第五章分式与分式方程 单元复习训练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第五章　分式与分式方程 考点1　分式的定义与性质 1.（2024秋·福田区校级月考）在下列式子中是分式的是（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. 2.（2024春·南山区期中）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　） A.＝　　 B.＝　　 C.＝　　 D.＝－ 3.（2024春·宝安区期中）若分式有意义，则x的取值范围是　　　　. 4.（2024春·光明区期末）若分式的值为0，则x的值为　　　　. 考点2　分式的运算 1.（2024春·深圳校级期中）若a－3b＝0，则－的值为（　　） A.　　 B.－　　 C.　　 D.－ 2.计算：·＝　　　　. 3.（2024春·宝安区期中）如果a2＋2a－1＝0，那么代数式（a－）·的值是　　　　. 4.（2024·深圳模拟）先化简，再求值：（－1）÷，其中a＝1. 考点3　分式方程 1.（2024·龙岗区校级开学）若分式与互为相反数，则x的值为（　　） A.1　　 B.－1　　 C.－2　　 D.－3 2.（2024春·福田区期末）关于x的方程＝2有增根，则k的值为（　　） A.－1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 3.（2024·龙华区二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x，则可列方程为（　　） A.＝　　 B.＝　　 C.＝　　 D.＝ 4. 解分式方程： （1）＝；　　　　　　　　　　　　　　（2）＝； （3）＝＋；　　 （4）－1＝. 5.（2024春·深圳期中）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x＋200 3000 乙 x 2000 信息二： 甲工程队施工1500 m2所需天数与乙工程队施工900 m2所需天数相等. （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于7000 m2.求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用. 【课后作业】 一、选择题 1.（2024春·深圳期中）将分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值（　　） A.扩大2倍　　 B.缩小到原来的　　 C.保持不变　　 D.无法确定 2.（2024·南山区校级开学）下列分式是最简分式的是（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. 3.（2024春·龙岗区校级月考）已知a－＝2，则a2＋的值为（　　） A.2　　 B.4　　 C.6　　 D.8 4.如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程－＝1有非负数解，那么符合条件的所有整数m的和是（　　） A.13　　 B.15　　 C.20　　 D.22 二、填空题 5.（2024春·坪山区期末）若关于x的分式方程＝2，则该方程的解x的值为　　　　. 6.（2024·福田区校级模拟）若＝，则分式＝　　　　. 7.（2024春·深圳校级期中）若关于x的分式方程－＝3的解为正数，则m的取值范围是　　　　　　　. 三、解答题 8.（2024春·深圳期中）先化简（－x＋1）÷，然后从－1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值. 9.解分式方程： （1）＋3＝；　　　　　　　　　　　（2）＝. 10.（2024·罗湖区模拟）2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动.已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元.用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同. （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元； （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变.学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗. 11.（2024春·深圳期中）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，－这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：＝＝2.类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式. 例如：＝＝x－；＝＝＝＋＝x－2＋. 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是　　　　分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ＝　　　　＋　　　　. （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数. （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同.若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n. 第五章　分式与分式方程 考点1　分式的定义与性质 1.D　2.C　3.x≠－5　4.3 考点2　分式的运算 1.D　2.　3.1 4.解：原式＝（－）· ＝· ＝， 当a＝1时，原式＝＝－1. 考点3　分式方程 1.C　2.B　3.A 4.解：（1）方程两边同乘（x＋1）（x－2），得x－2＝4（x＋1）， 解得x＝－2， 检验：当x＝－2时，（x＋1）（x－2）≠0， 所以原分式方程的解是x＝－2. （2）方程两边同乘（x＋1）（x－1）得， x＋1＝1，解得x＝0， 检验：当x＝0时， （x＋1）（x－1）≠0，所以原分式方程的解是x＝0. （3）方程两边同乘2（x＋3），得 2（2－x）＝（x＋3）＋2， 即4－2x＝x＋5，移项得3x＝－1，解得x＝－. 检验：当x＝－时， 2（x＋3）≠0，所以原分式方程的解为x＝－. （4）方程两边同乘 （x＋2）（x－2）， 得（x－2）2－（x＋2）（x－2）＝16， 解得x＝－2， 检验：当 x＝－2 时，（x＋2）（x－2）＝0， 所以原分式方程无解. 5.解：（1）根据题意，得＝，解得x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意. 答：x的值为300. （2）设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工（20－m）天， 根据题意，得（300＋200）m＋300（20－m）≥7000， 解得m≥5. 设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3000m＋2000（20－m）， 即w＝1000m＋40000， ∵1000＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝5时，w取得最小值，最小值＝1000×5＋40000＝45000. 答：该段时间内体育中心至少需要支付45000元施工费用. 【课后作业】 1.C　2.C　3.C 4.B　解析：原不等式组的解集为－＜x≤，因为不等式组有且仅有四个整数解，所以0≤＜1，解得2≤m＜7.原分式方程的解为y＝， 因为分式方程有非负数解，所以≥0，解得m＞1，且m≠5.因为m＝5时y＝2是原分式方程的增根.所以符合条件的所有整数m的和是2＋3＋4＋6＝15. 故选B. 5.1　6.4　7.m＞－5且m≠－1 8.解：原式＝（－）÷ ＝· ＝· ＝· ＝－， ∵x＋1≠0，x－2≠0， ∴x≠－1，x≠2， ∴当x＝0时，原式＝－＝1； 或当x＝1时，原式＝－＝3. 9.解：（1）＋3＝， 方程两边都乘x－2，得x＋3（x－2）＝－（x－4）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x－2＝0， 所以x＝2是增根，即原分式方程无解. （2）去分母，得2（x－1）＝x＋3， 去括号，得2x－2＝x＋3， 移项、合并同类项，得x＝5， 经检验，x＝5是原分式方程的解，∴x＝5. 10.解：（1）设乙种树苗每棵的价格是x元，则甲种树苗每棵的价格是（x＋10）元，由题意可得＝，解得x＝30. 经检验，x＝30是原方程的根，∴x＋10＝40. 答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元. （2）设可购买a棵甲种树苗， 由题意可得0.9a×40＋30×（100－a）≤3200， 解得a≤33. ∵a为正整数，∴a的最大值为33. 答：最多可购买33棵甲种树苗. 11.解：（1）①∵分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为真. ②＝ ＝x＋， 故答案为x，. （2）＝ ＝ ＝x＋5＋， ∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被x－3整除， ∴x＝1或2或4或5. （3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为2a，n的十位数字为a，个位数字为b， ∴m＝100a＋10b＋2a，n＝10a＋b， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝100（10a＋b）＋40a＋， 由题意可得，0＜a＜5，0≤b≤9，且a，b均为整数， ∵这个三位数的平方能被这个两位数整除， ∴100（10a＋b）＋40a＋为整数，即为整数. 当a＝1时，＝，没有满足题意的b值， 当a＝2时，＝，没有满足题意的b值， 当a＝3时，＝，b＝6， 当a＝4时，＝，没有满足题意的b值. 综上，满足条件的两位数n为36. 学科网（北京）股份有限公司 $$