上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期数学周末作业05

周末作业 No.05 第 6 题 第 11 题 高二第二学期数学周末作业 05 班级__________________ 姓名__________________ 1. 已知方程 2 2 1 4 6 x y m m     表示椭圆，求实数m的取值范围______________. 2. 焦点在坐标轴上，焦距为 2 6 ，短轴长为 4 的椭圆的标准方程为______________. 3. 已知 P 为椭圆 2 2 1 9 5 x y   ， 1 2,F F 是椭圆的两个焦点且 1 2 π 3 F PF  ，则 1 2PF PF  ______________. 4. 过点  1,1Q  作直线与椭圆 2 2 1 4 2 x y   交于 ,A B两点，若Q 为线段 AB的中点，则 AB  _____________. 5. 已知两点    4,0 , 1,0M N ，若点 P 满足 6 PM MP NN   ，则点 P 的轨迹方程是________________. 6. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，  2 5,0F  为其左焦点，若 P 为椭圆上一点且满足 OP OF ，且 4PF  ，则椭圆C 的标准方程为_______________. 7. 已知  ,P x y 为椭圆 2 2 1 25 9 x y   上的动点，则点 P 到直线 : 4 5 30 0l x y   距离的取值 范围为__________________. 8. 若 P 为椭圆 2 2 1 16 15 x y   上任意一点，EF 为圆   2 21 4x y   上的任意一条直径，则PE PF 的最大值为__. 9. 已知 F 为椭圆 2 2 1 4 2 x y   的左焦点， ,P Q 为椭圆上关于原点对称的两点且 π 2 PFQ  ，则 PQ  ____. 10. 设  ,n n nP x y 为直线 : 3 1 n l x y n    与圆 2 2: 5C yx  在第四象限的交点，则 lim 2 1 n n n y x    ________. 11. 如图，已知 P为椭圆   2 2 1 2 2 : 1 0 x y E a b a b     上一动点，过点 P作椭圆   2 2 2 2 2 1: 0 x y E a b     的两条切 线 PA、 PB 的斜率分别为 1 2,k k ，若 1 2k k 为定值，则  ____________. 12. 已知曲线  2 2:C x x y y   ，则下列结论中正确的有：_________. ① 对任意R，曲线 C关于 x轴、y轴、原点对称； ② 当 1  时，曲线 C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③ 当 1   时，曲线 C上任意两点距离的最大值为 2 ； ④ 当 0  时，曲线 C围成的区域面积最小值为 4. 13. 平面内有两个定点 1 2,F F 和一动点M ，若命题 A为“ 1 2MF MF 为定值”，命题 B 为 “点M 的轨迹”是椭 A B圆，则命题 是命题 的（ ）条件 （A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充分必要 （D）既然非充分又非必要 周末作业 No.05 14. 设点    1,0 , 1,0A B ，动点  ,P x y 满足 tan tan 2PAB PBA    ，则点 P 的轨迹方程是（ ） （A） 2 2 1 2 y x   （B）   2 2 01 2 y x y   （C） 2 2 1 2 y x   （D）   2 2 01 2 y x y   15. 设 1 2,x x 是关于 x的方程 2 2 0x x mm m    的两个不相等实根，那么过两点    2 21 1 2 2, , ,A x x B x x 的直线与圆     2 2 : 1 1 1C x y    的位置关系为（ ） （A）相离 （B）相交 （C）相切 （D）随m的变化而变化 16. 已知点 3 1, 2 A       在椭圆   2 2 2 2 : 1 0 1 x y C a a a     上且 F 为椭圆的右焦点. 若 ,P Q 是椭圆C 上位于直线 AF 两 F AP AQ PQ x侧的点，且点 到直线 与到直线 的距离相等，则直线 与 轴交点的横坐标取值范围是（ ） （A）  4,4 （B）    2,3 3,4 （C）    4,2 2,4  （D）  0,4 17. 已知椭圆   2 2 2 2 : 0 x y C a b a b    的左右焦点分别为 1 2,F F ，上顶点为 P ，长轴长为 4. 若 1 2PF F△ 为正三角形： （1）求椭圆C 的标准方程； 1F ，斜率为 3 的直线与椭圆相交于 ,M N 两点，求线段MN 的长度.（2）若过点 18. 已知椭圆   2 2 2 2 Γ : 1 0 x y a b a b     的焦距为 2 3 ，且经过点 1, 3 2        . （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线  :l y kx t k  R 与椭圆Γ交于 ,A B两点，且 π 2 AOB  ，求实数 t 的取值范围. 周末作业 No.05 19. 已知曲线C 是平面内到  1,0 和  1,0 距离之和为 2 2 的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程； （2）若斜率为 1 的直线 l 与曲线C 相交于 ,A B两点且弦长 102 3 AB  ，写出直线 l 的点斜式方程； （3）求斜率为 1 的直线交曲线C 的弦的中点 P 的轨迹方程. 20. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy中椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的离心率 1 2 e  ，左顶点为  2,0A  . 过点 A做斜率为 k 的直线 l 交椭圆C 于 D点，交 y 轴于点 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知P为AD 的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0） 均有 OP EQ ？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由； O l C（3）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点M，求 AD AE OM  的最小值. 周末作业 No.05 21. 已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的左右顶点分别为 ,A B，椭圆上任意点T（不与点 ,A B重合）满足直线TA 与TB的斜率之积为 3 4  ．当T 为椭圆的上顶点时， ATB△ 的面积为2 3 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知不在 x轴上的动点M 在定直线 4x  上运动时，直线 ,AM BM 分别交椭圆于两点 ,P Q ： （i）求证：PBQ 为钝角； （ii）求四边形APBQ 面积的最大值，并写出此时M 的坐标. PBQ 周末作业 No.05 第 6 题 第 11 题 高二第二学期数学周末作业 05 班级__________________ 姓名__________________ 1. 已知方程 2 2 1 4 6 x y m m     表示椭圆，求实数m的取值范围______________.    6, 1 1,4   2. 焦点在坐标轴上，焦距为 2 6 ，短轴长为 4 的椭圆的标准方程为______________. 2 2 1 10 4 x y   或 2 2 1 10 4 y x   3. 已知 P 为椭圆 2 2 1 9 5 x y   ， 1 2,F F 是椭圆的两个焦点且 1 2 π 3 F PF  ，则 1 2PF PF  ______________. 20 3 4. 过点  1,1Q  作直线与椭圆 2 2 1 4 2 x y   交于 ,A B两点，若Q 为线段 AB的中点，则 AB  _____________. 30 3 5. 已知两点    4,0 , 1,0M N ，若点 P 满足 6 PM MP NN   ，则点 P 的轨迹方程是________________. 2 2 1 4 3 x y   6. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，  2 5,0F  为其左焦点，若 P 为椭圆上一点且满足 OP OF ，且 4PF  ，则椭圆C 的标准方程为_______________. 2 2 1 36 16 x y   7. 已知  ,P x y 为椭圆 2 2 1 25 9 x y   上的动点，则点 P 到直线 : 4 5 30 0l x y   距离的取值 范围为__________________. 1 5 1 55 , 4 4       8. 若 P 为椭圆 2 2 1 16 15 x y   上任意一点，EF 为圆   2 21 4x y   上的任意一条直径，则PE PF 的最大值为__. 21 9. 已知 F 为椭圆 2 2 1 4 2 x y   的左焦点， ,P Q 为椭圆上关于原点对称的两点且 π 2 PFQ  ，则 PQ  ____. 2 3 10. 设  ,n n nP x y 为直线 : 3 1 n l x y n    与圆 2 2: 5C yx  在第四象限的交点，则 lim 2 1 n n n y x    ________. 1 2 11. 如图，已知 P为椭圆   2 2 1 2 2 : 1 0 x y E a b a b     上一动点，过点 P作椭圆   2 2 2 2 2 1: 0 x y E a b     的两条切 线 PA、 PB 的斜率分别为 1 2,k k ，若 1 2k k 为定值，则  ____________. 1 2 12. 已知曲线  2 2:C x x y y   ，则下列结论中正确的有：_________.①②③ ① 对任意R，曲线 C关于 x轴、y轴、原点对称； ② 当 1  时，曲线 C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③ 当 1   时，曲线 C上任意两点距离的最大值为 2 ； ④ 当 0  时，曲线 C围成的区域面积最小值为 4. 13. 平面内有两个定点 1 2,F F 和一动点M ，若命题 A为“ 1 2MF MF 为定值”，命题 B 为 “点M 的轨迹”是椭 圆，则命题 A是命题 B 的（ B ）条件 （A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充分必要 （D）既然非充分又非必要 周末作业 No.05 14. 设点    1,0 , 1,0A B ，动点  ,P x y 满足 tan tan 2PAB PBA    ，则点 P 的轨迹方程是（ D ） （A） 2 2 1 2 y x   （B）   2 2 01 2 y x y   （C） 2 2 1 2 y x   （D）   2 2 01 2 y x y   15. 设 1 2,x x 是关于 x的方程 2 2 0x x mm m    的两个不相等实根，那么过两点    2 21 1 2 2, , ,A x x B x x 的直线与圆     2 2 : 1 1 1C x y    的位置关系为（ B ） （A）相离 （B）相交 （C）相切 （D）随m的变化而变化 16. 已知点 3 1, 2 A       在椭圆   2 2 2 2 : 1 0 1 x y C a a a     上且 F 为椭圆的右焦点. 若 ,P Q 是椭圆C 上位于直线 AF 两 侧的点，且点 F 到直线 AP与到直线 AQ 的距离相等，则直线 PQ 与 x轴交点的横坐标取值范围是（ C ） （A）  4,4 （B）    2,3 3,4 （C）    4,2 2,4  （D）  0,4 17. 已知椭圆   2 2 2 2 : 0 x y C a b a b    的左右焦点分别为 1 2,F F ，上顶点为 P ，长轴长为 4. 若 1 2PF F△ 为正三角形： （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若过点 1F ，斜率为 3 的直线与椭圆相交于 ,M N 两点，求线段MN 的长度. 【答案】（1） 2 2 : 1 4 3 x y C   ； （2） 16 5 . 18. 已知椭圆   2 2 2 2 Γ : 1 0 x y a b a b     的焦距为 2 3 ，且经过点 1, 3 2        . （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线  :l y kx t k  R 与椭圆Γ交于 ,A B两点，且 π 2 AOB  ，求实数 t 的取值范围. 【答案】（1） 2 2 Γ : 1 4 2 x y   ； （2） 3 3 , , 2 2 t                   . 周末作业 No.05 19. 已知曲线C 是平面内到  1,0 和  1,0 距离之和为 2 2 的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程； （2）若斜率为 1 的直线 l 与曲线C 相交于 ,A B两点且弦长 102 3 AB  ，写出直线 l 的点斜式方程； （3）求斜率为 1 的直线交曲线C 的弦的中点 P 的轨迹方程. 【答案】（1） 2 2: 1 2 x C y  ；（2） 2 : 2 l y x  ；（3）  22 0, 2,x y x   . 20. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy中椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的离心率 1 2 e  ，左顶点为  2,0A  . 过点 A做斜率为 k 的直线 l 交椭圆C 于 D点，交 y 轴于点 E . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q ，对于任意的  0k k  均有 OP EQ ？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若过O 点作直线 l 的平行线交椭圆C 于点M ，求 AD AE OM  的最小值. 【答案】（1） 2 2 : 1 4 3 x y C   ； （2）存在，定点Q 的坐标为 3 ,0 2       . 已知直线  : 2l y k x  ，则由   2 2 2 1 4 3 y k x x y         可以得到    2 22 4 3 8 6 0x k x k       ，所以 2 1 2 2 8 6 2, 4 3 k x x k       ，所以 D点坐标为 2 2 2 8 6 12 4 3 4 3 k k k k         ， ，由此可得 AD 的中点 P 的坐标为 2 2 2 8 6 , 4 3 4 3 k k P k k        ，则  0 3 4 OPk k k    . 点E 的坐标为  0,2k . 假设存在定点  ,Q m n 使得OP EQ ，则有 1OP EQk k   ，即 1 3 4 2n k k m          恒成立，即  4 6 3m k n  对于任意  0k k  成立，可以得到 3 , 0 2 m n   ，所以定点Q 的坐标为 3 ,0 2       . （3）2 2 . 因为OM 平行于直线 l ，因此直线 :OM y kx ，可解得M 点的横坐标为 2 3 4 3 2 Mx k    ，由平行可 知 2 2 2 94 3 4 3 E M A M D A A D x x xA M x x x x D AE k O x k          . 令  24 3 3,t k    ，则有 2 2 2 4 1 1 6 2 2 9 3 6 33 4 3 AD AE k t t OM t tk                   ，等号成立当且仅当 26 4 3t k  ，即 2 3 k   . 周末作业 No.05 21. 已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的左右顶点分别为 ,A B，椭圆上任意点T（不与点 ,A B重合）满足直线TA 与TB的斜率之积为 3 4  ．当T 为椭圆的上顶点时， ATB△ 的面积为2 3 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知不在 x轴上的动点M 在定直线 4x  上运动时，直线 ,AM BM 分别交椭圆于两点 ,P Q ： （i）求证： PBQ 为钝角； （ii）求四边形 APBQ 面积的最大值，并写出此时M 的坐标. 【答案】（1） 2 2 : 1 4 3 x y C   ； （2）（i）由（1）知    2,0 , 2,0A B  ，由椭圆对称性不妨假设       .,4, ,0 , , Q QP PM yt t P x x yQ 则可以得到 直线 AM 的斜率为 6 AM t k  ，直线 BM 的斜率为 2 BM t k  ，则    : 2 , : 2 6 2 AM BM t t l y x l y x    . 由   2 2 2 6 1 4 3 t y x x y         ，则有 2 2 2 2 2 4 108 54 2 18 2 , , . 27 27 27 P P P t t t x x y t t t          同理可知 2 2 2 2 6 6 , . 3 3 Q P t t x y t t       则有    2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 18 6 60 0 27 3 27 3 27 3 t B t t t BQ t t t t P t t                            ，所以 PBQ 为钝角. （ii）最大值 6，此时，点M 的坐标为  4,3 或  4, 3 . 由（i）可知四边形 APBQ 面积为     2 2 22 2 2 2 2 48 91 18 6 48 2 . 9 122 2 27 9 9 13 P Q t tt t S AB y y t tt t t t t t                 设 29 , 0 t t t     ，则由耐克函数性质可知   9 6,t t      ，而 48 6 12 S      ，等号成立当且仅当 6  . 此 时，点M 的坐标为  4,3 或  4, 3 ，四边形的面积为最大值 6.