2026年中考数学重难点题型锐角三角函数的实际应用

**基本信息** 聚焦锐角三角函数实际应用，以“构造直角三角形+方程思想”为主线，系统整合方位角、坡度等实际场景，实现从模型构建到问题解决的完整训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型构建|1-5题|过点作垂线构造双直角三角形，利用三角函数定义列方程|从三角函数概念到实际场景抽象，通过辅助线转化非直角图形为可解直角三角形| |综合情境应用|6-13题|方位角/坡度转化角度关系，结合速度、面积等综合量建立等量关系|融合几何直观与运算能力，体现数学建模思想，强化“实际问题→数学模型→求解验证”逻辑链|

2026年中考数学重难点题型锐角三角函数的实际应用 1．（25-26九年级下·四川成都·月考）某种路灯的实物图片如图1所示，该路灯的平面示意图如图2所示，为立柱的一部分，灯臂、支架与立柱分别交于点，，灯臂与支架交于点．已知，，，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2026·重庆万州·一模）为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练．，，，为同一平面内的四座小岛．岛位于岛的正东方向，岛位于岛的北偏西方向海里处，岛位于岛的东南方向，岛位于岛的正北方向，大于海里．（参考数据：，，） (1)求小岛、间的距离；（结果保留根号） (2)甲、乙两军舰同时从岛出发前往岛进行航行训练，甲军舰沿航行，乙军舰沿航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为．两军舰同时到达岛处，求小岛、间的距离（结果精确到海里）． 3．（25-26九年级下·河南信阳·期中）为了满足市民需求，某市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向2000米处，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） (1)求B，C两点之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲沿路线①跑步锻炼身体，平均速度为80米分钟，乙沿路线②跑步锻炼身体，平均速度为95米分钟，（经过A，C两点时不停留），谁先到达B点？请通过计算说明理由．（结果精确到1分钟） 4．（2026·辽宁锦州·一模）随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体验农事．某农户计划借助自家院内、两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园，已知，，． (1)如图1，若段墙的长度为，求此时与间的距离（结果精确到）； (2)如图2，该农户计划购买的栅栏进行围建，并在边上留一个宽的门．若围建的梯形菜园的面积为，求此时的长．（参考数据：，，） 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图是某商场的自动扶梯，其中为从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到） 6．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数） 请结合示意图和已知条件，解答下列问题： (1)求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长； (2)求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离的长． 7．（2026·四川成都·二模）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到米） 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，一艘渔船由C处自东向西以每小时12海里的速度向码头A航行，已知码头A在灯塔B北偏西方向，C处在灯塔B北偏东方向．时渔船从C处出发，时渔船航行至D处，D处在灯塔B的东北方向．受冷空气影响，点后码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A．（参考数据：，，，，，） 9．（2026·安徽蚌埠·二模）某同学测量某小河对岸两点之间的距离，如图，已知该河段两岸与平行，测得米，在处测得点在点东偏北方向上，点在点西偏北方向上．已知点在点的西北方向．求之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 10．（25-26九年级下·河南新乡·期中）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度的长（精确到）．（参考数据，） 11．（2026·安徽淮南·一模）如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为，从点测得点的俯角为，从点测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，，） 12．（2026甘肃白银市）如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，且时，操作平台G到l的距离为米，求的值．（注：） 13．（2026·重庆·模拟预测）如图，某运动公园有跑道和自行车道，C在A的正东方向上；B在A的北偏东的方向上600米处，在C的北偏西的方向上；D在A的南偏东的方向上，在C的南偏西的方向上． (1)求的长度： (2)小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是米．小明从A处沿方向以4米/秒匀速跑向C；同时小刚也从A处出发，骑自行车沿骑行，段的速度为米/秒，段的速度为6米/秒．小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话→恢复通话．从出发开始计时，经过多长时间他们刚好恢复正常通话． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】过点作，分别解和，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴． 2．(1)海里 (2)海里 【分析】（1）过点作，交延长线于，根据得出，利用的三角函数可求出，，利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作于，可得四边形是矩形，，，根据两船速度的比得出两船航行路程之比为，设，则，利用勾股定理列方程求出的值，再取符合条件的值即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于， 由题意可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴小岛、间的距离海里． （2）解：如（1）中图，过点作于， ∴四边形是矩形，，， ∵甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为，两军舰同时到达岛处， ∴与的航行路程之比为，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵大于海里， ∴． ∴小岛、间的距离为海里． 3．(1)B，C两点之间的距离为米 (2)甲先到达B点，理由见解析 【分析】（1）过点作于，在中，由米、，可得米；结合方位角推得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）过点作于点，甲的路程为米，用时约43分钟；乙的路程为，由为等腰直角三角形得米，结合米，计算得乙用时约44分钟，故甲先到达点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，， （米）， 在中，∵点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， （米）． 答：，两点之间的距离为米． （2）解：甲先到达点，理由如下： 由（1）知，甲跑步的路程为米， 甲到达点所用时间为（分钟）， 如图，过点作于点． 由图可得，，， 为等腰直角三角形， ∵， （米）， （米）， 米，（米）， 米． 乙跑步的路程为米， 乙到达点所用时间为（分钟）． ， 甲先到达点． 【点睛】本题核心是方位角转化为角度关系，构造直角三角形求解边长，关键是利用等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质，将实际问题转化为解直角三角形问题，再通过路程与速度计算时间比较． 4．(1) (2)3m 【分析】（1）过点作于点，求出，再利用余弦值求解即可； （2）过点作于点，连接．证明四边形是矩形．设，利用正切值得到，再根据梯形面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ， ， ， 在中，， ， 答：此时与间的距离约为． （2）解：如图2，过点作于点，连接， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， ， ， 整理得，， 解得， 答：当围建的梯形菜园的面积为时，的长约为． 5．(1)到一楼地面的高度为 (2)日光灯到一楼地面的高度为 【分析】（1）过点作于，设，然后在中，根据坡度的概念结合勾股定理列方程求解； （2）过点作于，交于，过点作于，交于，由题意可得，四边形、是矩形，，然后在中，利用锐角三角函数解直角三角形． 【详解】（1）解：过点作于， 设， ∵的坡度为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即． 答：到一楼地面的高度为． （2）解：如图，过点作于，交于，过点作于，交于， 则，四边形、是矩形，， ∴，，， 由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：日光灯到一楼地面的高度为． 6．(1)约为42米 (2)约为60米 【分析】（1）过点D作交于点G，可得四边形是矩形．从而得到，米，，分别在和中，解直角三角形，即可求解； （2）由（1）的结果解答即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点G，如图所示， 设． 、都垂直于地面， ∴四边形是矩形． ，米，． 在中，，， ． ∵在中，，，，， ， 解得（米）． （米）． 答：茶园顶端B到水平地面的垂直高度约为42米． （2）解：由（1）得：（米）． 答：观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离约为60米． 7．(1)塔架的长为米 (2)风叶的长为米． 【分析】（1）在中，利用和，计算出； （2）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得米． 答：风叶的长为米． 8．不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A，理由见解析 【分析】过B作于点E，由题意得：，，（海里），海里，，设海里，则海里．在中，，可得，在中， ，从而得到，即可求解． 【详解】解：不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A， 理由：过B作于点E， 由题意得：，，（海里）， ∴，， 设海里，则海里，海里， 在中，， 解得， 在中，，， ∴， ∴， ∴（分钟）， 从经过90分钟是，之前能到达A． ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 9．之间的距离为52.0米 【分析】过点作于点，过点作于点， 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ． 点在点的西北方向， ，又， （米）， 米，（米）． ， , 在Rt中，， （米）， （米）， 答：之间的距离为52.0米． 10．(1)平台的高度为米； (2)建筑物的高度（即的长）约为米． 【分析】（1）过点作于点，，由斜坡的坡度，得出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）延长交于点，证明四边形为矩形，得出米，，设米，则米，解直角三角形得出米，从而得出米，由（1）可得米，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵，米， ∴米， 答：平台的高度为米； （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：建筑物的高度（即的长）约为米． 11． 【分析】由题意可知，，解可得，解可得建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，， 在中，， 在中，， 答：建筑物的高度约为． 12． 【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N，解得到，证明四边形和四边形都是矩形，得到米，， 则米；证明；解得到米，则米，据此可得，可证明，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N， 则， 在中，，， ∴米； ∵四边形为矩形，点B，C在地面l上， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵转动点E到l的距离为2米， ∴米， ∴米； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，米， ∴， ∴米， ∵操作平台G到l的距离为米， ∴米， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴． 13．(1)米： (2)200秒 【分析】（1）由题意可得，，求出，，根据勾股定理即可求出答案； （2）根据题意求出恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中，利用勾股定理和解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴是等腰三角形，， 过点作于点，则， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的长度为米： （2）解：小刚从到D的时间为（秒）， 小明从到B的时间为（秒）， 此时两人的距离为米，大于米，处于无法通话的状态， 故恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中， 设经过秒，他们刚好恢复通话， 此时小明在上，距离C点为米，小刚在上，距离C点为米，设分别为小明和小刚到达的地点，过点作于点，则 ，， ， ∴， 当时，解得， 即．从出发开始计时，经过秒他们刚好恢复正常通话． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $