精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年下学期九年级二模数学试题

山东省聊城市莘县2024-2025学年下学期九年级二模数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的平方根是（ ） A. 25 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，25的平方根是解答即可． 本题考查了绝对值的化简，平方根，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】解：根据，25的平方根是． 故选：C． 2. 据报道，清华大学研究团队研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据“160万亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵万亿， 故选：B． 3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题． 【详解】解：∵错误， 故A不合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：C． 【点睛】考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 6. 为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】A 【解析】 【分析】设可分成每小组4人的小组 组，每小组6人的小组组，利用各组人数之和为50人，即可得出关于 ，的二元一次方程，结合 ，均为自然数，即可得出共有4种分组方案． 【详解】解：设可分成每小组4人的小组 组，每小组6人的小组组， 依题意得：， ． 又，均为自然数， 或或或， 共有4种分组方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 的坐标为。以为边作矩形 ，若将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】∵点 的坐标为，点 的坐标为， ， ∵四边形 是矩形， ∵将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，勾股定理的应用；根据题意求得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 9. 如图，点 是的内心，的延长线和的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ，则下列结论：①；②若，则；③若点 为 的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据点 是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； ，得出，再由点 为 的中点，则成立，故③正确；根据点 是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵点 是的内心， ∴，故①正确； 如图，连接BE，CE， ∵点 是的内心， ∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE， ∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE）， ∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠CBE+∠BCE=60°， ∴∠BEC=120°，故②正确； ∵点 是的内心， ∴， ∴, ∵点 为 的中点， ∴线段AD经过圆心O， ∴成立，故③正确； ∵点 是的内心， ∴， ∵∠BED=∠BAD+∠ABE， ∴， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD， ∴， ∴∠DBE=∠BED， ∴，故④正确； ∴正确的有4个． 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是边 上的高．点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出 ，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出 ，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边 上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当 时，． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 12. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义计算即可． 本题考查了实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母，得m+4=3x+2(x-3)， 去括号，得m+4=3x+2x-6， 移项、合并得5x=10+m， 系数化为1，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得m=5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键． 14. 如图， 是正五边形 的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的内接正多边形的性质可得的长度为 周长的，再根据的长度为圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， ∵ 是正五边形 的外接圆， ∴， 解得：． ∴这个圆锥底面圆的半径是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，求圆锥底面半径，解题的关键是根据题意得出的长度为圆锥底面周长． 15. 对于一个四位自然数，若它的千位数字 比个位数字 多6，百位数字 比十位数字多2，则称 为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，列代数式，根据“天真数”的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：依题意，， 0是最小的自然数， 由“天真数”的定义可知，最小的“天真数”的个位数和十位数为0，即， 千位数为，百位数为， 最小的“天真数”为； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组并写出该不等式组的所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），整数解为（2）； 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，分式化简求值，熟练掌握确定不等式组的解集和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先求出两个不等式的解集，然后确定出两解集的公共解集即，最后把两个解集画在数轴上； （2）先根据分式混合法则计算，即化简，根据二次根式的性质以及负指数幂，特殊角的三角函数值得出 ，再把 代入化简式计算即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，整数解为 （2） 原式 17. 【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为不小于60的整数，分为四个等级：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在 等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； （1）任务1：求所抽取的学生成绩为 等级的人数，并补全条形统计图； （2）任务2：求所抽取的学生成绩的中位数； （3）任务3：请计算扇形统计图中“ 组”所在扇形的圆心角的度数； （4）任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为 等级的人数． 【答案】（1）7人， 补图如下： ． （2）85分 （3） （4）200人 【解析】 【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补图即可． （2）根据中位数的定义计算解答即可； （3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可． （4）根据样本估计整体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， C等级的人数为（名）． 【小问2详解】 解：根据题意，得中位数是第15个，第16个数据的平均数， ∵从小到大排序为：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 第15个，第16个数为84，86， 故中位数为． 【小问3详解】 解：A等级所占圆心角为：． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人） 答：成绩为 等级的有200人． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 18. 在尺规作图专题课上，老师让同桌各设置一个问题考考对方： （1）如图1，在中，，，以点 为圆心，以 的长为半径画弧交于点 ，连接，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交于点 ，交 于点 ，连接，求的值． （2）如图，在中，，分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线，与相交于点 ，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据作图可得 平分，先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据作图可得是 的垂直平分线，则，勾股定理求得 的长，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 平分， ∴， 在 与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 在中，， ∴， 根据作图可得是 的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 ， 处测出点 的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图， 的长为，高 为．他在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过 作，垂足为 ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过 作，垂足为 ， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵ 的长为，高 为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 20. 在矩形中，，点 是 边上一个动点（不与端点重合）．设，点 到的距离为． （1）求与 之间函数表达式，并求出自变量 的取值范围． （2）若（1）中的函数关系（不考虑自变量的取值范围）与一次函数交于 、 两点，若点 是 轴正半轴上的一点，且，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数交点问题； （1）首先利用相似三角形的判定与性质得出与 之间的关系，进而根据勾股定理求得 的长即可求出 的取值范围． （2）根据题意联立解析式，求得的坐标，设， ，根据可得，即可求解． 【小问1详解】 如图，连接 ， 在矩形中， ， ， ， ， 即 ， 矩形对角线， 的取值范围是：． ∴ 【小问2详解】 解：依题意，联立 解得：或 ∴，， ∴， 设， ， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积． 【答案】 （1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴OA∥DE． ∴∠OAE+∠AED=180°， ∵AE⊥CD， ∴ ∴∠OAE＝90°， 即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°． ∵∠AED＝90°， ∴∠BAD＝∠AED， 又∵∠2＝∠3， ∴． ∴ ∵BA＝6，AE＝3， ∴BD＝2AD， ∴∠ABD＝30°， 由 ∴BD＝， 延长AO交BC于H， 则四边形AHCE是矩形， ∴∠AHC＝90°，CH＝AE＝3， ∴BC＝2CH＝6， ∴cos∠CBD＝ ∴∠CBD＝30°， ∴∠COD＝∠AOD＝60°， 由阴影部分面积＝ ∴阴影部分面积＝ 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点 是边 上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点M、N， 的对应边为，与 交于点 ．探究的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点 恰好是边 的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点 的位置：如图2，若，求的周长（用含 的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边 的等量关系．但由于边长的一般化及点 位置的不确定，会导致、、 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）5 （2）的周长为（3）可以，的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，，设，则，根据勾股定理得到，解方程即可． （2）设，则，得到，解得，则，证明，求得，，解答即可； （3）设，，则，，，设，则，则，解得，则，仿照第二问的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片，，点 恰好是边 的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得 ， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，抛物线经过点，并交 轴于另一点 ，点在第一象限的抛物线上， 交直线 于点 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点 为抛物线的顶点，求四边形的面积； （3）当的值最大时，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分别代入抛物线解答即可； （2）根据解析式得，对称轴为直线 ，结合点A，点B是对称点，可以确定点B的坐标，设直线 的解析式为，与对称轴 的交点为M，解得，得到直线 的解析式为，故点，． 结合解答即可． （3）不妨设，过点P作交 的延长线于点N， 故，解得，得到， 确定，，根据， 得到，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【小问1详解】 解：把分别代入抛物线， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，对称轴为直线 ． ∵点A，点B是对称点， ∴， ∴， ∴， 设直线 的解析式为，与对称轴 的交点为M， 故， 解得， ∴直线 的解析式为， ∴ 时，， 故点， ∴． ∴ ． 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点P作交 的延长线于点N， 故， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省聊城市莘县2024-2025学年下学期九年级二模数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的平方根是（ ） A. 25 B. C. D. 5 2. 据报道，清华大学研究团队研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据“160万亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 6. 为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形 ，若将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点 是的内心，的延长线和的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ，则下列结论：①；②若，则；③若点 为 的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，， ，， 是边 上的高．点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，，则的值为_________． 12. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么______． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为________． 14. 如图， 是正五边形 的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 15. 对于一个四位自然数，若它的千位数字 比个位数字 多6，百位数字 比十位数字多2，则称 为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组并写出该不等式组的所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为不小于60的整数，分为四个等级：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在 等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； （1）任务1：求所抽取的学生成绩为等级的人数，并补全条形统计图； （2）任务2：求所抽取的学生成绩的中位数； （3）任务3：请计算扇形统计图中“ 组”所在扇形的圆心角的度数； （4）任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为 等级的人数． 18. 在尺规作图专题课上，老师让同桌各设置一个问题考考对方： （1）如图1，在中，，，以点 为圆心，以 的长为半径画弧交于点 ，连接，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交于点 ，交 于点 ，连接，求的值． （2）如图，在中，，分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线，与相交于点 ，求 的长． 19. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 ， 处测出点 的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图， 的长为，高 为．他在点 处测得点 的仰角为，在点 处测得点 的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 20. 在矩形中，，点 是 边上一个动点（不与端点重合）．设，点 到的距离为． （1）求与 之间函数表达式，并求出自变量 的取值范围． （2）若（1）中的函数关系（不考虑自变量的取值范围）与一次函数交于 、 两点，若点是 轴正半轴上的一点，且，求点的坐标． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积． 22. 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点 是边 上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点M、N， 的对应边为，与 交于点 ．探究的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点 恰好是边 的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点 的位置：如图2，若，求的周长（用含 的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边 的等量关系．但由于边长的一般化及点 位置的不确定，会导致、、 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 23. 如图，抛物线经过点，并交 轴于另一点 ，点在第一象限的抛物线上， 交直线 于点 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点 为抛物线的顶点，求四边形的面积； （3）当的值最大时，求点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $