精品解析：2025年湖北省恩施市中考第一次适应性考试数学试题

恩施市2025年中考第一次适应性考试 数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 学习情境·检测零件小梦在实验室检测四个物理电学元件的质量（单位：），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A. B. C. D. 2. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从左面看到这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有12小时会下雨 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解恩施市中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 7. 《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集是 C. 对于任意的常数，必有 D. 若点，，在该函数图象上，则 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分式有意义，则x的值可以是 _____________.（写出一个符合题意的x的值即可） 12. 因式分解： _____________． 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________cm．（结果保留） 15. 如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，与交于点，连接，若，则： （1）__________； （2）的面积为__________． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 18. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 ，，，， ，， 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（参考数据：，，） 19. 某校体育组为了检测同学们的体育水平，在甲、乙两班同学中各随机抽取20名学生进行检测，并对学生的得分进行了整理、分析，下面给出了部分信息： 甲班：33，35，38，39，39，41，42，43，43，44，45，46，46，47，48，49，49，49，50，50 乙班：成绩在中的数据是41，43，41，44，42，40，43， 整理数据： 成绩 班级 甲 1 4 a 10 乙 1 3 7 9 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 43.7 44.5 b 乙 43.4 c 48 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________，_________． （2）根据以上数据，你认为哪个班级的体育成绩比较好，请说明理由（写出1条即可）： （3）已知九年级共有1000名学生，请估计全年级体育成绩不低于45分的学生有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 21. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 22. 某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 （1）求与的函数关系式 （2）某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ （3）若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，是边上的一动点，是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：且． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系：______． 【问题拓展】 （3）如图3，点在斜边上，且（），射线交边于点，射线交边于点．当，，时，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市2025年中考第一次适应性考试 数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 学习情境·检测零件小梦在实验室检测四个物理电学元件的质量（单位：），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数比较大小，掌握正负数的意义是解题的关键． 分别求出绝对值，根据绝对值的意义，有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：D ． 2. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从左面看到这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同角度看立体几何，掌握立体几何的特点是解题的关键． 根据图示，从不同角度看立体几何图形的特点即可求解． 【详解】解：根据题意，从左面看到的图形为， 故选：A ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意； B． ，故运算错误，不符合题意； C． ，故运算错误，不符合题意； D．  ，运算正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，利用邻补角求度数，根据平行线的性质，得到，再根据邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 5. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得出不等式组的解集即可. 【详解】根据数轴可知：不等式组的解集是； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确的信息是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有12小时会下雨 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解恩施市中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，事件的分类、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键． 利用概率的意义，随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可． 【详解】解：A天气预报“明天降水概率”，是指明天有的可能性会下雨，原说法错误，不符合题意； B、“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，原说法错误，不符合题意； C、了解恩施市中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，原说法错误，不符合题意； D、甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，正确，符合题意，原因是乙组数据的方差小于甲组数据的方差， 故选：D． 7. 《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设人数有人，鸡的价钱是钱， 根据题意，得， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和不一定等腰三角形，符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴是等腰三角形，不符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和是等腰三角形，不符合题意； 故选：． 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集是 C. 对于任意的常数，必有 D. 若点，，在该函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：由表格数据知，二次函数图象经过点，， 图象开口向下， 二次函数图象的对称轴为直线，，， ， ， ，故选项A错误； 由表格可知当时，， 二次函数图象经过点， 由二次函数图象的对称性可知，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 的解集是， 故选项B错误； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值， ， ， 故选项C正确； 若点，，在该函数图象上， ，图象开口向下， ， 故选项D错误； 故选C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分式有意义，则x的值可以是 _____________.（写出一个符合题意的x的值即可） 【答案】 的任意数（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件“分母不能为零”即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴当的任意数， 故答案为：的任意数（答案不唯一）． 12. 因式分解： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用提公因式法和完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成， 击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；由题意易得重物上升的高度即为定滑轮所转动的弧长，进而可根据弧长公式进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴重物上升了； 故答案为． 15. 如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，与交于点，连接，若，则： （1）__________； （2）的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形， 根据折叠的性质得，即可得是等边三角形，进而求出，，然后推出，接下来得出，结合相似三角形的性质得，最后根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：折叠的性质得， ∵点Ｄ是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，立方根等知识点，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，乘方，立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 18. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 ，，，， ，， 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．对于方案一，先证明，再把数值代入计算得，结合，即可作答．对于方案二，结合，，得，在中，，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：方案一：由题意，，， ， ， ，，， ， 解得， ， ， 答：教学楼的高为； 方案二： 由题意，可知，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：教学楼的高约为． 19. 某校体育组为了检测同学们的体育水平，在甲、乙两班同学中各随机抽取20名学生进行检测，并对学生的得分进行了整理、分析，下面给出了部分信息： 甲班：33，35，38，39，39，41，42，43，43，44，45，46，46，47，48，49，49，49，50，50 乙班：成绩在中的数据是41，43，41，44，42，40，43， 整理数据： 成绩 班级 甲 1 4 a 10 乙 1 3 7 9 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 甲 43.7 44.5 b 乙 43.4 c 48 根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_________，_________． （2）根据以上数据，你认为哪个班级的体育成绩比较好，请说明理由（写出1条即可）： （3）已知九年级共有1000名学生，请估计全年级体育成绩不低于45分的学生有多少人？ 【答案】（1）5，49，43.5 （2）甲班，见解析 （3）475人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握中位数，众数的计算，根据调查数据作决策，由样本百分比估算总体数量的计算是关键． （1）根据样本容量，中位数，众数的计算方法求解即可； （2）根据平均数，众数，中位数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：在甲、乙两班同学中各随机抽取20名学生进行检测， ∴， ∵甲班成绩中49出现的次数最多， ∴， ∵乙班的中位数在第10，11位同学的平均数，且乙班成绩在中的数据从小到大排序为：40，41，41，42，43，43， 44， ∴， 故答案为：5，49，43.5； 【小问2详解】 解：∵甲班平均数43.7大于乙班平均数43.4，甲班中位数、众数均大于乙班的中位数、众数， ∴甲班体育成绩好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：全年级体育成绩不低于45分的有475人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练应用数形结合思想是解题的关键． （1）先利用反比例函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）一次函数图象在反比例函数图象下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集； （3）连接，根据计算出，设，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点，， ，解得， ，， 把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 观察图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：连接， 中，当时， ， ， 设， 由题意， 解得， 或． 21. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 22. 某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 （1）求与的函数关系式 （2）某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ （3）若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）这种方案不存在，理由如下： 当时，可得：， 解得：， ， 这种方案不存在； （3）购进商品甲件、商品乙33件能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据总利润与单件利润之间的关系，可得与的函数关系式； （2）当时，可得：，解方程可得：，因为，所以这种方案不存在； （3）根购据进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，可得又因为是整数，所以可知当时，值最大，最大值是元． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得：， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，值最大， ，（件）， 答：购进商品甲件、商品乙件能获得最大利润，最大利润是元． 23. 【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，是边上的一动点，是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：且． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系：______． 【问题拓展】 （3）如图3，点在斜边上，且（），射线交边于点，射线交边于点．当，，时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)利用边角边证，得到，再通过倒角即可证出； (2)构造一线三垂直全等，过作交延长线于点，先证，得到，，再证出，进而得到，再通过即可得解； (3)过点作于点，于点，先证，得到，再证，得出，设参，利用建立方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为； （3）①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）利用待定系数法求解； （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解． 【小问1详解】 解：将点 代入，得： 解得： ． 【小问2详解】 解：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值为 ∴当时，取最大值：． 【小问3详解】 解：① 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， 满足题意， 解得：； 解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点， 如图， 增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点， 直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为 时，与图象有个交点， 当时，与图象有个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点， ∴只有个交点时的取值范围是：或时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $