以x=0,一2,4，-6. 5.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 与约分 1.D2.D3.C4.D 5x-10 5.3.x+20 6.(1)原式=-20 62c 2)原式=品 (3)原式=(xa)2 1 (x-a)3 x-a (4)原式=+5)(z-5)-x+5 (x-5)2 x-51 7.A解析：若b=0,则2ub a (2a-b)b2 a2b2 不成立，故选项A不正确！ -是安，故选 6x2 项B正确由b可知，u≠0，则 。成立，枚选项C正确由可知， x≠0，则2 成立，故选项D xy y 正确 易错警示 运用分式的基本性质时出错 在运用分式的基本性质对分 式进行变形时，要注意分子和分母 同乘（或除以）的整式不等于零这 一条件 8.D 4(x+2) 9.B解析：原式=x十2)(x-2) 一2因为x为整数，分式的值也为 4 整数，所以x一2=一4或2或一1 或1或2或4，且x2-4≠0.所以x= 0或1或3或4或6.所以所有符合条 件的x的值有5个. 10.A解析：设玻璃瓶的底面积为 Scm,倒立放置时，没有墨水的部分 的体积为bScm3,正立放置时，有墨 水部分的体积是aScm3,所以瓶内墨 水的体积占玻璃瓶容积的S干s as a+b' 11.a≠2 解析：因为等式 37 8。产在以左到右的 (2a-3)x 变形过程中，分子和分母同除以同一 个整式2a一3，所以根据分式的基本 性质，得3一2a≠0，解得a≠之 3 3.x2-x-2 12. 5.x3-2.x+3 解析：分子中次数 最高的项为一3x2,分母中次数最高 的项为一5.x3,系数均为负数，所以分 子与分母都乘-1，可得3x-2 5x3-2x+31 13.x-y解析.612y+6y2 6.x-6y 6(x2-2.xy+y2)6(x-y)2 6(x-y) 6(x-y) x一y. 14.答案不唯一，如选a2一1作为分 子，a2一a作为分母，可得-1 a2-a (a+1)(a-1)a+1 a(a-1) a 当a=2时原式-2岁-是 15.由题意，得M=6+1D6-D b-1 b+1,N= (6-1)(b-1)(b+1)= (b-1)2 b+1. 所以器治号 1 16.由题意，得总路程=1十2W2, 所以小明下山所用的时间是 ut+2t2211+t2 40 8 17.原式 x(x+1)(x1)2 x(x-1)(x+1Dx-D1. 由此，可知只要x的值不取一1,0,1， 得到的结果都是1. 所以小明虽然抄错了x的值，但他的 计算结果是正确的， 18.因为左边= (a+b)(a2-ab+b2) (ata-b)La2-a(a-b)+(a-b)27 (a+b)(a2-ab+b2) (a+a-b)(a2-ab+b2)