精品解析：湖北多地市（黄冈、鄂州等）2026届高三下学期4月调研模拟考试数学试题

高三（4月）调研模拟考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】绝对值不等式等价于：， 两边同时减去，得，故， 分式不等式等价于分子分母同号， 即：，解得，故， 所以. 3. 记为等比数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 4. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】若甲：是真命题，则， 若乙、丙为真， 则，此时甲为真， 由可得，显然， 即丁为假，故D符合题意. 5. 已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得，设，以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 6. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 【答案】D 【解析】 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 7. 已知函数,若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于的取值范围是， ，所以当且仅当 且 ， 因为，所以， 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得； 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足， 解得；为使，均在内，需同时满足和，因此最小的为. 8. 设分别是函数与的正零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点条件，分别将、代入整理，得到两点坐标满足圆的方程，借助指数函数与对数函数互为反函数、图像关于对称的性质，结合圆的对称性，得出及，最后通过三角换元，将目标式化为正弦型函数求最值. 【详解】已知是的正零点，，代入得：， 通分整理得： 即点同时在第一象限的圆和曲线上， 再代入（是的正零点）得：， 两边平方整理得：， 即点同时在第一象限的圆和曲线上， 又与互为反函数，图像关于直线对称， 且圆也关于对称，因此点关于的对称点， 一定在上，且仍在圆上， 因为时单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点就是， 因此：，代入得：， 设， 代入得： 正弦最大值为，因此的最大值为. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次歌唱比赛中，位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，，这组分值的中位数和平均数均为，方差为．现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的个分值从小到大排列为，方差为．下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项：由原数据中位数平均数，当所有评委打分相同时， ，乘积等于，不等式不成立，A错误； B选项：原数据，共11个，中位数是第个数， 去掉最低分和最高分后，剩下原第至第个数据，共个， 重排后，其中， 新中位数是第5个数，恰好等于原来的，所以中位数恒为，B正确； C选项：原数据平均数为，即总和，去掉和后， 新总和为，平均数变为， 要使它等于，需，即最低和最高分关于对称，而题中无此条件，C错误 ； D选项：设原数据平均数为，新数据平均数为， 根据方差的性质，总平方和之间存在关系： ， ， 又是这9个数的平均值，所以， 于是， 即， 又为最低分，为最高分， 由基本不等式可得：， 由方差的性质可得：，即， 代入得：， 即，D正确. 10. 在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，，三种情况求出体积即可. 【详解】若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，，所以， 所以该四面体的体积为； 若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以，则，则， 所以该四面体的体积为； 若， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以， 取线段的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 因为，，所以点到直线的距离为， 则， 所以该四面体的体积为. 11. 若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确； 对于B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即故B正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误； 由前面分析可知，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 13. 已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出。再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差。最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解. 【详解】由抛物线定义可得的准线为， 则，，由， 得：， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以：，， 得，由两点距离公式， 代入：. 14. 类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 ①. , ②. ## 【解析】 【分析】先确定圆锥母线的平面方程，旋转得到圆锥侧面方程；再将与轴平行的平面代入圆锥方程，整理成双曲线标准形式，求出，即得其离心率. 【详解】已知圆锥底面半径为2，高为3，底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则顶点坐标为， 在平面上，圆锥的母线是连接和的直线，即， 绕轴旋转时，替换为，得到旋转面（圆锥侧面方程），， 即，整理得，. 用与轴平行的平面截圆锥，不妨取平面（为常数，且），代入圆锥方程， 可得，整理为双曲线标准形式， 而对于双曲线，这里，则， 故该双曲线的半焦距为， 于是，其离心率为. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为正三棱柱各棱长均相等，所以侧面为正方形，所以为中点， 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为正三角形，为中点，所以. 以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正三棱柱各棱长为2， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． （1）求的标准方程； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知焦距和所过定点，利用椭圆的定义及两点间距离公式算出长轴长，进而由椭圆基本关系求得标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示弦长，结合点到直线距离公式得出三角形面积的函数表达式，最后通过导数或函数单调性分析求得面积的最大值. 【小问1详解】 依题意焦点坐标为 椭圆方程为 【小问2详解】 设联立得 由得且 点到直线的距离为 设 令，则（舍去）或， 当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 面积的最大值为 17. 在中内角的对边分别为，且． （1）若的平分线交于点的面积为，求长； （2）若，求当周长最小时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再通过已知的及和角公式求出角的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于的方程求解； （2）由已求得的角用余弦定理消去，将用表示，进而构造出周长关于的函数；利用基本不等式求得的值. 【小问1详解】 依题意有即 又由余弦定理有 又为中内角 又而 因为的面积为， 在中， 【小问2详解】 由（1）知． 设周长为，则 令， 当且仅当时周长取最小值． 故当周长最小时． 18. 已知函数． （1）若对恒成立，求的取值范围； （2）若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）知，， ，， ，即， 要证，即证，， 令，，，； p（t）在上单调递增， ，故 【解析】 【分析】(1)原函数求导，令参数进行分类讨论，求单调区间判断即可 (2)令，构造新的函数，求导利用单调区间即可求解和证明 【小问1详解】 （1） 当a≤2时，在上单调递增，恒成立； 当a>2时，令得，，则 当时，，在上单调递减，，不合题意． ，a的取值范围为 【小问2详解】 （i），， 若有2个零点，即方程有2个根． 令，，h（x）在上单调递增，在上单调递减，且 ，，解得 （ii）略 19. 一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． （1）若摸球10次，求摸到红球个数的期望； （2）若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由二项分布的期望可得； （2）（i）由第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球的情况结合独立事件的乘法公式可得； （ii）先由后三次分别为黄球、红球、红球三种情况得到，再令解出再验证可得. 【小问1详解】 设摸到红球的个数为，依题意有 【小问2详解】 （i）依题意 第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球， 其概率为 （ii）若恰好第n+3次时结束，则第n+1次为黄球，第n+2，n+3次为红球，且第n次没有结束， 记第n次摸球没有结束的概率为Qn ，即 又第n+5次时结束可分为：当第n+1次为黄球时，则第n+2次为黄球红球均可以，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 当第n+1次为红球（且摸球没有结束）时，则第n+2次为黄球，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 综上 经验证：P1，P2，P3，P4，P5满足上式， ． 令得 解得或 或 又 ①或② ①-②得 当n=1，2时也成立， 所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三（4月）调研模拟考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 7. 已知函数,若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是函数与的正零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次歌唱比赛中，位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，，这组分值的中位数和平均数均为，方差为．现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的个分值从小到大排列为，方差为．下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 10. 在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________． 13. 已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 14. 类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________． 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． （1）求的标准方程； （2）求面积的最大值． 17. 在中内角的对边分别为，且． （1）若的平分线交于点的面积为，求长； （2）若，求当周长最小时的值． 18. 已知函数． （1）若对恒成立，求的取值范围； （2）若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19. 一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． （1）若摸球10次，求摸到红球个数的期望； （2）若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $