精品解析：山东省淄博市淄博实验中学2024-2025学年高三模拟练习数学试题

实验中学2024—2025学年度高三模拟练习 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则是（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 1 6. 设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ） ①当时， ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ） A. 路口 B. 路口 C. 路口 D. 路口 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 的坐标为 B. C. 、、、四点共圆 D. 直线的方程为 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______． 13. 已知，则___________．（用数字作答） 14. 如图，正方形和矩形所在平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________． 四.解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 16. 某工厂生产一种产品测得数据如下： 尺寸 38 48 58 68 78 88 质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0290 （1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程； （2）已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？ 附：（1）参考数据：，，，. （2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，. 17. 已知抛物线：与双曲线：相交于点． （1）若，求抛物线的准线方程； （2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：面积为定值，并求出该定值． 18. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 （1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关? （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望. 附: α 0.1 0.05 001 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 19. 记为数列的前项和，． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学2024—2025学年度高三模拟练习 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题直接进行选择即可. 【详解】解：命题：，，则是：. 故选：D. 2. 复数（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 3. 若向量满足与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据数量积定义运算. 【详解】，， . 故选：A 4. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为,则， 由抛物线的定义知，，解得. 故选：D. 5. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解. 【详解】由得：，即， 解得，从而. 故选：B 6. 设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解. 【详解】因为抛物线的焦点， 由题可知，，即抛物线方程为， 令代入抛物线方程，可得， 代入双曲线方程，可得， 可设，，， 由有 两边平方相减可得， ， 由有：，又 即，由有： 由，解得.故A，B，D错误. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ） ①当时， ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，设，则，然后代入已知函数中结合奇函数化简可得答案，对于②，分情况解方程求解，对于③，直接解不等式即可，对于④，分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域，然后分析判断. 【详解】对于①，当时，，则， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以①错误， 对于②，因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，由，得， 当时，由，得， 所以函数有3个零点，所以②正确， 对于③，当时，由，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，或，所以的解集为，所以③正确， 对于④，当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 且当时，，当时，， 所以 当时，由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以， 所以的值域为， 所以，都有，所以④正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查函数与方程，考查导数的应用，解题的关键是根据函数为奇函数和时的解析式，求出时的解析式，考查计算能力，属于较难题. 8. 某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ） A. 路口 B. 路口 C. 路口 D. 路口 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答. 【详解】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为， ， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 显然，所以这个中转站最好设在路口. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可. 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析 由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 的坐标为 B. C. 、、、四点共圆 D. 直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出点的坐标，可判断A选项；根据抛物线的定义以及数形结合求出直线的方程，可判断D选项；利用斜率关系判断出，可判断C选项；求出、，可判断B选项. 【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，A错； 对于D选项，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示， 设，则， 因，，，则四边形为矩形， 所以，， 则， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则， 此时，直线的方程为， 当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为， 综上所述，直线方程为，D对； 对于B选项，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点、，联立，可得， ，由韦达定理可得，， 设点，则，故点， 所以，直线的斜率为， 而直线的斜率为，所以，，故， 又因为，故、、、四点共圆， 同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆， 综上所述，故、、、四点共圆，C对； 对于B选项，， ，B对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得，进而代入抛物线方程即可求解. 【详解】根据抛物线的对称性可知：由为等边三角形，所以关于坐标轴对称，由,，所以,将代入可得， 故答案为： 13. 已知，则___________．（用数字作答） 【答案】34 【解析】 【分析】令可得，令可得，再利用展开式的通项求出，，即可得解. 【详解】因为， 令，得； 令，得； 又， 二项式的通项公式为， 则，， 所以． 故答案为： 14. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，确定四面体体积最大时，，点的位置，再利用体积法求内切球半径. 【详解】如图： 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面. 平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以. 又在正方形及其内部，所以点轨迹是如图所示的以为直径的半圆， 作于，则是三棱锥的高. 所以当的面积和都取得最大值时，四面体的体积最大. 此时点应该与或重合，为正方形的中心. 如图： 当点与重合，为正方形的中心时： ，，，， 中，因为，，，所以. 设内切球半径为，由得： . 如图： 当点与重合，为正方形的中心时： ，，，， . 设内切球半径为，由得： . 综上可知，当四面体体积最大时，其内切球半径为：或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：根据得到点在以为直径的球面上，又点在正方形及其内部，所以点轨迹就是球面与平面的交线上，即以为直径的半圆上.明确点轨迹是解决问题的关键. 四.解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求； （2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以，可知， 又由，可知，所以，故， 由，可得，即． 【小问2详解】 ， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，故长的最大值为． 16. 某工厂生产一种产品测得数据如下： 尺寸 38 48 58 68 78 88 质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程； （2）已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？ 附：（1）参考数据：，，，. （2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，. 【答案】（1） （2）当产品的尺寸约为72时，收益z的预报值最大 【解析】 【分析】（1）结合非线性回归方程的求法求得关于的回归方程. （2）求得的表达式，结合二次函数的性质求得当约为时，收益的预报值最大. 【小问1详解】 对两边取自然对数得. 令，，则，其中. 根据所给统计量及最小二乘估计公式有： ， ， 又，所以，所以y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 由（1）得，所以. 令，则当时，z取得最大值， 此时， 所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大. 17. 已知抛物线：与双曲线：相交于点． （1）若，求抛物线的准线方程； （2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）求出，代入求出即可求出准线方程. （2）把直线的方程分别与、联立，用表示出，进而求出切点的坐标，再求出三角形面积即得结果. 【小问1详解】 由，得，将其代入，得， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. 【小问2详解】 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 于是，令，则直线的方程为， 点，由，得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 18. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 女生 15 合计 100 （1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关? （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望. 附: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据男女生各名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解. （2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关， 的观测值为， ，根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期. 19. 记为数列的前项和，． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分别取和即可求得的值，对进行分奇偶讨论，即可得到的通项公式； （2）根据题意化简得到，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式. 【小问1详解】 因为， 所以当时，，所以； 当时，，所以，所以. 又因为，所以. 当为奇数时，， 所以，， 作差，，所以. 当为偶数时，， 所以，， 作差，，所以. 所以，. 【小问2详解】 由第1小问得，， 所以令， 所以 . 所以. 下面证明： 因为， 所以. 下面证明： 因为， 所以， 所以. 所以. 【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式和，放缩之后再进行求和，即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$