精品解析：山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测数学试题

试卷类型：A 高三二轮检测 数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 6. 某学校为提高学生学习英语的积极性，举办了英语知识竞赛，把2000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. a的值为0.015 B. 估计成绩低于80分的有50人 C. 估计这组数据的众数为80 D. 估计这组数据的第60百分位数为87 7. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. “”否定是“” B. 若回归方程为，则变量与负相关 C. 若，则 D. 五个人并排站在一起，若不相邻，则共有72种不同的排法 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B. 若点在双曲线上，则直线与斜率之积为 C. 以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率 D. 若过的直线与轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线的渐近线方程为 11. 在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若为平面内任意一点，则 C. 当地政府拟沿满足的点的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D. 外卖员从点送餐到点，在保证路程与相等的前提下，左转次数的期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的第4项的系数是_______. 13. 函数的最小值为_______. 14. 如图，在母线长为，高为倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在钝角三角形中，内角所对的边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若的面积，求的值． 16. 如图，斜四棱柱的底面为菱形，平面平面分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若都是边长为2的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值， 17. 已知函数最小正周期为． （1）求在点处的切线方程； （2）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 18. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，． （1）求的概率； （2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设 （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：． 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线交于点． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 高三二轮检测 数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算、共轭复数、复数的模，复数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以复数对应的点在第三象限. 故选：C 3. 已知平面向量，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角可得向量数量积为负数且不共线得解. 【详解】因为与的夹角为钝角， 所以，且， 解得且， 故选：D 4. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，与， 答案A没有幂函数图像， 答案B.中，中，不符合， 答案C中，中，不符合， 答案D中，中，符合，故选D. 【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】因为, 所以，. 故选：D 6. 某学校为提高学生学习英语的积极性，举办了英语知识竞赛，把2000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. a的值为0.015 B. 估计成绩低于80分的有50人 C. 估计这组数据的众数为80 D. 估计这组数据的第60百分位数为87 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，根据频率分布直方图计算可估计总体判定可判定B，利用众数、百分位数的求法C，D. 【详解】易知，解得，所以A错误； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有人，所以B错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以C错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，故D正确. 故选：D. 7. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 8. 已知是定义域为单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件可得，当时可推出，由函数单调性可得，即可得解. 【详解】由题意，， 又， 所以， 若， 则， 所以 由是定义域为的单调递增函数，可知有且只有成立， 所以， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. 若回归方程为，则变量与负相关 C. 若，则 D. 五个人并排站在一起，若不相邻，则共有72种不同的排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题的否定判断A，根据回归方程判断B，根据二倍角的余弦公式及弦化切判断C，根据插空法求解判断D. 【详解】根据存在性命题的否定知，“”的否定是“”，故A正确； 由回归方程为知，，所以变量与负相关，故B正确； 因为，故C错误； 先排除去外的3人，由种不同的排法，再把插空放入，有种放法，根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的排法，故D正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B. 若点在双曲线上，则直线与的斜率之积为 C. 以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率 D. 若过的直线与轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线焦点到渐近线距离为b判断A，取特殊位置判断B，由题意求出点坐标代入双曲线方程化简即可得出离心率判断C，利用向量的夹角公式化简即可得出判断D. 【详解】由双曲线的性质知，焦点到渐近线的距离为，故A正确； 在双曲线上取顶点时，直线与的斜率之积为0，故B错误； 由题意点在圆上，又，所以，代入圆的方程，可得，将点代入双曲线方程可得，，即， 所以，故C正确； 直线方程为，与渐近线相交于， 所以，即， 化简可得，解得，所以双曲线渐近线方程为，故D正确. 故选 ：ACD 11. 在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若为平面内任意一点，则 C. 当地政府拟沿满足的点的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D. 外卖员从点送餐到点，在保证路程与相等的前提下，左转次数的期望为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义判断A，根据绝对值不等式的性质判断B，根据新定义、排列、直线方程判断C，求出期望判断D. 详解】由定义知，，故A正确； 平面内任意一点，则 ，故B正确； 设，则由可得， 因为去掉绝对值分别有3段取值，共可得到个方程，最多对应9条线段， 但当时，方程为，无解， 其余分类中得到的方程含有或，且方程对应的线段相异， 故总的线段条数为，点轨迹图形为八边形，如图所示， 故C错误； 由题意，左转次数可能为，总的走法有， 其中，，所以， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的第4项的系数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式求解即可. 【详解】， 当时，， 故答案为： 13. 函数的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导函数求函数的单调性及最值. 【详解】设，定义域为，则. 令，解得， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增. 所以，函数在处取得最小值. 故答案为：. 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 【答案】6 【解析】 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在钝角三角形中，内角所对的边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若的面积，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为0，化简后利用正弦定理可得，再由余弦定理求解； （2）由三角形面积公式求出，再由余弦定理化简得解. 【小问1详解】 ， ， 即， 钝角三角形中，， ， 由正弦定理知，， ， ， 【小问2详解】 ，， ，或， 当时，， ； 当时，， 此时，，不合题意. 综上，. 16. 如图，斜四棱柱的底面为菱形，平面平面分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若都是边长为2等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值， 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质可得平面，再由 可得平面，据此即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量法求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 连接，交于点， 四边形为菱形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 在四棱柱中，分别为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面平面 【小问2详解】 由题意，为中点， 都是正三角形，且， ， 平面平面，平面∩平面，平面，平面， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 又， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求在点处的切线方程； （2）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式后由周期求出，再求出函数导数，得出切线斜率即可得解； （2）原问题转化为，先利用特殊值求出的范围，再证明即可得解. 【小问1详解】 , 的最小正周期为， ， ， 切线的斜率， ，切点为， 切线方程为. 【小问2详解】 在上单调递减， 在上恒成立， 即 其必要条件为，即，下面证明这条件是充分的. 由，可得，于是， 设，下面证明恒成立. 求导得， 时，单调递增， 在上单调递减，， 时，单调递减， 在上单调递增， ， 存在唯一，使得， 结合的单调性，可得 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，， ，. 综上，. 18. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，． （1）求的概率； （2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设 （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）1（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出样本事件空间，根据古典概型求概率即可； （2）（ⅰ）求出，再由二项展开式化简，求出即可得解； （ⅱ）由所给条件可得，据此利用裂项相消法求出即可得证. 【小问1详解】 即“前两次点数之和为7”，设为事件， 样本空间， ， ， ， ， ， 即的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，由（1），， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，,, 当时，， ， 互质，互质， ， ； （ⅱ）证明： ， ， 当时，， ， ， ， ， ， . 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线交于点． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切． 【答案】（1） （2）（ⅰ）6；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设,根据直线的斜率之积为，列方程,整理即可得出曲线的轨迹方程. （2）（ⅰ）设出直线的方程与曲线E联立，利用韦达定理得，与，联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（ⅱ）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切． 【小问1详解】 设，则， 所以， 所以， 所以， 即， 所以的方程； 【小问2详解】 （ⅰ）设， 依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， ， 所以， 所以， 设， 由题意知，， ， 由题意知 ，即 所以， 所以，即N在直线上， 由题意知， 所以，即 所以， 所以，即M在直线上， 因为直线AC的方程为，直线AD的方程为， 由，得， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6； （ⅱ）因为直线AC与直线相交于点G，又BG的中点为H， 所以， 设， 当时， 由题意得， 所以， 当时，也满足， 故QH平分，所以QT为BT的中垂线， ，即T在圆上， 又，所以， 所以TH与定圆相切； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$