专题05 一次函数的应用【知识串讲+七大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题05 一次函数的应用 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数的应用 （1）解题步骤： ①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量的取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； ⑥作答. （2）“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。 【命题角度】 ①求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值； ②利用一次函数进行方案选择； ③利用一次函数解决个税收取问题； ④利用一次函数解决水、电、煤气等资源分段收费问题。 （3）最值问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值. 模块三 考点一遍过 考点1：行程问题 典例1：已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)甲车行驶______小时，两车相距120千米． 【答案】(1)60，6 (2) (3)或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息等知识，读懂函数图象，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据函数图象可得甲车用2小时行驶了120千米，由此即可得甲车的速度；再根据函数图象可得两地之间的距离为360千米，用总路程除以甲车的速度即可得的值； （2）先根据两车相遇时，它们所行驶的总路程为两地之间的距离建立方程求出点的坐标为；再分和，利用待定系数法求解即可得； （3）结合函数图象可得当时，两车之间的距离不可能为120千米，再根据（2）的结果，令代入求解即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲车的速度为（千米/小时）， 由函数图象可知，两地之间的距离为360千米， ∴（小时）， 故答案为：60，6． （2）解：当甲、乙两车相遇时，， 解得， ∴点的坐标为， 当时，设， 将点，代入得：，解得， ∴此时； 当时，设， 将点，代入得：，解得， ∴此时； 综上，乙车出发后，与之间的函数关系式为． （3）解：由函数图象可知，当时，两车之间的距离不可能为120千米， 当时，令得：，解得， 当时，令得：，解得， 所以甲车行驶小时或小时，两车相距120千米． 【变式1】已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)甲车提速后的速度是 ，乙车的速度是 ，点C的坐标是 ； (2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？ 【答案】(1)，， (2)与的函数关系式 (3)甲车到达市时乙车已返回市小时． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，理解图示，掌握一次函数与行程问题的运用是解题的关键． （1）根据函数图象可得甲车的原速度为千米/小时，则提速后的速度为千米/小时；根据题意可得乙车所来回行使的路程为千米，除维修时间外，行驶时间为小时，根据路程时间速度得出乙车的速度，由此可得，乙车从点返回的时间为小时，则点的横坐标为； （2）根据点的坐标以及与轴的交点求出函数解析式； （3）分别求出甲车和乙车在修好后行使的时间，然后进行计算． 【详解】（1）解：根据图示，甲车行驶小时到达地的速度为：（千米/小时）， ∴甲车提速后的速度是千米/小时， 根据图示，分钟小时，乙车去的时间，回来的时间和为：（小时），乙行驶的路程为：（千米）， ∴乙车的速度是千米/小时， ∴乙从点返回的时间为：（小时）， ∴点对应的横坐标为：， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． （2）解：由题意，点的坐标为，且过， ∴ 设乙车返回时，与的关系式为：， ∴， ∴解得：， ∴乙车返回时，与的关系式为： ． （3）解：由题意，修好车后，小时， 小时， ∴小时， 答：甲车到达市时，乙车已返回市小时． 【变式2】小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 【答案】(1)，； (2) (3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． (4)或． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可； （2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可； （4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是； 设的函数表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， ∴的函数表达式为； （2）解：由图象知，， 设的函数表达式为， 则， 解得， ∴的函数表达式为． （3）解：联立方程组， 解得， ∴点K的坐标为； ∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． （4）解：当时，小华离家， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当不符合题意，舍去， ∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或 ． 【变式3】小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为_____米/分，步行的速度 _____米/分；点D的坐标为_____． (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)两人出发多长时间相距米？ 【答案】(1)200，100； (2)； (3)经过7分钟或分钟后，两人相距米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想． （1）从图象中得出小明跑步的速度，步行的速度；从图象中得出家与图书馆之间的路程为，即可得出点D的坐标； （2）利用待定系数法可求解； （3）分两种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 小明跑步的速度为：（米/分），            步行的速度为：（米/分）， 点D的横坐标为：，   ∴点D的坐标为，    故答案为：； （2）设爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即爸爸离家的路程y关于x的函数表达式是； （3）设经过x分钟后，两人相距米， 相遇前，， 解得：，                             相遇后，， 解得：， 答：经过7分钟或分钟后，两人相距米． 考点2：工程问题 典例2：河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式． (3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天 (2) (3)甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键． （1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同，列出方程即可求解； （2）设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，根据题意得到p与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式； （3）根据施工期定为天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的根 答：甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天； （2）解：设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，则       ； （3）解：由题意得 解得                                                    且， ∴ y随 x 的增大而减小， ∴当时，y 最小，最小值为172.5， 则（天）， 答：甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元． 【变式1】国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车，每辆车的价格及预计每辆车在某线路上的年载客量如表： A型 B型 价格（万元/辆） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元． (1)求x、y的值； (2)如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1) (2)四种，具体方案见解析 (3)购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用， （1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车辆，根据题意列一元一次不等式组求得，即可求解； （3）设购车总费用为w万元，根据总费用的数量关系得出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车辆， 由题意，得， 解得， ∵m为整数， ∴有四种购车方案： 方案一：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆； 方案二：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； 方案三：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆； 方案四：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆 ． （3）解：设购车总费用为w万元， 则， ∵且m为整数， ∴当，6，7，8时，w分别1250，1200，1150，1100. ∴时，， ∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元． 【变式2】为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)300 (2)该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 的值是； （2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间内体育中心需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用． 【变式3】甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【答案】(1)30；3 (2) (3)10 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可； （2）设乙工程队停工后关于的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量的取值范围； （3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做， 甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天， ∴甲每天铺设（米）； 故答案为：30；3； （2）解：设乙工程队停工后关于的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ； （3）解：甲工程队每天铺设沥青（米）， 甲乙合作每天铺设沥青（米）， 乙工程队每天铺设沥青（米），乙工程队铺设沥青的总长度为（米）， 设乙工程队已停工的天数为， 则， 解得：， 答：乙工程队已停工的天数为10天． 考点3：分配方案问题 典例3：“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【答案】(1)；；； (2) (3)从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元 【知识点】整式加减的应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据已知量列出整式，即可求解； （2）总运费运往甲仓库的运费运往乙仓库的运费，据此列出一次函数，即可求解； （3）由，且，根据一次函数的增减性，求出运费最省时的方案，即可求解； 理解实际意义，能根据一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 甲仓库运往果园：（）， 乙仓库运往果园： （）， 甲仓库运往果园所需运费：（元）， 乙仓库运往果园所需运费：（元）； 故答案：；；；； （2）解：， 即（）； （3）解：在一次函数中， ，且， ∴当时， y最小， （）， （）， 答：从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 【变式1】根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务一：13，7；任务二：；任务三：订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： 任务一：设20人中有x人选择A套餐，则有人选择B套餐，根据总费用为565元列一元一次方程，解方程即可； 任务二：先判断选择套餐人数是否满足优惠方案二的条件，再根据优惠方式列函数关系式即可； 任务三：先计算出以及时，与之间的函数关系式，计算出所需的低费用，再计算出按照优惠方案三所需的最低费用，最后比较大小即可． 【详解】解：任务一： 设20人中有x人选择套餐， 由题意知，， 解得， ， 即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐， 故答案为：13，7； 任务二：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ∴当套餐人数不少于20人时，， ∴， 则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， ∴订餐总费用为：； 任务三：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时总费用最小为（元）， ②当时，， ∴订餐总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小为750元， ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， ∵总费用满850元立减90元，且， ∴当时，订餐费用最小为（元）， 综上所述，当订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元． 【变式2】根据表中素材，探索完成以下任务： 建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴” 问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨． 素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨． 素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨． 问 题 解 决 问题1： 分析 素材 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 B村 ①________ ②_________ 问题2： 问题2：设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式及x的取值范围． 问题3： 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（最少费用用含a的代数式表示） 【答案】问题1：； 问题2：， 问题3：当时， 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，找出等量关系并列出函数的解析式是解题的关键． 问题1：甲仓库往B村运送水泥量为总量减去运往A村的水泥量，乙仓库往B村运送水泥费用等于运往B村的单价乘以水泥量； 问题2：把四个方向的运费加起来就是总运费，据此列函数解析式； 问题3：设新的总运费为，建立关于的函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：问题1：从甲仓库往B村运送水泥量为：()吨， 从乙仓库往B村运送水泥费用为：吨， 故答案为：，； 问题2： 化简，得 ， 取值范围： 问题3：由题意得，设新的总运费为， 则，， ， ， 随着的增大而减小， 当时，总运费最少，． 【变式3】为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 考点4：几何图形问题 典例4：如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示． (1)求长方形的长和宽； (2)求m、a、b的值； (3)当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，BPQ的面积为y，求y与x之间的关系式． 【答案】(1)长方形的长为8，宽为4 (2)m=1，a=4，b=11 (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】（1）由图象可知，CD的长度，当t=6时，，求出BC的长； （2）当时，，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当时，，从而求得b的值； （3）分，，三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变， 即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位， ∴CD=2（8-6）=4， ∴AB=CD=4， 当t=6时（点P运动到点C），， ∴， ∴， ∴BC=8， ∴长方形的长为8，宽为4； （2）解：当时，， 即点P此时在BC的中点处， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ； 当时， ； 当时，， ∴． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了学生观察图象的能力，用待定系数法求一次函数的解析式． 【变式1】小华同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为，重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形填表： 链条节数/节 2 3 4 链条长度/ (2)如果x节链条的总长度是，求y与x之间的关系式． 【答案】(1) ，， 7.6 (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了变量之间的函数关系，找出规律是解题的关键． （1）由图形可得算式，计算并填表即可． （2）总结（1）中的链条长度规律，可得答案． 【详解】（1）解∶由图形可得： 2节链条的长度为：； 3节链条的长度为：； 4节链条的长度为：． 故答案为：4.2；5.9；7.6； （2）解∶ 由（1）可得x节链条的总长度为： ， 所以y与x之间的关系式为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2， (2)直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先求出，，由全等三角形的性质可得，； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点坐标． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点，把代入得：， 点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ，， ，， 设直线对应的函数表达式为：， 把，代入得： ， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：4，2，； （2）直线上存在点，使是以为直角顶点的等腰三角形．理由如下： 为直线上的点， ， ， ①当点在点下方时，如图2，连接，过点作，交的延长线于点， ， 轴，，点的纵坐标为2，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 点的纵坐标为3， 把代入中得：， 点； ②当点在点上方时，如图3，过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点． 则， 点的横坐标为1， 则， 是以为直角顶点的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为1， 点的纵坐标为1， 把代入中得：， ； 综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式3】如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 考点5：销售问题 典例5：一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【答案】(1)， (2)定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每天所获利润为甲种与乙种零件所获利润之和列出函数关系式，再根据题意列不等式组确定x的取值范围即可； （2）先求出价格调整后，y与x的函数关系式，然后分、、三种情况，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元， ∴，解得：． ∴y与x的函数关系式，x的取值范围为． （2）解：； ①当时，随的增大而减小， ， 时，利润最小， ，得，（不符合题意，舍去）． ②当时，利润为39600元，不符合题意， ③当时，随的增大而增大， ， 时，利润最小， ，得． 综上所述，定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元． 【变式1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． (1)用列二元一次方程组的方法求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再购进普通练习本和精装练习本共500本，其中普通练习本的数量不低于375本，已知普通练习本进价为2元/个，精装练习本进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元． (2)①，②当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和函数关系式． （1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程，解方程即可； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可； ②先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元． （2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得： ； 普通练习本的数量不低于375个， ， 中， 随的增大而减小， 当时，取最大值， （个）， （元）， 答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 【变式2】高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【答案】(1) (2)；当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元 (3)1050 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． （1）表示出C型车的数量，从而可求y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可； （3）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可． 【详解】（1）解：由题意得：C型车有：辆， 则， 整理得：． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∵， ∴Q随x的增大而增大， ∴当时，Q的最大值为：（元）， B型车有：辆，C型车有：（辆）， 答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元； （3）解：， ①当时，无解，故； ②当时，即，则时取到最大值17400元， ∴， 解得：，不符合题意； ③当时，即，则时取到最大值17400元， ∴ 解得：，符合题意． 综上可知，a的值为1050． 【变式3】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； (2)①；②商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； (3)商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用等知识，掌握相关知识 是解题的关键． （1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列了方程组，求解即可； （2）①根据购买数量及价格之间的关系，即可得到函数解析式； ②根据题意，得到，解得的值，根据函数的增减性，即可求解； （3）根据题意，可得到与的解析式，再根据的取值范围，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意得 ， 解得： ， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）解：①据题意得，，即， ②据题意得，， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值， ∴， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）解：据题意得，， ∴，， ①当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大利润， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②时，，， 即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大利润， 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大， 综上所述，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 考点6：方案选择问题 典例6：【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【答案】任务一：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场购买总费用乙商场购买总费用 任务三：见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）甲商场总花费根据单价乘以数量乘以折扣即可得出答案，乙商场总花费分和两种情况，分别求解即可． （3）当甲，乙两商场总花费相等时，即可得出关于a的一元一次方程求解得出a的值，再结合函数图像即可得出哪个商场购买足球更合算． 【详解】解：任务一：设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元． 依题意得， 解得， 答：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场总花费：，即 乙商场总花费：当时， ，即； 当时，，即 综上，甲商场购买总费用， 乙商场购买总费用； 任务三：当甲，乙两商场总花费相等时， 可列方程，， 解得∶， 结合函数图像可得： 当时，，即购买A品牌足球数量少于44个时，选择甲商场购买更合算． 当时，，即购买A品牌足球数量等于44个时，选择甲，乙商场购买都可以． 当时，，即购买A品牌足球数量大于44个时，选择乙商场购买更合算． 【变式1】某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 【变式2】某公司计划购进一批纪念品以奖励给抗疫第一线的员工．已知购进20个A种纪念品和30个B种纪念品共需5600元；购进35个A种纪念品和15个B种纪念品共需5300元．该公司决定购买个A种纪念品和20个B种纪念品． (1)A，B两种纪念品的单价是多少元？ (2)实际购买时，商店老板给出了如下优惠方案： 方案一：都按原价打九折付款； 方案二：如果购买A种纪念品不超过50个，则A种纪念品原价销售，如果购买的A种纪念品超过50个，则超出的部分打八折销售，B种纪念品按原价销售． ①分别求出两种方案的费用，关于的函数表达式； ②请你帮助该公司决定选择哪种方案更合算． 【答案】(1)A种纪念品的单价为100元，B种纪念品的单价为120元 (2)①，；②当时，选择方案一更合算；当时，选择方案一和方案二一样；当时，选择方案二更合算． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一次函数解决实际问题． （1）设A种纪念品的单价为x元，B种纪念品的单价为y元，根据“购进20个A种纪念品和30个B种纪念品共需5600元；购进35个A种纪念品和15个B种纪念品共需5300元”即可列出方程，求解即可； （2）①根据所给方案，分别列出，关于的等量关系即可； ②当时，，当时，分别讨论当，，时m的取值，综合即可解答． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为x元，B种纪念品的单价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：A种纪念品的单价为100元，B种纪念品的单价为120元； （2）解：①根据题意，得，即． 当时，， 当时，， ∴； ②根据题意，当时，， 当时，若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，当时，选择方案一更合算； 当时，选择方案一和方案二一样； 当时，选择方案二更合算． 【变式3】某公司准备组织20辆汽车将三种水果共100吨运往外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨水果获利（元） 1400 1500 1200 (1)设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种水果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时的最大利润． 【答案】(1)且为整数） (2)安排方案共有5种． 方案一：装运种水果4车，种水果12车，种水果4车； 方案二：装运种水果5车，种水果10车，种水果5车； 方案三：装运种水果6车，种水果8车，种水果6车； 方案四：装运种水果7车，种水果6车，种水果7车； 方案五：装运种水果8车，种水果4车，种水果8车 (3)当装运种水果4车，种水果12车，种水果4车时，获利最大，最大利润为14.28万元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键． （1）设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，车辆数之和，从而得到，恒等变形即可得到答案； （2）由（1）知，装运、、三种水果的车辆数分别为，，，从而得到，解不等式后，根据为整数，分类讨论即可得到答案； 关系式为：装运每种水果的车辆数； （3）总利润为装运种水果车辆数装运种水果的车辆数装运种水果的车辆数，得到，然后按的取值，结合一次函数性质来判定即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为， 那么装运种水果的车辆数为，则有， 整理得且为整数）； （2）解：由（1）知，装运、、三种水果的车辆数分别为，，， 由题意得， 解得， 为整数， 的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种： 方案一：装运种水果4车，种水果12车，种水果4车； 方案二：装运种水果5车，种水果10车，种水果5车； 方案三：装运种水果6车，种水果8车，种水果6车； 方案四：装运种水果7车，种水果6车，种水果7车； 方案五：装运种水果8车，种水果4车，种水果8车； （3）解：， 设利润为（百元）则得到， ， 的值随的增大而减小， 要使利润最大，则，故选方案一获利最大，最大值为：（百元）（万元）， 答：当装运种水果4车，种水果12车，种水果4车时，获利最大，最大利润为14.28万元． 考点7：其他问题 典例7：某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键． （1）设线段的解析式为：，将代入即可求解；设线段的解析式为：，由题意求出，将点代入即可求解； （2）设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，由图可知：，据此即可求解； （3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间，即可求解； 【详解】（1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 【变式1】为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． (1)若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； (2)直接写出，关于x的函数解析式； (3)求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 【答案】(1)680，800 (2)； (3)点A的坐标是，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查函数的应用： （1）根据两家商店的优惠方案，即可求解； （2）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店的实际费用与x的函数关系式； （3）根据（1）的结论列方程组，可求出点A的坐标，再由点A的意义并结合图象解答即可． 【详解】（1）解：甲商店需要元， 乙商店需要元； 故答案为：680；800 （2）解：根据题意得：； 当时，， 当时，， ∴； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为； 观察图象得：当时，； 当时，； 当时，； 终上所述，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算． 【变式2】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示 进货批次 甲种水果质量单位：千克 乙种水果质量单位：千克 总费用单位：元 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，第三次购进甲、乙两种水果共200千克，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动． ①已知投入的资金不超过3360元试求购进的甲种水果至少为多少千克？ ②将其中的 m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元； (2)①80千克；②22 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元，构建方程组求解； （2）①设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，由题意，得，解这个不等式即可求解．②设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元， 由题意，得， 解得， 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． （2）解：①设第三次购进千克甲种水果 ，则购进千克乙种水果． 由题意，得， 解得， 答：求购进的甲种水果至少为80千克． ②设获得的利润为元， 由题意，得 ， ， 随的增大而减小， 当时，的值最大，最大值为， 由题意，得， 解得， 的最大整数值为22． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解本题的关键． 【变式3】近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务． 为家人选择更优惠的快递公司活动报告 一、收集信息 经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位）中两者较大值作为物品重量计费． 甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重4元． 二、建立模型 发现所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为： 在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．    三、解决问题 我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下： …… 任务： (1)请将函数图像补充完整（在图中画出的函数图象），直接写出点的坐标，并根据图象推断哪个快递公司更优惠． (2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决． (3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】对于（1），根据题意补全统计图，再结合图像分析即可； 对于（2），可以结合一元一次方程和不等式解决，再解答； 对于（3），根据实际解答即可． 【详解】（1）补全函数图象如图所示：      点的坐标为． 从节省费用的角度考虑，当所寄物品重量小于时，选择甲代办点更合适；当所寄物品重量大于时，选择乙代办点更合适；当所寄物品重量为时，两个代办点的收费一样； （2）此问题还可以借助一元一次不等式、一元一次方程的知识来解决； 当时，，所以当所寄物品重量大于时，选择乙代办点更合适； 当时，，当所寄物品重量小于时，选择甲代办点更合适； 当时，，当所寄物品重量等于时，选择甲，乙代办点都可以. （3）答案不唯一，如选用哪款旅游套餐更划算，选用哪款共享单车更划算等，合理即可． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意并正确解题是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数的应用 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数的应用 （1）解题步骤： ①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量的取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； ⑥作答. （2）“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。 【命题角度】 ①求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值； ②利用一次函数进行方案选择； ③利用一次函数解决个税收取问题； ④利用一次函数解决水、电、煤气等资源分段收费问题。 （3）最值问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值. 模块三 考点一遍过 考点1：行程问题 典例1：已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)甲车行驶______小时，两车相距120千米． 【变式1】已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)甲车提速后的速度是 ，乙车的速度是 ，点C的坐标是 ； (2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？ 【变式2】小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 【变式3】小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为_____米/分，步行的速度 _____米/分；点D的坐标为_____． (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)两人出发多长时间相距米？ 考点2：工程问题 典例2：河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式． (3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？ 【变式1】国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车，每辆车的价格及预计每辆车在某线路上的年载客量如表： A型 B型 价格（万元/辆） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元． (1)求x、y的值； (2)如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式2】为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【变式3】甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 考点3：分配方案问题 典例3：“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【变式1】根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【变式2】根据表中素材，探索完成以下任务： 建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴” 问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨． 素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨． 素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨． 问 题 解 决 问题1： 分析 素材 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 B村 ①________ ②_________ 问题2： 问题2：设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式及x的取值范围． 问题3： 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（最少费用用含a的代数式表示） 【变式3】为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 考点4：几何图形问题 典例4：如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示． (1)求长方形的长和宽； (2)求m、a、b的值； (3)当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，BPQ的面积为y，求y与x之间的关系式． 【变式1】小华同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为，重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形填表： 链条节数/节 2 3 4 链条长度/ (2)如果x节链条的总长度是，求y与x之间的关系式． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 考点5：销售问题 典例5：一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【变式1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． (1)用列二元一次方程组的方法求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再购进普通练习本和精装练习本共500本，其中普通练习本的数量不低于375本，已知普通练习本进价为2元/个，精装练习本进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【变式2】高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【变式3】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 考点6：方案选择问题 典例6：【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【变式1】某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【变式2】某公司计划购进一批纪念品以奖励给抗疫第一线的员工．已知购进20个A种纪念品和30个B种纪念品共需5600元；购进35个A种纪念品和15个B种纪念品共需5300元．该公司决定购买个A种纪念品和20个B种纪念品． (1)A，B两种纪念品的单价是多少元？ (2)实际购买时，商店老板给出了如下优惠方案： 方案一：都按原价打九折付款； 方案二：如果购买A种纪念品不超过50个，则A种纪念品原价销售，如果购买的A种纪念品超过50个，则超出的部分打八折销售，B种纪念品按原价销售． ①分别求出两种方案的费用，关于的函数表达式； ②请你帮助该公司决定选择哪种方案更合算． 【变式3】某公司准备组织20辆汽车将三种水果共100吨运往外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨水果获利（元） 1400 1500 1200 (1)设装运种水果的车辆数为，装运种水果的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种水果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时的最大利润． 考点7：其他问题 典例7：某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【变式1】为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． (1)若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； (2)直接写出，关于x的函数解析式； (3)求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 【变式2】某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示 进货批次 甲种水果质量单位：千克 乙种水果质量单位：千克 总费用单位：元 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，第三次购进甲、乙两种水果共200千克，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动． ①已知投入的资金不超过3360元试求购进的甲种水果至少为多少千克？ ②将其中的 m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【变式3】近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务． 为家人选择更优惠的快递公司活动报告 一、收集信息 经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位）中两者较大值作为物品重量计费． 甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重4元． 二、建立模型 发现所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为： 在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．    三、解决问题 我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下： …… 任务： (1)请将函数图像补充完整（在图中画出的函数图象），直接写出点的坐标，并根据图象推断哪个快递公司更优惠． (2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决． (3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$