2026年中考数学热门考点通关练：反比例函数平行四边形存在性问题

**基本信息** 聚焦反比例函数与平行四边形存在性综合，以分类讨论、坐标关系转化为核心方法，构建“解析式求解-性质应用-存在性探究”的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|1-4题|待定系数法求函数解析式|反比例函数概念生成→坐标代入求k值| |性质应用|5-8题|平行四边形性质转化坐标关系|对边平行/对角线平分→中点公式/平移规律| |存在性探究|9-14题|分类讨论+方程思想|函数图像与几何图形结合→多情境存在性论证|

2026年中考数学热门考点通关练：反比例函数平行四边形存在性问题 1．（23-24广西百色·期末）如图，已知平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数（k≠0）的图象经过点C． （1）求反比例的函数表达式： （2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数（k≠0）的图象上． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，直线交x轴于点，交y轴于点，交双曲线于点． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的横坐标a的值． 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接、．若四边形是平行四边形，求的坐标． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 7．（2025广东深圳·月考）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点A，点A的横坐标为4． (1)求反比例函数的表达式； (2)设直线与y轴交于点C，过点A作轴于点E，连接，求证四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图，点，都在反比例函数的图像上． (1)求m，k的值； (2)若M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求直线的函数表达式． 9．（24-25·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围； (3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标． 10．（24-25九年级下·吉林延边·月考）如图，在平面直角坐标系上，平行四边形的顶点，，一反比例函数的图象过点．将平行四边形沿轴向右平移，使边的中点在该反比例函数图象上． (1)点的坐标为__________． (2)求反比例函数解析式． (3)在平移过程中，直接写出平行四边形扫过的面积． 11．（25-26九年级上·全国·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数表达式； (2)如图1，线段沿轴向右平移，点、分别对应点、，线段与反比例函数图象相交于点，当点为中点时，求线段向右平移了多少个单位？ (3)如图2，为反比例函数图象上一动点，四边形为平行四边形，交反比例函数图象于点，当点的横坐标与点的横坐标相等时，请探究、的数量关系，并说明理由． 12．（2024浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m和一次函数的解析式； （2）利用图象直接写出不等式的x的取值范围； （3）若在平面直角坐标系内有一点C使得四边形为平行四边形求点C的坐标及平行四边形的面积． 13．（2025浙江杭州·月考）如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 14．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0）， ∴CB＝OA＝3， 又CB∥x轴，B（4，2）， ∴C（1，2）， ∵点C（1，2）在反比例函数（k≠0）的图象上， ∴k＝xy＝2， ∴反比例的函数表达式y＝； （2）∵四边形OABC是平行四边形， ∴ 对角线的交点即为线段OB的中点， ∵O（0，0），B（4，2）， ∴ 对角线的交点为（2，1）， ∵21=2=k ， ∴平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上． 2．(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数表达式，平形四边形性质及坐标与图形综合， （1）先用待定系数法求出直线解析式为，进而求出，代入求出反比例函数表达式； （2）设，，根据平行四边形性质得出，进而列方程并解方程即可解决； 【详解】（1）解：把代入可得， ，解得， ∴直线解析式为， 把代入可得，， 把代入， 解得， 即双曲线解析式为； （2）解：设，， ∵点P在线段上， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解，但， ∴； 3．(1)反比例函数解析式为；一次函数的解析式为 (2)点M的坐标为 【分析】本题反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）把点B的坐标代入反比例函数解析式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式；再把点A的坐标代入反比例函数式，求得a的值，得点A的坐标；用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数解析式可求得点C的坐标，则得的长；设点，由题意，则可求得b的值，从而求得点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意，点B在反比例函数图象上，则有， ∴， 即反比例函数解析式为； ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 即； 把点A、B的坐标代入中，得，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的解析式为， ∴令，则， 即，； 设点， ∵轴，且点N在x轴正半轴上， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴ ∴点M的坐标为． 4．（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 5．(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 6．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，平行四边形的性质，画出图形，利用平行四边形的性质列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）画出图形，根据平行四边形的性质可得，列方程即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得，解得， 反比例函数的解析式为； 把代入，可得， ， 把，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， 如图，当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，即轴，且， 设点，则， 则可得， 整理得， 解得， ，， 即点D的坐标为或 7．（1）解：∵点A的横坐标为4， ∴， ∴， 把点代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 8．(1)， (2)或 【分析】（1）求、两个未知字母，把、两点代入反比例函数即可； （2）按图中所给情况，、有可能都在坐标轴的正半轴，也有可能在坐标轴的负半轴，因此要分类讨论，平移应找到对应点，看是如何平移得到．求出直线的函数表达式，需求出，两点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ，， ； （2）解：存在两种情况，如图： ①当点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上时，设点坐标为， 点坐标为， 四边形为平行四边形， 线段可看作由线段向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的， （也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的） 由（1）知点坐标为，点坐标为， 点坐标为，即， 点坐标为，即， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 解得， 直线的函数表达式为； ②当点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上时， 设点坐标为，，点坐标为， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 点、与、关于原点成中心对称， 点坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 解得， 直线的函数表达式为． ③为对角线时，平行四边形不存在． 综上所述，直线的函数表达式为或． 【点睛】本题考查求函数解析式，反比例函数图象性质，平行四边形的性质，平移的坐标变换规律．平行四边形从动态来看也可以是由一条线段平移得到的是解题的关键． 9．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合 （1）依据题意，先将代入反比例函数解析式求得,再将代入反比例函数解析式求得,最后将点的坐标代入一次函数解析式，即可得解； （2）依据题意，由可知，当时，即为一次函数的图象在反比例函数图象的下方时对应的自变量x的取值范围，结合图象可以得解； （3）设 ，分两种情况进行讨论即可，当为边，为对角线时；当为边，为对角线时；总共存在三种答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为. ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴. 将点代入得 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：或； 当时，，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，观察图象可知，此时x的取值范围是或. （3）解：设 ①如图①，当为边，为对角线时，由题意知， ∴ ∴， 整理得， ∴或（舍）， ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴即 解得 ∴； ②如图①，当为边，为对角线时， 同①可得. ∵四边形ABDC为平行四边形， ∴即 解得 ∴ ③如图②，当为边，为对角线时，由题意得. 联立解得或 ∴. ∵四边形为平行四边形， ∴ 即解得 ∴. 综上所述，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或 10．(1) (2) (3) 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，即得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）求出平移前后中点的坐标，进而求出平移的距离，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设反比例函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵，， ∴平移前中点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴平移后中点坐标为， ∴平行四边形平移的距离为， ∴平行四边形扫过的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，中点坐标公式，平移的性质，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 11．(1) (2)线段向右平移了个单位 (3)，理由见解析 【分析】（1）将代入，可得，再进一步求解即可； （2）设线段向右平移了m个单位，则，，根据中点坐标公式求出，最后把D的坐标代入求解即可； （3）设，则，根据平行四边形的性质可求出，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，整理得，求出得，（不符合题意，舍去），过Q作于G，过M作于H，则，根据平行线分线段成比例求出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴； （2）解：设线段向右平移了m个单位，则，， ∵点为中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即线段向右平移了个单位； （3）解：设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 过Q作于G，过M作于H， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，作出合适的辅助线是解题的关键． 12．（1）m=6，；（2）0＜x＜1或x＞3；（3）C（4，8），16 【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式中，求出m值，从而得到点A坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案； （3）根据平行四边形的性质可得点C的坐标，再利用反比例函数k的几何意义求出△OAB的面积，从而的到平行四边形AOBC的面积． 【详解】解：（1）将B（3，2）代入反比例函数解析式， 得：m=3×2=6， ∴反比例函数解析式为， 令x=1，则y=6， ∴点A的坐标为（1，6）， 将A、B坐标代入一次函数中， 则，解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）根据图象可知使，即成立的x的取值范围是： 0＜x＜1或x＞3； （3）如图，∵四边形AOBC为平行四边形， ∴AC∥OB，且AC=OB， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴点C的坐标为（4，8）， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为D和E， ∵点A和点B在反比例函数图像上， ∴S△AOD=S△OBE=3， ∴S△OAB=S△OAD+S四边形ADEB-S△OBE=S四边形ADEB=（6+2）×（3-1）÷2=8， ∴平行四边形AOBC的面积=2S△OAB=16． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想的运用是解题的关键． 13．(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 14．(1)， (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数表达式的求解、三角形面积的坐标计算以及新定义“铅垂平行四边形”的综合应用；解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征求解析式，结合坐标表示面积建立等量关系，以及分类讨论平行四边形中对角线与边的垂直关系． （1）由点B在反比例函数上求出反比例函数解析式，进而确定点A的坐标，再将A、B坐标代入一次函数求出其表达式； （2）设点C的坐标，通过坐标表示出三角形的高（即点C与直线的纵向距离），结合面积关系列方程求解点C的坐标； （3）按“铅垂平行四边形”的垂直条件分三类：①为对角线且，通过构造相似三角形求得直线解析式，联立反比例函数得，再用平移求；②为对角线且，构造相似直角三角形，用相似比列方程求，再求；③为对角线且，同理求C后用平移求D． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，， ，， ， ， 即， 整理得：或， 或或， 点C在第一象限， 或， 或； （3）解：分三类讨论： ①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L， 当时，，当时，， ∴点，且， 所以，，， 设直线与与x轴交于点N， ∵， ∴， ∴，即，得， ∴，即， 设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：， 解得：舍去，， ， 四边形是平行四边形，，， ，， 由平移规律得：，， ； ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则，，，，， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去）或舍去或， ， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； ③当为对角线，时，如图4， 同理可得：， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； 综上所述，点D的坐标为或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $