重难点04 空间中的角与距离问题（6类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦空间角与距离核心度量问题，以考点为纲系统覆盖六类题型，通过多样化几何体情境构建从概念到应用的逻辑链条，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成角|8题|选择/填空，正方体、正三棱锥等|从定义出发，平移转化为平面角| |线面角|7题|选择/解答，正四棱锥、鳖臑模型|依托线面垂直，构建射影求夹角| |二面角|7题|选择/解答，正三棱柱、圆锥情境|利用面面垂直或向量求二面角| |点到平面的距离|5题|选择/解答，翻折与体积法|等体积法或向量法转化计算| |线到平面的距离|5题|填空/解答，正方体、直三棱柱|转化为点面距离，体现转化思想| |平面到平面的距离|4题|多选/解答，半正多面体创新情境|基于面面平行性质，落实空间观念|

重难点04 空间中的角与距离问题 考点01异面直线所成角 考点04点到平面的距离 考点02线面角 考点05线到平面的距离 考点03二面角 考点06平面到平面的距离 考点01异面直线所成角 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出原正方体后，利用等角定理计算即可得. 【详解】画出原正方体如下图，设与共面的顶点为， 则，故即为所求角， 由正方体性质可得为等腰直角三角形，故， 即直线与所成角的大小为. 4．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱台的性质，结合已知条件求出相关边的长度，进而利用余弦定理计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】如图，设正三棱台的上、下底面中心分别为，，高为， ， ，， ， 解得， 在正中，， 同理得， 在直角梯形中，， 在等腰梯形中，由于，分别是和的中点， 为等腰梯形的高， ，即； 同理在等腰梯形中，对角线， ； 设的中点为，连接，， 且， 是异面直线和所成的角（或补角）， 又在中，； 在中，由余弦定理，得， 异面直线和所成角的余弦值为． 6．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 7．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 8．（2026高一·全国·专题练习）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理结合基本不等式求出面积的最大值；结合线线角可得点到平面距离的最大值，即可计算求解. 【详解】 设点到平面距离为，，， ， ，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）； 直线与所成角为，直线与平面所成角的最大值为， 点到平面距离的最大值， 四面体体积的最大值为. 考点02线面角 1．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 5．（24-25高三上·江苏南通·期末）某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积. 【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面， 则，由，得， 所以该正四棱锥的体积为. 故选：A. 6．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为_________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，可证为直线与平面所成角，根据解直角三角形可求其正切值. 【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 考点03二面角 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 2．（25-26高二上·北京·期末）如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案. 【详解】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，    设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取的中点，连接，可得即为二面角的平面角，从而可求出其值. 【详解】如图，分别取的中点，连接． 由三棱柱是正三棱柱可得， 从而四点共面且平面， 因为平面，所以． 因为是等边三角形，故． 又平面，平面，且， 所以平面，故， 所以即为二面角的平面角． 设，则，， 所以， 因为为锐角，所以， 所以， 所以二面角的大小为. 故选：C． 5．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，    连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，， 由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角， 而平面，AC在面ABCD内，则， 是直角三角形，又，，则，， 在中，，同理， 在中，， 所以二面角的余弦值为. 故选：C 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：B. 7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】通过证明平面，得证，即可确定异面直线所成角大小，再证明是平面与平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论． 【详解】面，面，则，同理，， 是正方形，则， 平面，所以平面， 又平面，所以，即异面直线与所成角的大小为，这时可确定只有选项A正确； 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而，所以，即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：A． 考点04点到平面的距离 1．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等积法可求点面距. 【详解】设点到平面的距离为， 因为，且，，两两相互垂直， 故，故的面积为， 因为平面， 故平面，故， 故，故. 故选：B. 2．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为求点到平面的距离，利用等体积法，结合三棱锥体积公式可构造方程求得点到平面的距离，由此可求得结果. 【详解】 为中点，点到平面的距离为点到平面距离的一半； ，，， ， ， ，， 设点到平面的距离为， ，，即，解得：， 点到平面的距离为. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. (1)求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，即可求解； （2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用，即可求解； （3）过作于，连接，根据条件可得，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图1，取中点，连接，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则. （2）如图2，连接，因为，， 四边形是菱形，所以为等边三角形， 由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，且， 又，所以是等边三角形，则， 所以， 在中，，，则， 所以，则， 又，设点到平面的距离为， 由，得到，解得. （3）如图2，过作于，连接， 由（2）知为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是二面角二面角的平面角， 则， 又，且，所以四边形是平行四边形，则，且， 又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角， 则，所以， 又，是的中点，所以，又，所以， 又是的中点，则为定值. 4．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． (1)证明：平面； (2)求点C到平面MBD的距离； (3)证明：平面平面． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意先证得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）由等体积法可得，再由棱锥的体积公式即可得出答案； （3）取的中点为，由，则平面即为平面，先证得，，再由线面垂直的判定定理可证得平面，最后由面面垂直的判定定理即可证明平面平面． 【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点， 所以过点，且为的中点， 在中，分别为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）因为， 因为底面， 底面，所以， 所以， 所以， ， 设点C到平面MBD的距离为，因为， 所以，所以，所以. 所以点C到平面MBD的距离为. （3）取的中点为，连接，，连接与交于点， 由正方体的性质可得，所以五点共面， 所以平面即为平面， 又由正方体的性质可得平面，平面， 所以，在三角形中，， 所以，又因为，所以， 所以在三角形，，所以， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据题意，利用面面垂直的判定定理即可求证； (2)取中点，连接，利用等体积法即可求出点到平面的距离； (3)过作，使，过作，垂足为，连接HC，由平面，可知平面，所以即为与平面所成角，最后利用三角形的边角关系求二面角的正切值. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以， 因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）如图所示，取中点，连接， 因为， 所以为等边三角形， 所以，， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面 因为分别为的中点， 所以为梯形中位线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 同理可得，， 又因为， 所以是等腰三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为， 所以， 解得，. 所以点到平面的距离为. （3）如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC， 所以， 所以四边形为矩形， 所以， 又， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角， 因为， 所以， 故与平面所成角的正切值为. 考点05线到平面的距离 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 【答案】ABC 【分析】对于A，由平面与平面的距离可得线面距离，根据正方体的特征即可判定;对于B，利用平行线将异面直线夹角转化为平面中两线夹角，解三角形即可；对于C，利用体积转化计算两点到面的距离之比即可；对于D，利用得出截面图形，根据几何性质计算即可得其面积． 【详解】对于A，平面平面，平面， 直线到平面的距离即平面与平面的距离， 由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确； 对于B，如图，取的中点，取的中点，连接，易证， 或其补角是直线与直线的夹角， ，故B正确； 对于C，记点与点到平面的距离分别为， ，即点与点到平面的距离之比为，故C正确； 对于D，连接，易证，即四点共面， 平面截正方体所得截面为梯形， 如图作，垂足为， ， ，故D错误． 故答案为：ABC． 2．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 3．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 4．（25-26高二上·山东·月考）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    【答案】 【分析】根据面面平行的性质定理及线面平行的判定定理，可证平面，即点B到平面的距离即为直线到平面的距离，求得各个长度，根据等体积法，即可求得答案. 【详解】因为正方体， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 连接，取中点F，连接EF，如图所示，    则，， ， 所以， 所以， ， 设B到平面的距离为h， 因为， 所以， 即，解得， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 考点06平面到平面的距离 1．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 2．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 【答案】 【分析】根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离. 【详解】如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 是等边三角形，是等腰直角三角形，， ，， 又，，平面， 所以平面， ∵，， 又， ，平面，∴平面， 所以四点共面，平面， 又平面，平面， 平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面， 又平面，平面，， 又平面平面，且平面平面，平面平面， ， 则作出平面如图所示， 设，则，， 又，，， ，，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离，. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 空间中的角与距离问题 考点01异面直线所成角 考点04点到平面的距离 考点02线面角 考点05线到平面的距离 考点03二面角 考点06平面到平面的距离 考点01异面直线所成角 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 7．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 考点02线面角 1．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏南通·期末）某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为_________. 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 考点03二面角 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期末）如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）. A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 考点04点到平面的距离 1．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. (1)求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 4．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． (1)证明：平面； (2)求点C到平面MBD的距离； (3)证明：平面平面． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正切值. 考点05线到平面的距离 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 2．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 3．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 4．（25-26高二上·山东·月考）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为___________．    5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 考点06平面到平面的距离 1．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 2．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $