精品解析：2025年广西崇左市中考二模数学试题

2025年广西初中学业水平考试模拟卷 数学 (考试时间∶120分钟 满分∶120分) 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)，在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑) 1. 若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零下 D. 零上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数，理解正负数是具有相反意义的量成为解题的关键． 根据正负数表示两种具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：气温为零上记作，则表示气温为零下。 故选：B． 2. “二十四节气”是我国古代农耕文明重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 大雪 B. 芒种 C. 谷雨 D. 立秋 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 2024年是中国探月工程20周年，嫦娥六号任务探测器搭乘长征五号运载火箭奔赴与地球相距约为380000公里的月球，首次执行月背采样任务．将380000，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，计算正确； C.，原式错误； D.，原式错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．在数轴上实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左．根据在数轴上表示不等式解集的方法即可解答． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，正确的是， 故选：B． 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法计算即可． 【详解】， ， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 7. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴，解得：． 故选：B． 8. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴被遮盖的两个数据之和为， ∴这组数据中，30出现的次数最多， ∴这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响， ∵将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，， ∴这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响， 故选：B． 9. 若点，点在反比例函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 先确定反比例函数的增减性，再利用比较它们的函数值的大小． 【详解】∵， ∴函数的图象在第一，三象限，并且在每个象限内，y 随x的增大而减小， ∵点 点 在反比例函数的图象上，且 ， ∴． 故选：B． 10. 量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点C是半圆弧的中点，点P为三角尺的直角顶点，两直角边分别过点A，B．连接．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据圆周角定理得出，确定，得出，结合题意即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得， ∵点C是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上， ∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，则． 故选：A． 12. 如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据作图过程和线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用四边形的内角和为得到，进而求解即可． 【详解】解：由作图过程可得，直线分别是线段、的垂直平分线，且直线与交于点P， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， 故选：D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图是一把剪刀，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对顶角的性质得出，进而利用一个角与它的邻补角的和为求解即可得出结果． 【详解】， （对顶角相等）． ， 故答案为： 【点睛】本题考查相交线（邻补角、对顶角）性质的理解．主要涉及互为对应角的两个角其大小一定相等；一个角与它的邻补角的和等于知识点．明确两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系是解本题的关键． 15. 七巧板起源于中国，又称七巧图、智慧板．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成七块板（图1），而这七块板可以拼成许多图形．实验小组将七块板拼成火箭的形状（图2），若图1的大正方形的边长为，则火箭的高度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正弦等知识．正确求解各图形的边长是解题的关键． 如图，连接，由题意知，，，，则图2中的竖直高度为，4的竖直高度为，3的竖直高度为，7的竖直高度为，然后求和可得火箭的高度． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，，， ∴图2中竖直高度为，4的竖直高度为，3的竖直高度为，7的竖直高度为， ∴火箭的高度为， 故答案为：． 16. 如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴MN=AC， ∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值， 当AC是直径时，最大， 如图， ∵∠ACB=∠D=45°，AB=8， ∴AD==， ∴MN=AD=，故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大． 三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先算乘方，然后再运用有理数四则混合运算法则计算即可； （2）直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. “读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率． 【答案】（1）80 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据A的人数及所占百分比求出总人数； （2）总人数减去A，B，C，E的人数，可求D人数，再补全统计图即可；乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好选到相同性别学生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即在这项调查中，共调查了80名学生． 故答案为：80； 【小问2详解】 解：D的人数（名）， 补全统计图如图所示： ， ， 即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：作树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种， ∴刚好选到相同性别学生的概率为． 19. 据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求车轮的半径长． 【答案】（1） （2）车轮的半径长米 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，由切线的性质可得，即，再根据圆周角定理即可解答； （2）由切线的性质可得，设车轮的半径为r，则，，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵地面与车轮相切于点D， ∴，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵地面与车轮相切于点D， ∴，即， 设车轮的半径为r，则，， ∵， ∴，解得：． ∴车轮的半径长米． 20. 广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为160元 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 21. 【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． （1）求的面积； （2）求乙船由B处到达C处航行路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握方向角的概念以及正确使用材料中的结论是解题的关键． （1）根据题意知：，，然后利用材料中锐角三角形的面积公式并代入数据计算即可； （2）先证明是等边三角形，分别求出，在中，由材料中结论②得并代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知：海里，海里， 由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． 【小问2详解】 解：如图： 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴海里， 又∵， ∴， 由题意知， ∴， 由题意可得：， ∴海里． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 【答案】任务1：；任务2：支撑柱的最小高度为米．任务3：横幅能按计划悬挂． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立坐标系、求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：先根据题意建立直角坐标系，然后运用待定系数法求解即可； 任务2：先求出支撑柱到的距离至少为8米，再令，求得y的值即可解答； 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，令，求得x的值，进而求得当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，据此即可即可． 【详解】解：任务1：根据题意建立直角坐标系如下：顶点坐标为：，点， 设该抛物线的解析式为：， 则，解得：， 所以该抛物线形彩虹桥的解析式为． 任务2：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∴支撑柱到的距离至少为8米， 令，则． 所以支撑柱的最小高度为米． 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米， 令，则，解得：， ∴当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米， ∵， ∴横幅能按计划悬挂． 23. 【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：在取点G，使得，连接．则，然后根据正方形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：在取的中点H，，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1），证明如下： 如图：在取点G，使得，连接．则， ∴ ∵在正方形中， ∴，， ∴，即， ∵交正方形外角的平分线于点F， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图：在取的中点H，， ∵点E在边的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），证明如下： 如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形， ∴，，即， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广西初中学业水平考试模拟卷 数学 (考试时间∶120分钟 满分∶120分) 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)，在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑) 1. 若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零下 B. 零下 C. 零下 D. 零上 2. “二十四节气”是我国古代农耕文明的重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 大雪 B. 芒种 C. 谷雨 D. 立秋 3. 2024年是中国探月工程20周年，嫦娥六号任务探测器搭乘长征五号运载火箭奔赴与地球相距约为380000公里月球，首次执行月背采样任务．将380000，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 8. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 9. 若点，点在反比例函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点C是半圆弧的中点，点P为三角尺的直角顶点，两直角边分别过点A，B．连接．已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 12. 如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13. 因式分解：______． 14. 如图是一把剪刀，若，则________． 15. 七巧板起源于中国，又称七巧图、智慧板．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它将正方形分割成七块板（图1），而这七块板可以拼成许多图形．实验小组将七块板拼成火箭的形状（图2），若图1的大正方形的边长为，则火箭的高度为___________． 16. 如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_________． 三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （1）计算：； （2）化简： 18. “读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率． 19. 据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求车轮的半径长． 20. 广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 21. 【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． （1）求面积； （2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 23. 【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$