拓展13.3 立体几何初步高频题型专攻-2024-2025年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展13-3 立体几何初步高频题型专攻 一、展开图的最短路径问题 六、垂直的证明 二、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 七、平行垂直的综合 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 八、外接球和内切球 四、共面共线问题 九、空间角的计算 五、平行的证明 十、空间距离的计算 一、展开图的最短路径问题 【例1】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【例2】已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 【答案】 【详解】考虑圆锥前侧面的展开图，假设展开后对应的点为，如图， 连接，则线段即为最短爬行距离， 由题意可知圆锥的母线长，底面直径为，则， 设，则，即，则， 在中，． 故答案为：. 【变式1-1】已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 【变式1-2】圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为 . 【答案】 【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为，矩形的宽为圆柱的母线长5， 矩形的对角线长为，即为所求最短距离． 故答案为： 【变式1-3】圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 【答案】 【详解】如图所示： ，. 由图知：点绕圆锥侧面移动到的最短距离为. . 故答案为： 二、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【例3】（多选）在三棱锥中，E，F分别在棱AB，AC上，且，，记三棱锥，三棱锥，四棱锥的体积分别为，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设的面积为S，三棱锥的高为h，则， 因为，所以F是线段AC的中点，则， 因为，所以，则， 所以，故，． 故选：BD. 【例4】如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 【答案】 【详解】如图，因三棱锥的相对的两条棱都相等，故其可以补形为长方体， 设补成的长方体长、宽、高度分别为， 由题意，可得，解得， 则长方体的体积为，， 所以， 即三棱锥的体积为． 【变式2-1】如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 【答案】 【详解】如图，因为长方体的体积，即， 所以三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以四棱锥和四棱锥的体积， 所以四面体的体积 故答案为：. 【变式2-2】如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为 （填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为 ． 【答案】 棱柱 【详解】当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点， 此时平面平面，其余各面都是平行四边形， 且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱； 设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处， ， 所以水的体积，解得. 故答案为：棱柱； 【变式2-3】如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【答案】(1)平方厘米． (2)立方厘米． 【详解】（1） 由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． （2）由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【例5】已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设原圆锥的底面半径为2，高为，则原圆锥的表面积为． 小圆台的上下底面积为，侧面积为，表面积为． 故选：A． 【例6】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上、下两圆台的高分别是， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为，所以上、下两圆台的高之比是. 故选：B 【变式3-1】已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有， 又，所以， 故选：B. 【变式3-2】已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】/ 【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为. 故答案为：. 【变式3-3】在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. (1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆锥的底面半径为20cm，高为20cm，所以圆锥的容积为： （）， 圆柱的底面半径为20cm，高为50cm，所以圆柱的容积为： （）， 所以该容器的容积为： （）. （2）圆锥的侧面积为：（）， 圆柱的侧面积为：， 圆柱的底面积为：（）. 所以需要涂防水涂料的面积为：（）. 四、共面共线问题 【例7】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 【例8】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以. 在中，因为，所以，所以， 所以. 所以E，F，G，H四点共面. （2）因为，所以. 由已知可得，，，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，所以平面ABC. 同理，平面ADC，平面ADC. 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点. 又平面平面，所以， 所以P，A，C三点共线. 【变式4-1】（多选）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【答案】ABC 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 【变式4-2】已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴，平面. 又平面，∴平面. ∴由基本事实3可知：点在平面与平面的交线上， 同理可证也在平面ABC与平面α的交线上, ∴共线. 【变式4-3】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面且平面， 故平面平面，所以三线共点. 五、平行的证明 【例9】如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对于A选项，如图①所示，在正方体中，   且， 因为分别为的中点， 则且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理可证平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为平面， 故平面,故A满足； 对于B选项，如图②所示，连接，    在正方体中，且， 因为分别为的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为分别为的中点，则， 所以， 因为平面平面， 所以平面，故B满足； 对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点， 连接，    因为且分别为的中点， 所以且，故四边形为平行四边形，则， 因为分别为的中点， 所以，则， 所以四点共面， 因为且，则四边形为平行四边形， 所以， 因为分别为的中点，则， 所以， 因为平面平面， 所以平面故C满足； 对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点， 连接，    因为且分别为的中点， 则且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为分别为的中点， 所以，故， 所以四点共面， 同理可证，故， 同理可得， 反设平面， 因为，且平面，则平面， 但与平面有公共点，这与平面矛盾， 故平面，故D不满足. 故选：D. 【例10】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面．    （2）由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 【变式5-1】（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．点四点共面 B．几何体的体积为 C．存在唯一的点，使平面 D．平面平面 【答案】BD 【详解】对于A：在正方体中，又平面，平面， 所以平面，又平面，且，所以与为异面直线， 所以点四点不共面，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：取的中点，的中点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面，点为正方形内（包含边界）的动点， 所以点在线段上有无数的点，满足平面，故C错误； 对于D：在平面即是平面，平面即是平面， 因为是正方体，所以平面平面， 所以平面平面，故D正确. 故选：BD 【变式5-2】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 【变式5-3】如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，因为点分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以四点共面； （2）连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 六、垂直的证明 【例11】如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 【例12】如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【变式6-1】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【详解】由平面平面，得平面平面，D正确； 由平面，得，又为圆的直径，为圆周上不与点重合的点， 则，又平面，因此平面，又平面， 则平面平面，C正确； 由平面，得，而平面， 于是平面，又平面，则， 又平面，从而平面， 又平面，平面平面，A正确； 对于B，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，B错误. 故选：ACD 【变式6-2】已知三棱柱中，，，，，求证：平面平面 【答案】证明见解析 【详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接， 如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则， 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面. 【变式6-3】如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 七、平行垂直的综合 【例13】（多选）在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（    ） A．平面 B．∥平面 C．平面平面 D．平面∥平面 【答案】BC 【详解】对于A，若，因为，所以，因为，所以，矛盾，所以A错误； 对于B，因为平面，所以，因为，且，所以，所以B正确； 对于C，因为平面，且，所以平面，所以C正确； 对于D，若平面，因为，所以平面，又平面，矛盾，所以D错误． 故选：BC. 【例14】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 【变式7-1】如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，平面，平面，得平面， 又平面平面，平面，所以． （2）取的中点，连接，在中，，点是的中点，则，    由是等边三角形，点是的中点，得，又， 平面，则平面，又平面，于是， 又，，平面，则平面， 又平面，因此，由是等边三角形，点是棱的中点， 得，而，平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【变式7-2】已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面． (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为分别为棱的中点，所以, 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以； （2）因为，点是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为分别为棱的中点，所以， 因为，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，从而平面平面. 【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）∵，且为的中点， ∴． ∵底面为矩形，∴， ∴； （2）∵底面为矩形，∴． ∵平面平面，平面平面， ∴AB⊥平面．而平面， ， 又，，平面， 平面，而平面， ∴平面平面． （3）如图，取中点，连接． 分别是和的中点，，且， ∵四边形为矩形，且E为AD的中点， ， ，且，∴四边形为平行四边形， 又平面，GD平面， ∴平面． 八、外接球和内切球 【例15】在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，于是，又，取中点，连接， 因此，即点为四面体外接球球心，重合， ，球的半径， 所以球的体积为. 故选：A    【例16】已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为， 连接、和， 所以是直角三角形，且， 所以球的半径为， 球O的表面积为． 故选：A． 【变式8-1】已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，因为，是边长为1的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥， 所以顶点在底面上的射影为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以，连接并延长交于点，则， 因为，所以平面，又平面，所以. 因为E，F分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以，所以平面， 所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以， 把三棱锥补形为正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 所以半径为， 所以球O的体积为.    故选：D 【变式8-2】已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以该正三棱锥的外接球体积为， 故选：D． 【变式8-3】已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 九、空间角的计算 【例17】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】/ 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 【例18】如图，在四棱锥中，底面是正方形，为上一点，为的中点，且平面． (1)求证：； (2)若平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【详解】（1）如图1，连接交于点，取的中点，连接，， 则为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点，故. （2）因为平面，所以，， 在正方形中，，又，，所以平面， 又平面，，如图2，过点作，垂足为， 则，所以平面． 所以是二面角的一个平面角，所以， 由（1）知，所以， 所以，设，因为与相似，且相似比为， 则，另一方面，因为为的中点， 所以，所以， 所以，，所以正方形的边长为， 所以. 【变式9-1】如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，连接，如图： 四边形是正方形，所以. 因为底面，底面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 【变式9-2】斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. (1)求四棱柱的体积； (2)求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 如图，连接交于，连接，， 在中，由余弦定理可得， 因，故，即，， 故为等边三角形，，由题意，， 则， 由题意可得， 整理可得，得， 则为等边三角形，故， 又，故为等边三角形，故， 又， 在中，由余弦定理可得, ， 因，故平行四边形为菱形，故， 又，    ，平面，故平面， 作，由平面，则， 由，平面，则平面， 即为斜四棱柱的高， 在直角三角形中，， （2） 取的中点，连接，由（1）可知为等边三角形， 则，， 故为平面与平面所成角的一个平面角， 在中，由余弦定理可得， 【变式9-3】如图，在长方体中，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接交于，又长方体中，则底面为正方形， 所以为的中点，又为的中点，则， 由平面，平面，则平面；    （2）由题设知平面， 在中，，则，所以边上的高， 若锐二面角的平面角为，所以，则， 故锐二面角的余弦值为. 十、空间距离的计算 【例19】如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取AB中点为F，中点为，中点为， 连接. ，则为正方体， 因，四边形为平行四边形， 有，平面，平面，则平面， 同理有平面，，平面， 则平面平面， 则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD， 则DF，又，平面， 则平面，又平面，则. 又同理可得，结合平面， 则平面，又平面平面，则平面. 则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离. 设A到平面距离为，到平面距离为 则. 注意到，， 则，同理可得， 又，则平面间距离为， 即异面直线与之间的距离为. 故选：C 【例20】如图，矩形中，，将沿直线翻折成.    (1)若为线段上一点，且满足，求证：直线平面； (2)当平面平面时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在线段上取点，使，由为线段上一点，且， 得，则，在矩形中，， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面.    （2）依题意，，取中点，连接，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，连接，而平面，则，    又，则，在中，， 由余弦定理得，， 在中，，， ，，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【变式10-1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点， 所以，，故为平行四边形， 所以，又E是AA1的中点，易知：， 所以， 正方体中，而，面， 由面，则面，同理面， 又，面，故平面EB1D1平面FBD； （2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离， 而，而，，故△中BD的高为， 所以， 而，到面的距离， 所以，可得， 故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为. 【变式10-2】在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B不符合条件， 在平面内，不是三棱锥，故C不符条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 【变式10-3】如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． (1)求； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥， 其底面是腰长为的等腰直角三角形，面积为． 又底面上的高为， 所以三棱锥的体积． 因为正方体的体积， 所以剩余部分的体积． （2）在中，， 如图，取的中点，连接， 则， 所以， 的面积． 设点到平面的距离为， 因为三棱锥与三棱锥是同一个几何体， 所以，结合（1）得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展13-3 立体几何初步高频题型专攻 一、展开图的最短路径问题 六、垂直的证明 二、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 七、平行垂直的综合 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 八、外接球和内切球 四、共面共线问题 九、空间角的计算 五、平行的证明 十、空间距离的计算 一、展开图的最短路径问题 【例1】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【例2】已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 【变式1-1】已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为 . 【变式1-3】圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 二、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【例3】（多选）在三棱锥中，E，F分别在棱AB，AC上，且，，记三棱锥，三棱锥，四棱锥的体积分别为，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 【变式2-1】如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 【变式2-2】如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为 （填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为 ． 【变式2-3】如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【例5】已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例6】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 ． 【变式3-3】在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. (1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 四、共面共线问题 【例7】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【例8】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【变式4-1】（多选）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【变式4-2】已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线． 【变式4-3】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 五、平行的证明 【例9】如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例10】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若是线段的中点，证明：平面平面． 【变式5-1】（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．点四点共面 B．几何体的体积为 C．存在唯一的点，使平面 D．平面平面 【变式5-2】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【变式5-3】如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 六、垂直的证明 【例11】如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【例12】如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【变式6-1】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式6-2】已知三棱柱中，，，，，求证：平面平面 【变式6-3】如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 七、平行垂直的综合 【例13】（多选）在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（    ） A．平面 B．∥平面 C．平面平面 D．平面∥平面 【例14】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【变式7-1】如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 【变式7-2】已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面． (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． 八、外接球和内切球 【例15】在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 九、空间角的计算 【例17】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 【例18】如图，在四棱锥中，底面是正方形，为上一点，为的中点，且平面． (1)求证：； (2)若平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【变式9-1】如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【变式9-2】斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. (1)求四棱柱的体积； (2)求平面与平面的夹角的正切值. 【变式9-3】如图，在长方体中，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 十、空间距离的计算 【例19】如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例20】如图，矩形中，，将沿直线翻折成.    (1)若为线段上一点，且满足，求证：直线平面； (2)当平面平面时，求点到平面的距离. 【变式10-1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 【变式10-2】在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【变式10-3】如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． (1)求； (2)求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$