4.4 利用三角形全等测距离 导学案 2024-2025学年 北师大版（2024）七年级数学下册

4.4 利用三角形全等测距离 导学案 【学习目标】会利用三角形全等解决实际问题，会构建全等三角形，体会转化思想. 【学习重难点】学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”. 【导学过程】 一.知识回顾 1.判定两个三角形全等的方法有：①_______；②________；③________；④________. 2.全等三角形的性质是：①全等三角形的________相等；②全等三角形的________相等；③全等三角形的________相等；④全等三角形的对应边上的____线、____线相等；____________平分线相等. 3.请你在下列图1，2，3中，各画出一个三角形，使它与△ABC全等。 ( 图 3 图 1 图 2 ) 二.探究新知 1.引入：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，一位聪明的八路军战士想出了一个办法。 ( 图 4 )他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了可到达的某一点上；他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 你能用所学的数学知识说明为什么吗？ 2.根据实际问题抽象出几何图形 如图4，已知：∠ACB=∠____=90°，∠CAB=∠____ 求证：BC=CD 3.结合图形和题意分析已知条件，寻求恰当的解决途径. 证明：在△ADB与△ADC中，有 ∠BAC=∠____， AC=AC, ∴△ACB≌△______(ASA)∴CB=CD(全等三角形对应边相等)∴步测距离就等于到碉堡距离. ∠ACB=∠____=90° 归纳：利用三角形全等测量不可到达地的距离，其关键是构造全等三角形. 三.典例与练习 例1.如图5：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度； （1）DE=AB吗？请说明理由 （2）你还有其他的设计方案吗？画出图形并说明理由。 ( 图 5 ) ( 图 6 )练习1.如图6，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得 ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 例2.如图7，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端 ( 图 7 )分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有 一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。 ( 图 8 ) 练习2.如图8，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的 设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ ） A. AO=CO B. BO=DO C. AC=BD D. AO=CO且BO=DO 四.课堂小结 1.知识：①利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离； ②依据：全等三角形的性质；③关键：构造全等三角形. ( 图 9 )2.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形. 3.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想. 五.分层过关 1.如图9，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（　　） A. 大于100m B. 等于100m C. 小于100m D. 无法确定 2.如图10，某校学生为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在Ｂ点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，然后在Ｍ处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A、B之间的距离？（　　） A.直接测量BM B.测量BC [C.测量∠A度数 D.作∠BCN=400交MB于N 3.如图11，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（ ） ( 图 10 ) ( 图 12 ) ( 图 11 )A.13 B.8 C.6 D.5 4.如图12,太阳光线AC与A1C1 是平行的,AB表示一棵2米高的桃树,A1B1表示一棵枣树,同一时刻这两个棵树的影长相等,则枣树的高是 _ ； 5.如图13，点B、F、C、E在直线l上(F、之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE， ( 图 13 )AB∥DE，∠A=∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度． 6.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图14所示． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）． ( 图 14 ) 答案 【学习目标】会利用三角形全等解决实际问题，会构建全等三角形，体会转化思想. 【学习重难点】学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”. 【导学过程】 一.知识回顾 1.判定两个三角形全等的方法有：①“SSS”；②“ASA”；③“AAS”；④“SAS”. 2.全等三角形的性质是：①全等三角形的对应角相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应周长相等；④全等三角形的对应边上的高线、中线相等；对应角的角平分线相等. 3.请你在下列图1，2，3中，各画出一个三角形，使它与△ABC全等。 ( 图 3 图 1 图 2 ) 二.探究新知 1.引入：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，一位聪明的八路军战士想出了一个办法。 ( 图 4 )他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了可到达的某一点上；他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 你能用所学的数学知识说明为什么吗？ 2.根据实际问题抽象出几何图形 如图4，已知：∠ACB=∠ACD=90°，∠CAB=∠CAD 求证：BC=CD 3.结合图形和题意分析已知条件，寻求恰当的解决途径. 证明：在△ADB与△ADC中，有 ∠BAC=∠DAC， AC=AC, ∴△ACB≌△ACD(ASA)∴CB=CD(全等三角形对应边相等)∴步测距离就等于到碉堡距离. ∠ACB=∠ACD=90° 归纳：利用三角形全等测量不可到达地的距离，其关键是构造全等三角形. 三.典例与练习 例1.如图5：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度； （1）DE=AB吗？请说明理由 （2）你还有其他的设计方案吗？画出图形并说明理由。 解：（1）在△ABC与△DEC中，有 ( 图 5 )AC=DC， ∠ACB=∠DCE, ∴△ABC≌△DEC(SAS)∴DE=AB(全等三角形对应边相等) CB=CE （2）先作三角形ABC,再找一点D,使BD∥AC,并使BD=AC, 连接CD,CD的长即为AB的长. ( 图 6 )练习1.如图6，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得 ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( B ) A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 例2.如图7，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端 ( 图 7 )分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有 一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。 解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD=CD，则AD⊥BC。 理由如下：∵在△ABD和△ACD中，AB=AC, BD=CD,AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC， 又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°， 即AD⊥BC。 ( 图 8 ) 练习2.如图8，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的 设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ D ） A. AO=CO B. BO=DO C. AC=BD D. AO=CO且BO=DO 四.课堂小结 1.知识：①利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离； ②依据：全等三角形的性质；③关键：构造全等三角形. ( 图 9 )2.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形. 3.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想. 五.分层过关 1.如图9，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（　B　） A. 大于100m B. 等于100m C. 小于100m D. 无法确定 2.如图10，某校学生为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在Ｂ点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，然后在Ｍ处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A、B之间的距离？（　D　） A.直接测量BM B.测量BC [C.测量∠A度数 D.作∠BCN=400交MB于N 3.如图11，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（ B ） ( 图 10 ) ( 图 12 ) ( 图 11 )A.13 B.8 C.6 D.5 4.如图12,太阳光线AC与A1C1 是平行的,AB表示一棵2米高的桃树,A1B1表示一棵枣树,同一时刻这两个棵树的影长相等,则枣树的高是 2 ； ( 图 13 )5.如图13，点B、F、C、E在直线l上(F、之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE， AB∥DE，∠A=∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度． （1）证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF， 在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF. （2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC， ∵BE=10，BF=3，∴FC=4(m)． 6.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图14所示． （1）求证：△ADC≌△CEB； ( 图 14 )（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）． （1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴易得：∠ACD=∠CBE 在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB （2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，∴DE+CE=BE+AD=7a=35，∴a=5， 答： 砌墙砖块的厚度a为5cm． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$