专题04 分式与分式方程单元过关【基础版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 分式与分式方程单元过关（基础版） 考试范围：第5章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．游客共有个人，若每个人住1个房间，结果有1个人无房住，则客房的间数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式、分式的判断 【分析】本题考查列代数式，分式的定义，解题的关键是读懂题意，本题需注意住进房间的人数为．用分到房间的人数除以每个房间的人数即可． 【详解】解：由题意知个人分到了房间，每个人分配1间， 因此宿舍的间数为， 故选：A． 2．下列各式从左到右的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、约分、提公因式法分解因式 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及因式分解、约分等知识，将各个选项分子分母分解因式，约分后比较结果与是否相等即可确定答案，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 4．如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 6．下列式子从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 7．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，可得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 8．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．《数学故事》的单价一定，订购的总价和订购的数量 B．书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间 C．折扣一定，商品的原价和折后价 D．长方形的周长一定，它的长和宽 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查反比例，两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此进行判断即可． 【详解】解：A、《数学故事》的单价一定，订购的总价和订购的数量的商一定，不是反比例关系，不符合题意； B、书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间的乘积一定，是反比例关系，符合题意； C、折扣一定，商品的原价和折后价的商一定，不是反比例关系，不符合题意； D、长方形的周长一定，它的长和宽的和一定，不是反比例关系，不符合题意； 故选：B． 9．寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 10．下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要考查了最简分式，分式的基本性质．根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、不能约分，是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：C． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若分式式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案，正确把握分式的定义是解题关键． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．分式与的最简公分母是 ，分式方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程、最简公分母 【分析】本题主要查了解分式方程．根据最简公分母的定义可确定分式与的最简公分母；把原分式方程化为整式方程，再检验，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为：； 13．若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 14．若，则 ． 【答案】/0.625 【知识点】约分、分式的求值 【分析】设法进行计算即可，解题的关键是掌握“分式的基本性质：分式的分子和分母都乘或除以相同的数或式（除外），分式的值不变”． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 15．已知，那么 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，由得，代入计算即可． 【详解】解：由，得， ∴原式 ， 故答案为：． 16．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 【答案】9 【知识点】已知概率求数量、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 评卷人 得分 三、解答题 17．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 18．若关于x的方程只有一个实数解，求k的取值范围． 【答案】k的取值范围为或-1或4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程 【分析】先把分式方程去分母化为，由分式方程只有一个实数根可以分为两种情况：当只有一个实数解时，当方程有两个根，其中一个根为增根时，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴即， ∵方程只有一个实数解， 当只有一个实数解， ∴， ∴， ∵分式方程要有意义， ∴即且， 当方程有两个根，其中一个根为增根时， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴综上所述，k的取值范围为或-1或4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式和分式方程有增根的条件． 19．已知：，求的值． 【答案】1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的值，将已知分式方程整理成是解题的关键．先将已知分式方程整理成，再代入所求分式即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入，可得， 原式． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式乘除运算的法则是解答此题的关键．先把除法变为乘法，然后算分式乘法化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 21．下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小涵同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择喜欢的数代入求值． 【答案】(1)二； (2)，当时，原式． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】（）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出的值，最后将的值代入进行计算即可； 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ， ∵且， ∴且， ∴当时，原式． 22．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 【答案】(1)② (2)①；② (3)当整数为或或或或或时，分式的值为整数 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查分式的加减运算，求代数式，分式为整数， （1）根据“和整分式”的定义进行判断即可； （2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据，得到，然后代入计算即可； （3）根据“和整分式”的定义可得出为整数，即可求解； 掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵ ， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； ②∵， 则该分式与假分式的和是整式， ∴该分式与假分式互为“和整分式”； ③∵， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； 故答案为：②； （2）①∵， 又∵存在一个真分式与互为“和整分式”， ∴； ②∵， ∴， 当时，； （3）∵与均与真分式互为“和整分式”， 设，， ∴，都是整式，且， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴能被整除，且即， ∴或或， 解得：或或或或或， ∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数． 23．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 24．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元 (2)购买篮球20个，购买排球25个 【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）根据“每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个”列分式方程求解即可； （2）设购买个篮球，则购买个排球，把篮球和排球的总价相加即可得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得， 解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是60元，排球的单价是40元． （2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得 ， 解得， ， 答：购买篮球20个，购买排球25个． 25．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价4000元 (2)一共有5种进货方案 (3)的值为200 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可； （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案； （3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可． 【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元． 依题意，得：， 解得． 检验可知是方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元． （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台． 依题意，得：， 解得：． ∵为正整数， ∴，9，10，11，12 ∴共有5种进货方案． 答：一共有5种进货方案； （3）设甲种电脑台，总获利为元．则： ． ∵要使（2）中所有方案获利相同， ∴的结果与无关， ∴， ∴． ∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利 答：的值为200． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式与分式方程单元过关（基础版） 考试范围：第5章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．游客共有个人，若每个人住1个房间，结果有1个人无房住，则客房的间数为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 5．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 6．下列式子从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．《数学故事》的单价一定，订购的总价和订购的数量 B．书的总页数一定，每天读的页数和需要的时间 C．折扣一定，商品的原价和折后价 D．长方形的周长一定，它的长和宽 9．寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若分式式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．分式与的最简公分母是 ，分式方程的解是 ． 13．若（其中，为常数），则 ， ． 14．若，则 ． 15．已知，那么 ． 16．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 评卷人 得分 三、解答题 17．化简 (1) (2) 18．若关于x的方程只有一个实数解，求k的取值范围． 19．已知：，求的值． 20．先化简，再求值：，其中． 21．下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小涵同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择喜欢的数代入求值． 22．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 23．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 24．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 25．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$