精品解析：重庆市潼南区2024-2025学年九年级下学期第二次联合测试数学试题

潼南区2025年九下第二次联合测试数学试题 一、单选题（共10小题，每小题4分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选C． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点的横坐标代入反比例函数的解析式计算，再与点的纵坐标进行比较即可得． 【详解】解：A、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； B、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象一定经过点，此项符合题意； C、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； D、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，准确分析判断是解题的关键． 根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方和幂的乘方可判断选项，根据完全平方公式可判断选项，根据同底数幂的乘法可判断选项． 【详解】解：，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； 故选． 5. 如图，和 是以为位似中心的位似图形，且， 的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由和 是以为位似中心的位似图形得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵和 是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴相似比为， ∴， ∴的周长的周长， 故选：． 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键． 先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个 A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据第①③个图案可得每一个图案中三角形的个数比它前面一个图案多4个，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，第①个图案中三角形的个数为（个）， 第②个图案中三角形的个数为（个）， 第③个图案中三角形的个数为（个）， 归纳类推得：第 个图案中三角形的个数为个，其中 为正整数， 则第11个图案中三角形的个数是（个）， 故选：D． 8. 如图，与菱形的边 相切于点 ，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接，， ，，．证明，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图连接，， ，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 9. 如图，在矩形中，为对角线，平分交 于点F，点E是上一点，连接、 ，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 已知关于 的整式，其中 ， ， ，，为整数，且，下列说法：① 的项数不可能小于等于3；②若，则 不可能分解为一个整式的平方；③若，且 ， ， ，，均为正整数，则满足条件的 共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且 ， ， ，，为整数，可得a最小为0，则 的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设 可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则 不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且 ， ， ，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题5分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，特殊角的三角函数值的计算，零次幂的计算，掌握其运算法则是解题关键． 分别算出算术平方根，特殊角的三角函数值，零次幂的结果，最后算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 一个口袋中有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球．记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表格为： 红 红 黄 白 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，白） 白 （白，红） （白，红） （白，黄） （白，白） 由表知，共有种等可能结果，其中两次都摸到红球的有种结果， 所以两次摸到红球的概率为， 故答案为：． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“正多边形每个内角与它相邻外角的度数”之间的关系可求出其外角的度数，再根据“正多边形的每一个外角都相等且外角和是”进行 计算即可． 【详解】解：这个正多边形的外角为， 所以这个正多边形为， 即这个正多边形为正六边形，边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提． 14. 若关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于 的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数 的值之和是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定 的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定 的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出 的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， ， ， ， ， ， 关于 的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数 的值之和是， 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交 ，于F，G两点，若，则__________；且，则__________． 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出 ． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴（负值舍去）； ∵， ∴设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， 连接，设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：5；． 16. 一个四位正整数 ，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数 为“压轴数”．将“压轴数” 的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数” 的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、 、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的 值的和为_____． 【答案】 ①. 7807 ②. 9507 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的 值的和为； 故答案为：7807，9507． 三、解答题（共8小题，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、单项式乘以多项式及分式混合运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得答案； （2）括号内先通分计算分式减法，再利用分式除法法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 年5月日，是四川汶川地震周年纪念日，也是我国第个“防灾减灾日”，为了解学生对“防灾减灾”知识的了解程度，某校随机抽取了八年级、九年级各名学生进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：，不合格为C等级：，分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，； 九年级学生测试成绩数据为B等级共有a个人． 八年级、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八、九年级分别有名，请估计该校八、九年级学生中成绩为合格的学生共有多少名？ 【答案】（1），， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数概念进行填写，并完成条形图； （2）根据数据得出结论； （3）利用样本估计总体解决问题． 【小问1详解】 由图可知九年级B等级占比为，故人数 为（人）， 根据中位数概念，将八年级成绩从小到大排列得中位数， 根据观察，八年级成绩众数为， 故：，， 【小问2详解】 我认为九年级的测试成绩更好．理由如下：因为九年级的测试成绩众数大于八年级的测试成绩众数，所以九年级测试成绩更好． 【小问3详解】 （人） 答：该校八、九年级学生中成绩为合格的学生共有约人． 【点睛】本题考查了条形图和扇形图数据统计与分析知识，中位数，众数，用样本估计总体，其中准确找到数据与图表之间的关系是解题的关键． 19. 在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交 于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF． 证明：四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①______， ∴，， ∵，且EF是AC的垂线， ∴②______， 在与中， ∴， ∴③______且， ∴④______， 又∵， ∴四边形AECF是菱形． 【答案】（1） 如图即为所求． （2） ，，，四边形是菱形是平行． 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质可得，再证可得，再证四边形AECF是平行四边形，最后结合即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 【答案】（1）水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元 （2）a的最小值为20 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，不等式是解题的关键． （1）设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的， ∴设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：a的最小值为20． 21. 如图1，在边长为的正方形中，为中点，动点 以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点 以每秒 个单位的速度，从点 出发，按的方向运动至点停止，当动点 停止运动时动点 也停止运动．连接，设点 的运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； （3）当时，求的值． 【答案】（1）， （2）由（1）可知，，， 如图所示， 的函数图像，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；的函数图像，当时，随的增大而增大． （3）当时，或 【解析】 【分析】（1）根据点的运动速度，正方形的性质，图形结合，以及三角形面积的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式即可绘图； （3）根据（2）中图像性质，分类讨论，当时或当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：边长为的正方形中，为中点，点 以每秒个单位的速度运动，点 以每秒 个单位的速度运动，运动时间为， ∴，，，，， ∴点 从的时间为：，点 从的时间为：， 点 运动的过程， ①当 在 上运动时，，， ②当 在上运动时，，如图所示， ， ∴点 在运动过程中； 点 运动的过程，， 综上所述：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）的图像可知， 当时，， ∴，解得，； 当时，， ∴，解得，； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查动点与正方形的性质，动点运动规律与函数图像的综合，掌握动点运动与图形面积的计算方法，函数图像的绘图与性质，一次函数交点的计算方法是解题的关键． 22. 某户外徒步团在重庆缙云山开辟出了两条经典的徒步路线．如图是两条徒步路线的平面示意图，A、B、C、D、E为徒步路线的五个补给点．已知点E位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，点C位于点B的西南方向米处，若点C位于点D的正东方，点B位于点A的正东方．路线①为从补给点A出发，经过补给点E，最后到达补给点B；路线②为从补给点A出发，依次经过补给点D、C，最后到达补给点B．（参考数据：，，） （1）求 的长度．（结果保留根号） （2）该户外徒步团组织了甲、乙两个队进行登山活动，甲队选择了路线①，其平均速度为60米/分钟，乙队选择了路线②，其平均速度为50米/分钟，若两队同时出发，请通过计算判断哪一支队伍先到达终点．（结果精确到） 【答案】（1）； （2）甲队伍先到达终点． 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交 于点，是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出，的长，即可求解； （2）分别过点作，分别交 于，通过解直角三角形求出路线和路线的总路程即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，交 于点，如图： 由题意可知，，，米， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：分别过点作，分别交 于，如图： 由题意可知，，，米，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴米， ∵，米， ∴路线①的路程为：米， 路线②的路程为：米， ∴甲队所用的时间为：， 乙队所用的时间为：， ∴甲队伍先到达终点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于，两点，连接 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是线段 上方抛物线上的一动点，过点 作，垂足为点，点 ， 为直线 上的两个动点（点 在 的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点 且与直线 相交于另一点 ，点 为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点 的坐标（写出必要的求解过程） 【答案】（1） （2） （3）点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点，进而可得直线 的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交 于 ，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时， 的值最大，此时，即，将点 沿 方向平移个长度得到，即将点 向左平移个长度，向上平移 个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、 、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解； （3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在 轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点 ，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线 的对称点，作直线 交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可． 【小问1详解】 解：将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当 时，，故， 设直线 的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，如图，作轴交 于 ，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时， 的值最大，此时，即， 将点 沿 方向平移个长度得到，即将点 向左平移个长度，向上平移 个单位长度得到，连接，则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，当、 、在同一直线上时，的值最小，为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：， ∵将该抛物线沿方向平移， ∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 故平移后的解析式为， ∵新抛物线经过点 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴平移后的解析式为， 联立，解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图，在 轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点 ， ， 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得, 解得：， ∴ 直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时； 作点关于直线 的对称点，作直线 交新抛物线于点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， 设点，则，， 解得：（不符合题意，舍去）或，即， 同理可得直线 的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时， 综上所述，点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 点 是三角形 内一点，连接、，． （1）如图 ，若、分别平分、，，，求 的长； （2）如图 ，连接，若，且，是 的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点 是直线 上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点 ，直接写出当取得最小值时，的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图 ，过点 作，交的延长线于点，作，交于点， ， ，，， 点是 中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，由直角三角形的性质可求，的长，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，可得结论； （3）通过证明，可得，则当时，有最小值，即有最小值，再求出的面积，由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：如图 ，过点作于， ， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交 的垂线 于点，连接，过点作于， 、分别平分、， 平分， ， ，， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， 是等边三角形， 点 是的中点， ， ，， ， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 点 在 上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判断和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潼南区2025年九下第二次联合测试数学试题 一、单选题（共10小题，每小题4分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 和是以为位似中心的位似图形，且，的周长是 ，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个 A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 8. 如图，与菱形的边 相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于 的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每题5分） 11. 计算：________． 12. 一个口袋中有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球．记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为______． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 14. 若关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是____． 15. 如图，是 的外接圆，是的直径，AD与相切，且与 的延长线交于点D，过点C作分别交 ，于F，G两点，若，则__________；且，则__________． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 三、解答题（共8小题，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 年5月日，是四川汶川地震周年纪念日，也是我国第个“防灾减灾日”，为了解学生对“防灾减灾”知识的了解程度，某校随机抽取了八年级、九年级各名学生进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：，不合格为C等级：，分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为：，，，，，，，，，，； 九年级学生测试成绩数据为B等级共有a个人． 八年级、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______，______；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八、九年级分别有名，请估计该校八、九年级学生中成绩为合格的学生共有多少名？ 19. 在学习平行四边形的过程中，小明想利用如下条件构造出一个菱形：如图，在平行四边形中，为对角线，E为边上一点，连接，且，过点E作的垂线交于点F，垂足为O，连接，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空． （1）用直尺和圆规，过点E作AC的垂线（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）若过点E作AC的垂线分别交BC于点F，垂足为O，连接AF． 证明：四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①______， ∴，， ∵，且EF是AC的垂线， ∴②______， 在与中， ∴， ∴③______且， ∴④______， 又∵， ∴四边形AECF是菱形． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 21. 如图1，在边长为 的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒 个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图像，并根据图像写出函数的一条性质； （3）当时，求的值． 22. 某户外徒步团在重庆缙云山开辟出了两条经典的徒步路线．如图是两条徒步路线的平面示意图，A、B、C、D、E为徒步路线的五个补给点．已知点E位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，点C位于点B的西南方向米处，若点C位于点D的正东方，点B位于点A的正东方．路线①为从补给点A出发，经过补给点E，最后到达补给点B；路线②为从补给点A出发，依次经过补给点D、C，最后到达补给点B．（参考数据：，，） （1）求 的长度．（结果保留根号） （2）该户外徒步团组织了甲、乙两个队进行登山活动，甲队选择了路线①，其平均速度为60米/分钟，乙队选择了路线②，其平均速度为50米/分钟，若两队同时出发，请通过计算判断哪一支队伍先到达终点．（结果精确到） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于，两点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点， 为直线上的两个动点（点在 的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 24. 点是三角形内一点，连接、，． （1）如图 ，若、分别平分、，，，求的长； （2）如图 ，连接，若，且，是 的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $