精品解析：湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2025年春“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题 命题学校：宜昌一中 命题人：李智伟 王健 审题学校：襄阳四中 审题单位：圆创教育研究中心 考试时间：2025年4月23日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 9 C. 4或 D. 2或 3. 展开式中含的项是 A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 4. 由组成没有重复数字的5位数，其中大于21300的正整数个数为（ ） A. 81 B. 87 C. 96 D. 105 5. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为 A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有6种不同的道路选择方式 B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为 C. 某地预测明天下雨概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为 D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，则掷出点数和为7的概率为 10. 历史上，许多数学家研究过圆锥截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 点为该曲线的一个焦点 C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 D. 该曲线的离心率为 11. 已知三次函数在区间上的值域也为，那么下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 当时，满足要求不存在 C. 当时，有 D. 当时，有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，则在方向上的投影向量为________．（坐标表示） 13. 已知反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________. 14. 已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值. 16. 已知等差数列中，前10项和. （1）求数列的通项公式； （2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，. （1）证明：； （2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值． 18. 已知 （1）（i）证明：当时，； （ii）当时，试确定符号. （2）若，试说明内有唯一零点. 19. “相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点. （1）在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时， （i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标； （ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值； （2）在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题 命题学校：宜昌一中 命题人：李智伟 王健 审题学校：襄阳四中 审题单位：圆创教育研究中心 考试时间：2025年4月23日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义来求解即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 故选： A． 2. 各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 9 C. 4或 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得或（舍去）， 故. 故选：A 3. 展开式中含的项是 A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【分析】 化简二项式展开式的通项公式，由此求得含的项是第几项. 【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故含的项是第项.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 由组成没有重复数字的5位数，其中大于21300的正整数个数为（ ） A. 81 B. 87 C. 96 D. 105 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，然后结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】当首位是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 当首位是时，第二位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 当首位是时，第二位数是时，第三位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 所以一共有种情况. 故选：C 5. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C． 解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上， 过A1作A1E⊥AB于E， 在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60° ∴，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°， 在Rt△AEO中，， 在，∴， 在 故选A． 考点：空间两点间的距离公式． 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得，构造函数，利用导数可得时，函数单调递减，进而有可得，即得. 【详解】因，故，故， 设，则， 令得，故当时，， 即函数在区间上单调递减， 因，故， 得，即，故， 故选：D 7. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得，两点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】将点坐标代入抛物线方程得，，故抛物线方程为， 故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为， 代入抛物线方程并化简得，解得或. 故. 故选：C. 8. 已知定义在上奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 又，即， 又为开口向上的偶函数，所以，解得或. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有6种不同的道路选择方式 B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为 C. 某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为 D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，则掷出点数和为7的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分步计数原理，古典概型，条件概型来进行计算即可得到判断. 【详解】对于A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共分步有种不同的道路选择方式，故A正确； 对于B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为，故B错误； 对于C. 某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为，故C正确； 对于D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，这11种可能不是等可能事件，应该用每个骰子有6个点数，两个骰子共有36个点数，所以掷出点数和为7的概率为，故D错误； 故选：AC. 10. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 点为该曲线的一个焦点 C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 D. 该曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项. 【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为. 平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由， 则有，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确； 再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误； 即椭圆离心率为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知三次函数在区间上的值域也为，那么下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 当时，满足要求的不存在 C. 当时，有 D. 当时，有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对，分，，进行分类讨论，逐项求解判断即可. 【详解】对于A，由已知，当时，，且，则在上为减函数， 此时，矛盾，故且，故A正确； 对于B，由知，的极值点分别为 当时，则，如图1，在上为减函数，则，矛盾，故B正确； 对于C，当时，如图2，由（仅时成立，时，应为）， 得，但，矛盾，故C错误； 对于D，当时，如图3，在上减，在上增，所以， 有，解得，符合条件，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，则在方向上的投影向量为________．（坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的求解公式即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为， 故答案为： 13. 已知反比例函数图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用等轴双曲线的离心率为，结合实轴长可算出焦距. 【详解】由反比例函数曲线是等轴双曲线，可知其离心率为， 再由函数与焦点所在的直线的交点坐标为， 这两点间的距离为实轴长，即，所以， 再由， 故双曲线的焦距长为， 故答案为：. 14. 已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 37 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合数列的增减性以及的各项均是正整数，逐一代入计算，即可得到结果. 【详解】由已知，若，将有，矛盾； 若，则，与单调性矛盾；故. 由，有，所以； 又，则，所以， 故， 则由，即，知，故. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导数可得切线斜率，利用点斜式可得答案； （2）先求出三角形的面积表达式，利用导数可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以 设切点坐标为，则，即， 所以切点坐标为， 可得切线方程为，即. 【小问2详解】 由，曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 所以， 由得，由得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故最小值为. 16. 已知等差数列中，前10项和. （1）求数列的通项公式； （2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由错位相减法以及分组求和法代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 ， 则， 设，则， 又因为， 所以， 则， 所以. 17. 如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，. （1）证明：； （2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于点，则可证得平面, 再由线面垂直的性质可得结论； （2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用向量求解即可. 【小问1详解】 如图，连接交于点. 因为,即为等腰三角形，又平分， 所以, 因为平面底面， 平面底面，底面， 所以平面, 因为平面, 所以. 【小问2详解】 作于点，则底面, , 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，而,得, 又， 故 设，则由，得， 而， 因为与所成角的余弦值为， 所以，得，则, 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得可取， 由得，可取， 从而法向量夹角的余弦值为. 由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为. 18. 已知 （1）（i）证明：当时，； （ii）当时，试确定的符号. （2）若，试说明在内有唯一零点. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii），答案见解析 （2）说明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）即证明，构造，求导得到其单调性，结合，得到证明； （ii）即说明，，结合（i）可知，，其等价于时，，即，由知，该式显然成立，故； （2）当时，单调递减，结合特殊点函数值得到存在唯一实数，使得；当时，，二次求导，结合单调性和零点存在性定理得到的单调性，故在上恒成立，综上可知：在内有唯一零点 【小问1详解】 （i）当时，等价于， 设，即证明， 记，则， 所以在上单调递减，其中， 所以，不等式得证； （ii）时，，理由如下： 要说明，即说明，， 由（i）可知，当时，，所以， 故只需说明，其等价于， 时，上式只需， 即，由知，该式显然成立， 从而对恒成立， 【小问2详解】 由已知， 当时，易知单调递减， ， 故存在唯一实数，使得； 当时，， 记， 易知在为减函数， ， 故存在唯一实数，使得，即， 则在为增函数，在为减函数， 且， ， 则存在唯一实数，使得， 则在为正，在为负， 在上单调递增，在上单调递减， 故，，故在上恒成立， 综上可知：在内有唯一零点. 19. “相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点. （1）在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时， （i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标； （ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值； （2）在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程. 【答案】（1）（i），最大值，； （ii）当所在直线与该圆相切时，最大， （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用两直线夹角公式表示，化简换元利用二次函数性质求最大值. （ii）用相对运动观点分析几何条件，找到当所在直线与该圆相切时，最大，即可得解. （2）将椭圆放在新坐标系中，写出椭圆方程，利用椭圆与坐标轴相切得，进而得到原坐标轴所在两直线斜率的关系，进而得到椭圆中心点的轨迹方程. 【小问1详解】 （i）如图1，由 可知， 所以 又且， 则， 设， 则， 故当且仅当即时，有最大值，此时点为； （ii）如图2，视点固定，点为动点时，可等同于原坐标轴绕旋转， 故点在半径为1的圆上运动， 当所在直线与该圆相切时，最大，此时， 即，与（i）中结果一致. 【小问2详解】 如图3，用“相对运动”的思想，可以视是定点，且为新的坐标原点， 让椭圆长轴落在新轴，短轴落在新轴，易知椭圆方程为， 此时点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线的交点， 设为，当斜率均存在时，设两斜率为， 故的方程为， 与联立消有：， 其， 化简有：， 上式整理为关于的二次三项式：， 同理， 故为关于的方程的两不等实根， 于是，则； 当分别平行坐标轴时，易知可取，也满足. 综上可知，在新坐标系下，点始终与点距离为定值， 还原至原坐标系，点也始终距离点为定值， 但由于点始终在第一象限， 则点所在轨迹方程为，表示一段椭圆弧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$