2025届湖北省“新八校”协作体高三下学期5月联考数学试卷

2025年湖北省“新八校”协作体高三5月联考 高三数学试卷 命题学校：荆州中学 命题救师：高三数学组 审题学校：那阳中学随州一中 考试时间：2025年5月3日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用，黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. B={xlog2x之a叫，若Bc(CvA),则a的取值范围 是() A.（0,2] B.[2,+oo) C.(2,+∞) D.[l,+o) 2. 复数z满足z(1+)=W5+,则复数z=() A.2-i B.2+i C.2-2i D.1+2i 3.已知向量a=(2,0),6=(-3,3),则cos(a,a+)=() A.3 B. 2 c n.月 4. 已知{a}是无穷数列，a=l,则“对任意的m,n∈N,都有ann=an+an”是“{a}是等 差数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 将函数f(x)=cos 【r+}@>0)的图象向左平移号个单位长度后与函数g)=如(o@m)的 图象重合，则⊙的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.8 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第1页 6. 在正三棱台ABC-DEF中，P,Q分别为棱AB,BC的中点，AB=2DE,四边形POFD为 正方形，则BC与平面ACFD所成角的正弦值为() A. 3 B.6 3 C.3 D.6 6 6 7.已知圆G:(x+1)2+y2=16,圆C2:(x-1)2+y2=2(0<r<2),动圆M与圆C,圆C2都相切， 若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为9，，则上+上的值为 ee, () A.2 B.4 C.6 D.8 8.已知f因=e-e+n(W2+i-对，且f血m)+f”)=0,则下列可能成立的是() A.n<m<1 B.1<n<m C.m<I<n D.1<m<n 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,A,B分别是事件A,B的对立事件，下列命题正确的有() A.若A,B互斥，则P(B)=P(AB) B.若P(B|A)>P(B|A),则P(AB)<P(A) C.若A,B相互独立，则P(A+B)=1-P(A)P(B) D.若A,B互斥，则A,B不相互独立 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N,P,9分别是棱CD,AA,AB,CD的 中点，动点E在正方体表面运动，则() A.PN与AM为异面直线 B.AB与MN所成的角为90° C.平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D.4E=144+40-24码，则E点轨迹长度为 2 11.已知函数f(x)=alnx(a>0),过点A(0,月)作平行于x轴的直线交曲线y=f(x)于点B,曲线 y=f(x)在点B处的切线I交y轴于点C则() 2 A.当a=1时，切线I的方程为y=二x B.当a=1时，△ABC的面积为e C.点C的坐标为 0, D.AMBC面积的最小值为2e 2 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一组数据按照从小到大的顺序排列为2,3,4,5,6,9，记这组数据的上四分位数为n,则二项式 2- 展开式的常数项为 13.已知点M2,4)不在抛物线C:y2=2pxp>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一 点P,PM+PF的最小值为5，则p的值等于 14.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向 数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记a为第n 向左捕虫？ ©2向右捕虫？ 切 次跳跃后对应数轴上的数字(n=1,2,…,20),则满足-4-3-2-1012345 a。=36,a1g=2的跳跃方法有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若b-2a+4asin24+B 0， 2 I)若a=b=V5,P为△MBC内的-点，且PA1PC,PC=5 ，求如∠PB: (2)求角B的最大值. 16.(15分) 已知函数f=ax2-e(a∈R)(e为自然对数的底数). 2 (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (2)若当x≥0时，不等式f(x)≤-x-1恒成立，求实数a的取值范围. 17.(15分) 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，己知甲、乙第一轮答 对的概率都为2·甲如果第(N)轮答对，则他第+1轮也答对的概率为子，如果第k轮答错， 则他第k+1轮也答错的概率为子：乙如果第k轮答对，则他第k+1轮也答对的概率为子，如果第 k轮答错，则他第k+1轮也答错的概率为号，在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响。 (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率： (2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为 止.设停止游戏时进行了Y轮游戏，求证：E(Y)<4. 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第3页 18.(17分) 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”·如图，椭圆柱O0'中底面长轴 AB=AB'=4,短轴长2N3,F,F为下底面椭圆的左右焦点，F为上底面椭圆的右焦点， AA'=4,P为BB'上的中点，E为直线A'B上的动点，MN为过点F的下底面的一条动弦（不 与AB重合)， o' A (1)求证：FF∥平面PMW. (2)若点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的投影，且Q'F,Q'F与下底面所 成的角分别为a,B,试求出an(a+)的最小值， (3)求三棱锥E-PMN的体积的取值范围. 19.(17分) 已知数列A:4,a2,…，a(n≥4)，其中4，a2,…，an∈Z,且4<a2<<an,若 数列B:b,b,bn满足b=abn=an,当i=2,3,…，n-1时，b,=a1+1或a1-1,则 称数列B:b,b,bn为数列A的“调节数列”，例如，数列在1,3,5,7的所有“调节数列”为 1,2,4,7；或者1,2,6,7；或若144,7；或者1,4,6,7 (1)直接写出数列4：1,3,6,7,8的所有“调节数列”B: (2)若数列A满足通项a,=2(n∈N）,将数列A的“调节数列”中的递增数列记为B,数 列B中的各项和为S,求所有S的和： (3)已知数列A满足：a=1,a,=2025,若数列A的所有“调节数列”B均为递增数列， 求所有符合条件的数列A的个数 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第4页2025年湖北省“新八校”协作体高三5月联考 高三数学试题答案和解析 1-8.DCDAA BBD 9.ACD 10.ABD 11.BD 12.60 13.6 14.1305 15,解折：()b-2a+4asin24+B=0 2 可化为b-2a+2a1-cos(A+B)=0→b+2 acosC=0, …(1分) 又a=b=5,则C=行4=8=君 …(2分) 6 PAPC.PCc 6,cos∠PAC=V30 ……(4分) 6 则snPB=sm管-∠CaP=×o.5x6_B0-3返 ……(6分) 2626 12 (2)方法1：化为角的关系sinB+2 sin Acos C=0,…(8分) 变形得sin(A+C)+2 sin Acos C=0→3 sin Acos C+cos Asin C=0 即3tanA+tanC=0…(10分) 又tanB=-tan(A+C)= tan 4+tan C :,由b+2 a cos C=0知C为钝角，则A为锐角，tanA>0 1-tan A.tan C 2tanA 2 5 tan A-3tan A = -≤ 1+3tan2 I 1+3tan A.tan A +3tan A 2 .3tan A tan V tan A 当且仅当mA=5时等号成立B= 3 …………(13分) 6 法2：化为边的关系b+2aX0+6二C=0三2+2b2-c2=0, (8分) 2ab 又cosB=a+c2-b …(10分) 2ac a2+c2c2-a2 2 3a+c≥2w5ac-5 2ac 4ac 4ac 2 且仅当C=5a等号成立.B=T…(13分 6 16.解析：(I)当a=2时，f(x)=x2-e,f'(x)=2x-e,…(2分) 则f(0)=0-e°=-1，f'(0)=0-e°=-1， 所以切线方程为：y十1=一(x一0)，即x十y十1=0：(4分) 湖北省新八校教科研协作体*数学答案（共5页)第1页， 当x≥0时，闭s-x-l恒成立，即：r2-e+x1s0在0+回)上相成立。 没g)=)ar-e+x+1,则gw)=a-e广+D 令h(x)=ax-e+1,x20,则h'(x)=a-e. ①当a≤1时，因为e≥e°=1，则h'(x)≤0， 可知g'(x)在[0，+∞)上单调递减，则g'(x)≤g'(0)=0,所以g(x)在[0，+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(O)=0,即f(x)≤-x-1恒成立，所以a≤1满足题意；…(9分) ②当a>1时，令h'(x)=0,解得：x=lna, 当xe(0,lna)时，h'(x)>0,则g'(x)单调递增， 此时g'(x)>g'(0)=0,，则g(x)在(0，lna)上单调递增，所以g(x)>g(O)=0, 即当x∈(0，lna)时，f(x)>-x-1,即f(x)≤-x-1不恒成立，可知a>1不合题意.(14分) 综上所述，a∈(-0，.… …(15分) (注：本文也可以通过参变分离和必要性探路等方法解决，请酌情给分。) 17.解析：解：(1)设A,=“甲在第轮活动中答对”，B=“乙在第轮活动中答对”， C=“甲乙在第i轮活动中都答对”，(i=1,2), P(C2)=P(AA)P(BB)+P(AA)P(BB)+P(AA)P(BB)+P(AA)P(BB) 13121112,1311,1.1.111 24232423242324234' …(3分) 131.21 P(CC:)-P(AA)P(BB)238 故P(CC,) PCC2-&-1 P(C)12 …(6分) 4 1.3.111 (2)第二轮甲答对的概率为P(A)=P(AA2)+P(A4)=二×二+ 242^42 11121 第二轮乙答对的概率为P(B2)=P(BB2)+P(BB2)=一×，+一×，=。 23232' 依此类推得到P4)-P代8) 每一轮甲乙都答错的概率为2× 111 24 …(8分) 因此P心=0-目=2 …(10分) 则m=目子2*自”子0 (12分) 所以0们=1+2+m),@…13分） 湖北省新八校教科研协作体*数学答素（共5页）第2页， ①-@得m-+-mn-(<1 所以E(Y)<4.… ……(15分) 18.解析：(1)由题设，长轴长4B=4B例=4，短轴长2√5，则OFoF -o'F,=1, 所以F,F分别是OBOB的中点，而柱体中ABB为矩形，连接OB, 由B'F∥OFBF曰OF=1, 故四边形FOB'E为平行四边形，则OB∥FF?, …(2分) 当P为BB的中点时，则PF∥OB,故PF∥FF, PFC面PMN,FF文面PMN,故FE∥平面PMN.…(4分) (2)由题设，令F上mQF=m,则m+n=4,又Q01=4 所以ana=4,tanB=4,则tan(a+B) tana+tanβ_4(m+n）_16 …(7分) 1-tanatan B mn-16 mn-16 因为mn≤ m+n】 2=4, 、当且仅当mn,即tana=amB上式取等号，所以tam(a+)2… …(9分) (3)VE-PMN =VM-PEF +VN-PEF:, 正方形ABB'A'中P为中点，易得E与A'重合时FP与EP垂直， 此时PE=V5,EP=√20， 则5%最大值为分520=5…1分 构建如上图直角坐标系且B(0,2,椭圆方程为二+号=L设M(任，乃），N(:,) 43 设MN:y=x+1,联立椭圆得(312+4x2+6x-9=0,且△=144(t2+1)>0, 湖北省新八校教科研协作体*数学答素（共5页）第3页， 6t 9 所以+=3+4=3+4 而x-2=V(x+x2)2-4xx2, …(13分) K-要1=F- 12112 .1 312+4 由对勾函数性质知y=31+在[l,+切)上递增。故k-无∈(0,3引…（16分 由%m=北所+m%k- 综上，'E-pww∈(0,5]… ………(17分) 19.解析(1)B:1247,&B:1267,8B:1,547,8B:15,67,8.…(3分) (2)因为a1=2,an=2n由题意b,∈{3,52n-1共n-1个数， 而b共有n-2项，则“调节数列”B。共有n-1种情况…(5分) 不妨设B:2,3,5.2n-3,2n:则S1=2+3+5+.+2n-5+2n-3+2n B2:2,3,52n-5,2n-1,2n:则S2=2+3+5++2n-5+2n-1+2n 依此类推Bn-2,5,72n-3,2n-1,2n;则Sn1=2+5+7+.+2n-3+2n-1+2n 故23=(a-102+2m）+(0a-6+5+…+2m-3+2n-)-6+5+2m-) =2(n-1)1+n)+(n-2)(3+5+…+2n-3+2n-1) =2(m-001+n）+(a-2)3+2n-Da- 2 =2(n-1)1+n)+(n-2)(n+1)(n-1) =(n-1)n(n+1）=n3-n2.… …(9分) (3)依题意，对任意i=23,,n-2, 有b=a+1或a1-l,b1=a,+1或a2-1, 因为B均为递增数列，所以b<b,即同时满足： a-+1<a,+1①，a-1<a+2-1②，a+1<a42-1③，a1-1<a+1④. 因为A为递增数列，因此①和②恒成立， 又因为A为整数数列，对于③，a-+1≤a,<a≤a42-1也恒成立.…(11分) 对于④，一方面，由a#1-1<a,+l,得a<a+2,即a+1≤a,+1. 另一方面，a1之a,+1, 所以a1=a,+l(i=2,3,…,n-2),… …(14分) 即A从第2项到第n-1项是连续的正整数， 所以a3≥a+1=2,am=a2+n-3≤an-1=2025-1=2024, 湖北省新八校救科研协作体*数学答案（共5页）第4页， 因此2≤a,≤2027-n, 故42共有2026-n种不同取值，即所有符合条件的数列A共有2026-n个.…(17分) 湖北省新八校教科研协作体*数学答案（共5页）第5页，