精品解析：2025年四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学中考二模数学试题

四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年度九年级下册二模试题 数学 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 为了了解全国中学生的身高状况，采用抽样调查的方式 B. 为了了解某校九年级（3）班学生的身高情况，采用全面调查的方式 C. 为了了解某型号电子产品的使用寿命情况，采用全面调查的方式 D. 为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了了解全国中学生的身高状况，宜采用抽样调查的方式，合适，本选项不符合题意； B、为了了解某校九年级（3）班学生的身高情况，采用全面调查的方式，合适，本选项不符合题意； C、为了了解某型号电子产品的使用寿命情况，采用抽样调查的方式，原说法不合适，本选项符合题意； D、为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式，合适，本选项不符合题意； 故选：C． （2024泸州期末） 2. 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，正确判断出二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵点在抛物线上，且， ∴， 故选：A． （2023河北承德期末） 3. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ） A. 小文一共抽样调查了20人 B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14人 D. 样本中当月使用次数不足30次的人数多于次的人数 【答案】D 【解析】 【分析】利用频数分布直方图中的信息一一判断即可． 【详解】解：A、小文一共抽样调查了（人，故选项错误， B、样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，有20人，故选项错误， C、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有26人，故选项错误， D、样本中当月使用“共享单车”次的人数为12人，当月使用“共享单车”不足30次的人数有26人，所以样本中当月使用次数不足30次的人数多于次的人数，故选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解题关键是读懂图像信息，灵活应用所学知识解决问题． 4. 如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：如图，在优弧上任意取一点 ∵∠ACB＝130°，四边形是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，添加辅助线构造圆周角是解题的关键． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 的最小值为－9 【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误； 令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误； ∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6. 为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可． 【详解】解：连接OT，如下图． ∵与⊙相切于点， ∴ ． ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键． 7. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD，由圆周角定理得出∠BDC=60°，进而证明△OBD是等边三角形，由CD⊥AB及勾股定理，可求出BF的长度，再由垂径定理即可得出AB的长度． 【详解】解：连接BD， ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AB=2BF，， ∵∠AEC=60°， ∴∠ODB=∠AEC=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴OB=OD=4， ∴OF=OD=2， ∴BF=， ∴AB=2BF=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂径定理，理解垂径定理是解题的关键． （2024攀枝花二模） 8. 在二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】结合图表可以得出当或2时，；时，，根据待定系数法可求出二次函数解析式，从而根据二次函数的性质判断． 【详解】解：∵由图表可以得出当或2时，；时，， ∴， 解得：， ∴， ∵，∴图象经过原点，故①正确； ∵， ∴抛物线开口向上，故②错误； ∵抛物线的对称轴是， ∴时，y随x的增大而增大，故③正确； 把代入得，， ∴图象经过点，故④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点、， ∴有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9. 在直角坐标系中，点在二次函数的图象上，对于，当，，时，依次对应的函数值，，中最大的是（ ） A. B. C. D. 或（） 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口向下，表示出对称轴，画图即可得出答案． 【详解】与轴交点为． 将代入，得． ∴． ∴对称轴为直线． ∵， ∴大致图象如图1，或图2，或图3． ∵， ∴，，． ∴在抛物线这一段上，在第三象限抛物线上， 也在第三象限抛物线上． ∴，． ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键． 10. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出结论①正确；由点D是BC的中点，AD⊥BC得出AD为BC的中垂线，则可证明∠ODB＝∠C，OD∥AC，∠ODE＝∠CED＝90°，故④正确；由∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，可得∠EDA＝∠BDO，再利用∠ODB＝∠B可得∠EDA＝∠B，结论②正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，因AC＝AB，故AO为AC的一半，故结论③正确． 【详解】解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，故结论①正确； 连接OD，如图， ∵点D是BC的中点，AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C，OD∥AC， ∴∠ODE＝∠CED， ∴ED是圆O的切线，故结论④正确； 又OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°， ∴∠EDA＝∠BDO， ∴∠EDA＝∠B，故结论②正确； 由D为BC中点，且AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB， ∵OA＝AB， ∴OA＝AC，故结论③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线． 11. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴于C，交于D，作于E，连接，由于，，易得D点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】作轴于C，交于D，作于E，连接，如图， ∵的圆心坐标是， ∴，， 把代入得， ∴D点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴也为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 为了解六年级学生掌握游泳技能的情况．在全区六年级名学生中，随机抽取了名学生，结果有名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生数约为_________人． 【答案】2880 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中会游泳的六年级学生数所占比例即可． 【详解】解：估计该区会游泳的六年级学生数约为：7200×＝2880（人）， 故答案为：2880． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，求出样本中会游泳的六年级学生数所占比例，是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据，且解出k的范围即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出，本题属于基础题型． 15. 为了解本校七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是______． 【答案】40% 【解析】 【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比． 【详解】解： ×100%＝40%， 即仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是40%， 故答案为：40%． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度． 【答案】85 【解析】 【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】解：连结OO′， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴BO′=BO=OO′， ∴△BOO′为等边三角形， ∴∠OBO′=60°， ∵与的边相切， ∴∠OBA=∠O′BA′=90°， ∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°， ∵∠A′=25° ∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65° ∴∠AOB=∠A′O′B=65°， ∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°． 故答案为85． 【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键． （2024泸州期末） 17. 如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． （2024石家庄一模） 18. 一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为，杯口直径为 且， 以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． （1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为： _____； （2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图 当倾斜角 时， 水面宽度为_____ 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】（）设抛物线的解析式为，把点，代入中，求出抛物线的解析式即可； （）在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； 本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关键． 【详解】（）由题意可知，，， 设抛物线的解析式为， 将点、坐标代入得，解得， ∴解析式为； （）如图，易知， 设、分别与轴交于点、， 在中，， ∴， 即，， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， 将代入 ， 得， ∴， ∴． 三、解答题（共78分） 19. “双减”政策实施后，某校为了解学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在12月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比 A 50 B m C 40 p D n （1）这次调查共抽取了______名学生，表中______； （2）求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数； （3）若该校共有1600名学生，请估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？ 【答案】（1）200，80 （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）、根据统计表用A组人数除以其所占的百分比计算出参与调查的总人数，进而求出m的值即可； （2）先求出C组所占的百分比，再用C组所占的百分比乘以即可求解； （3）先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得． 【小问1详解】 解：这次调查共抽取了（人）， ∴， 故答案为：200，80 【小问2详解】 解：C组所占的百分比为： ； ∴C组所对应的圆心角为： ， 故答案为： 【小问3详解】 解：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：（人）． 【点睛】本题考查了统计表，扇形统计图圆心角的计算，样本估计总体等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 20. 如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，勾股定理的应用；先证明，再证明，，可得，利用勾股定理，结合切线的性质，利用等积法即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为四边形内切圆， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴． 21. 已知函数，求证：不论k为何值，此函数图象与x轴总有公共点 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当 则函数为： 此时函数与轴有一个交点，当时，则函数为二次函数，计算 再证明 从而可得答案． 【详解】解：∵函数， 当 则函数为： 此时函数与轴有一个交点， 当时，则函数为二次函数， 此时 ∵ ∴ ∴ ∴函数与x轴有两个交点． ∴函数与x轴总有公共点． 【点睛】本题考查的是函数与x轴的交点问题，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22. 目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题，某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 月均用水量（t） 2≤x＜3．5 3．5≤x＜5 5≤x＜6．5 6．5≤x＜8 8≤x＜9．5 频数 7 6 对应的扇形区域 A B C D E 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数； （2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60％的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由． 【答案】（1）频数分布直方图见解析，E对应的圆心角的度数为：14.4° （2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题A的频数和百分比得到抽取的总数，进而求得B、C的频数即可补全频数分布直方图，求出E的频数，360°乘以E所占的比例即可求解； （2）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而7+23=30，故家庭月均用水量应该定为5吨． 【小问1详解】 抽取的总数为：7÷14%=50，B的频数为：50×46%=23，C的频数为：50×24%=12，频数分布直方图如下： 扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为： 360°=14.4°； 【小问2详解】 要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下： 因为月平均用水量不超过5吨的有7+23=30(户)，30÷50=60%． 【点睛】本题考查了读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （2024宜宾中考） 23. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【小问1详解】 证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2，3.6 （2） （3）明明在此次考试中能得到满分， 理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 25. 如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与x轴的一个交点为，另一交点为B，与y轴交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点N为抛物线上一点，且，求点N的坐标； （3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3 （2）（1，4） （3）P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式； （2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，-a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解； （3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，-t2+2t+3），代入y=x+，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式是y=-（x-1）2+k． 把（-1，0）代入得0=-（-1-1）2+k， 解得k=4， 则抛物线的解析式是y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3； 【小问2详解】 解：在y=-x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3． ∵B的坐标是（3，0）， ∴OB=3， ∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形． ∴∠OCB=45°， 过点N作NH⊥y轴，垂足是H． ∵∠NCB=90°， ∴∠NCH=45°， ∴NH=CH， ∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH， 设点N纵坐标是（a，-a2+2a+3）． ∴a+3=-a2+2a+3， 解得a=0（舍去）或a=1， ∴N的坐标是（1，4）； 【小问3详解】 解：∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA， 设P（t，-t2+2t+3），代入y=x+，则-t2+2t+3=（t+1）+， 整理，得2t2-t=0， 解得t=0或． ∴-t2+2t+3的值为3或． ∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年度九年级下册二模试题 数学 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 为了了解全国中学生的身高状况，采用抽样调查的方式 B. 为了了解某校九年级（3）班学生的身高情况，采用全面调查的方式 C. 为了了解某型号电子产品的使用寿命情况，采用全面调查的方式 D. 为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 （2024泸州期末） 2. 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （2023河北承德期末） 3. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ） A. 小文一共抽样调查了20人 B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14人 D. 样本中当月使用次数不足30次的人数多于次的人数 4. 如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 的最小值为－9 6. 为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ） A. B. C. D. （2024攀枝花二模） 8. 在二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 9. 在直角坐标系中，点在二次函数的图象上，对于，当，，时，依次对应的函数值，，中最大的是（ ） A. B. C. D. 或（） 10. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 11. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（　　） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 为了解六年级学生掌握游泳技能的情况．在全区六年级名学生中，随机抽取了名学生，结果有名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生数约为_________人． 14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 15. 为了解本校七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是______． 16. 如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度． （2024泸州期末） 17. 如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为______． （2024石家庄一模） 18. 一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为，杯口直径为 且， 以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． （1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为： _____； （2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图 当倾斜角 时， 水面宽度为_____ 三、解答题（共78分） 19. “双减”政策实施后，某校为了解学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在12月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比 A 50 B m C 40 p D n （1）这次调查共抽取了______名学生，表中______； （2）求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数； （3）若该校共有1600名学生，请估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？ 20. 如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长． 21. 已知函数，求证：不论k为何值，此函数图象与x轴总有公共点 22. 目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题，某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 月均用水量（t） 2≤x＜3．5 3．5≤x＜5 5≤x＜6．5 6．5≤x＜8 8≤x＜9．5 频数 7 6 对应的扇形区域 A B C D E 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数； （2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60％的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由． （2024宜宾中考） 23. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 24. 【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 25. 如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与x轴的一个交点为，另一交点为B，与y轴交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点N为抛物线上一点，且，求点N的坐标； （3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $