4.4 数学归纳法（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 4.4 数学归纳法 目 录 A组 巩固过关 题型01 数学归纳法证明恒等式 题型02数学归纳法证明整除问题 题型03 数学归纳法证明几何问题 题型04 数学归纳法证明数列问题 题型05 数学归纳法证明其他问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )数学归纳法证明恒等式 1．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2) 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）略 2．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【详解】略 3．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】 存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 【详解】略 ( 题型0 2 )数学归纳法证明整除问题 4．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【详解】略 5．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【详解】略 6．用数学归纳法证明：（）能被9整除. 【答案】 证明：（1）当时，能被9整除，所以命题成立 （2）假设当时命题成立，即（）能被9整除 那么，当时， 由归纳假设（）能被9整除及是9的倍数 所以能被9整除 即时，命题成立 由（1）（2）知命题对任意的均成立 【详解】略 ( 题型0 3 )数学归纳法证明几何问题 7．证明：凸n边形的内角和等于． 【答案】 设， 当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【详解】略 8．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，任取其中1条直线，记为， 则除外的其他条直线的交点的个数为， 因为已知任何两条直线不平行， 所以直线必与平面内其他条直线都相交(有个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的个交点两两不相同， 且与平面内其它的个交点也两两不相同， 从而时交点的个数是， 故选：C 9．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【答案】A 【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的， k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面， 而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1， 所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1. 故选：A ( 题型0 4 )数学归纳法证明数列问题 10．（多选）如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A，爬上第个台阶的方法有： 走次个台阶，共个方法； 走次个台阶，走次个台阶，共个方法. 所以； 对于选项C，爬上第个台阶的方法有两类： 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 所以； 对于选项B，； 对于选项D，当时，，，所以成立， 假设当时，成立， 则当时，有， 所以成立，其中 11．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 12．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． (2) 证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． (3)或 【详解】（1）略 （2）略 （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． ( 题型0 5 )数学归纳法证明其他问题 13．已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】/0.125 【详解】当时，数列显然有上界，故只讨论的情况， 由于， 则当时，数列单调递增，无上界； 当时，下证时，， 时，结论成立； 假设时结论成立，即 时，， 则时结论也成立． 由归纳法原理，对任意时，． 所以实数的最大值为． 故答案为：. 14．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明： ①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）略 15．函数，，…，，…，则函数是（    ）． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【详解】易知是奇函数，， ，，满足， 所以也是奇函数， 假设 是奇函数，则 ， 即也是奇函数，因此对任意的 ，有 是奇函数， 故：也是奇函数. 故选：A 1．如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 2．若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 3．用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 4．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 5．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 6．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 8．已知数列满足，，则数列通项公式为______. 【答案】， 【详解】由可得（*）， 因，则，，，，…… 归纳这个规律，猜想：，. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立，即， 则当时，由（*）可得， 即当时，猜想也成立， 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. 故答案为：，. 9．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 【答案】 【详解】当时，. 故答案为： 10．用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为______. 【答案】3 【详解】由题得，即， 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立， 当时，根据指数函数与一次函数的性质可得. 所以满足题意k的最小值为3. 故答案为：3. 1．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，． (2)猜想， 证明：（i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）略 2．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为对一切都成立， 所以当，时有，即，解得. 经检验，符合题意. 故，的值为，. 3．已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得 可化为，且 ， 令 ，，又 ， 所以， 解得 （ 舍去），， 令 ， ， 解得 （负根舍去），， 令 ，，得到， 解得 （负根舍去），， 由，归纳得. 4．已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【详解】由题意，集合中的元素需满足， 代入数列通项得 化简为，分情况讨论： 当时，左边，右边=1，等式成立； 当时，左边，右边=2，等式成立； 当且时，用数学归纳法证明： ① 当时，左边，不等式成立； ② 假设时不等式成立，即， 则当时，，不等式也成立． 由①②得，对所有的正整数，均有，无满足等式的解，综上，满足条件的仅有1、2，共2个元素． 5．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 6．在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【详解】由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 7．已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以比多的项数是. 故选：B. 8．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 9．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 【答案】 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 10．已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； （2）记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 11．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4 数学归纳法 目 录 A组 巩固过关 题型01 数学归纳法证明恒等式 题型02数学归纳法证明整除问题 题型03 数学归纳法证明几何问题 题型04 数学归纳法证明数列问题 题型05 数学归纳法证明其他问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )数学归纳法证明恒等式 1．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 2．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 3．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． ( 题型0 2 )数学归纳法证明整除问题 4．用数学归纳法证明：能被整除． 5．已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 6．用数学归纳法证明：（）能被9整除. ( 题型0 3 )数学归纳法证明几何问题 7．证明：凸n边形的内角和等于． 8．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 9．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 ( 题型0 4 )数学归纳法证明数列问题 10．（多选）如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 12．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． ( 题型0 5 )数学归纳法证明其他问题 13．已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 14．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 15．函数，，…，，…，则函数是（    ）． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 1．如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 2．若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 3．用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 4．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 5．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 6．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 8．已知数列满足，，则数列通项公式为______. 9．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 10．用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为______. 1．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 2．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 4．已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 5．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 6．在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 7．已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 8．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 9．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 10．已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 11．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.4数学归纳法 目录 A组巩固过关 题型01数学归纳法证明恒等式 题型02数学归纳法证明整除问题 题型03数学归纳法证明几何问题 题型04数学归纳法证明数列问题 题型05数学归纳法证明其他问题 B组能力进阶 C组思维拔高 A组 巩固过关 题型01 数学归纳法证明恒等式 1. (1)存在， a= [f(1)=2=a+b+c 由题可得 f(2)=2+6=8a+46+2c,解得b=1, f(3)=20=27a+9b+3c e-号 1 2 所以存在，a=亏，b=1,c 31 3: ②f)=r+㎡+ 3 3*1*2 当n=1时，f0=2 3 假设n=k时，等武f个=1x2+2x3+…+k(k+)++号成立， 3 3 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n=k+1时，f+)=f)+k++2)=++号+k+0k+2) 3 +2+6+2 3 =3R+32+3张+)+(+2k+)+2（k+) ++医++号+)成立。 综上，f=++号aeN)成立. 之证明：等差数列a中，a,=4+n-以=n:及-a）_"+D。 2 2 当n=1时，4=1，S=1,原等式成立； 假设当n=keN)时，原等式成立，即立c或=，立=， 2-名*- e4-Ψ*ar-[++-成 即当n=k+l时，原等式成立， 所以对一切nEN,等式卫=成立 i=I 1=x1xa+1b+) 6 3.存在.将， 分别代入等式，得 1x2+2x1=2x2a+2xb+2) n=1n=2 6 a+b=3 a=1a=2 即1ab=2，所以1b=2或b=1 猜测1×n+2x(m-1)+3x(n-2)+…+(n-l)x2+mx1=2n(n+1)(n+2)对一切正整数都成立. 6 证明：(1)当n=1时，显然成立； (2)假设n=时，1xk+2k-)+3(-2)++(k-)x2+6×1=名(k+k+2)成立： 则当n=k+1时， 左边=(k+)+2×k+3(k-1)+…+k×2+(k+1)x1 2111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1×k+2(k-)+3(k-2)++(k-1)×2+kx1+[1+2+3+…+k+(k+1] =+6+24+23+++明-=言〔+c+2++20+0 若k++2k+)-右边，所以网=k+1时，等武也成立。 综合(1)(2)，由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数n都成立. 题型02 数学归纳法证明整除问题 4.①当n=1时，11+122=12+12=133能被133整除，所以当n=-1时结论成立： ②假设当n=k(k∈N)时，11H+1221能被133整除， 那么当n=k+l时， 11+2+124+-=11x11+122-4×122 =11k+×11+122k-1×11-122-1×11+122k-×122 =1111+122）+133x12 由假设可知11+12)+133×122能被133整除，即112+1241能被133整除， 所以当n=k+1时结论也成立； 综上，11+12-(neN)能被133整除。 5.用数学归纳法证明： ①当m=1时， a4m1=a,=a4+a=(a+a)+(a+a)=a+a+a+a+a=3,能被3整除. ②假设当m=k时，ak能被3整除. 当m=k+l时， Qa(k+)+=aak+5=a4k4+ak+3=a4k+3+a4k+2+aak+2+ak+ =aak+2+k++ak+2+aak+2+k+ =3a4k+2+2a4k+H, 由于假设了a4k+能被3整除，又3a4+2能被3整除，故3a4+2+2a4k1能被3整除， 因此，当m=k+1时，a4k++1也能被3整除 综上可知：对一切meN,数列an}中的第4m+1项都能被3整除. 6.证明：(1)当n=1时，(3+)×7-1=27能被9整除，所以命题成立 (2)假设当n=k时命题成立，即(3k+)7-1(n∈N)能被9整除 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么，当n=k+l时， [3(k+1)+1]7-1 =3(k+1-7++3.71-1=7-(3k+1)-7+371-1 =(3k+1)7-1+6-(3k+1）7*+3.7+ =[(3k+1)7*-1]+(18k+27)7 由归纳假设(3k+)7-1(n∈N,)能被9整除及(18k+27)7是9的倍数 所以[(3k+1)7*-]+(18k+27)7能被9整除 即n=k+l时，命题成立 由(1)(2)知命题对任意的n∈N,均成立 题型03 数学归纳法证明几何问题 7.设fm=(n-2)π(n≥3，n∈N）, 当n=3时，三角形的内角和为元，即f(3)=π=(3-2)元，结论成立： 假设当n=k(k∈N,k≥3)时，结论成立，即f(k)=(k-2)元， 假设凸k+1(k≥3，k∈N)边形44，…A41,如下图所示： Ak+1 A2 则凸k+1(k≥3，k∈N)边形A4…A4H边形可以在以44为边的△AAA1与凸k边形A4,…A拼接而成， 所以，f(k+)=f(k)+π=(k-2）π+π=(k-)小元， 这说明当n=k+1时，结论成立， 故凸n边形的内角和f(n)=(n-2)π(n之3，neN)】 8.C 9.A 题型04 数学归纳法证明数列问题 10.AD 4111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 11.(①)0当n=1时，左边1k22:右边2等式成立： ②眉设当n=eN)时，等式物成立，即23…中2以-少2中2…中 1,1 1 11 1,1 1 1 则当n=k+1时，1x2十3×4+…+2k-×2k+(2k+2k+2 1 1+1 ++,1+1+11 k+k(2k+1)(2k+2)k+1k+2k+k2k+12k+2k+1 11 1 1111 1 1 k+2+k+3++k+k+2k++2k+2k+1+十k+1+2++房 一十 k+1+kk+1+k+1' 所以当n=k+l时，等式也成立.由①②可知，等式对任何n∈N都成立. 4 (②)D当n=1时，左边=3右边，等式成立：②假设当n=k（k∈N)时，等式成立， 22.42 (2k)2=2k2+2k 即1x33×5 …+2k-02+可2k+1.则当n=k+1时， +… 22.42 (2K)2 (2k+2)2 左边1k3+3x5++(2k-2k+)+(2k+1)(2k+3列 -2k2+2k+2k+22-(2k2+2k2k+3)+(2k+2 2k+1(2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) -2k+2k++2_2+1+2）.2张++2+=右边. (2k+I)(2k+3) 2k+3 2(k+1)+1 所以当n=k+1时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立. 12.(1)证明：已知4是奇数，假设4=2m-1是奇数，其中m为正整数， 则白递推关系得44-“43-mm-)+1是奇数。 4 根据数学归纳法，对任何n∈N,,an都是奇数. (②)证明：当n=2时，左式=(4+)， 右式-4%-44-) 4+-） (a-1)(a-1) 1-(a+ (a-)(a-1) 又am=4d+3)→d=4a-3, 马-A.aa+6+-0变 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、4-(a-l 时，a+a+山a+a+a+&a+a=》 则 4-(4aH-3-_4-(4aH-4）_4(a1-） (a-1)(a-1)(a-1) 限据数学归法，石4时物2有么+2+a+小-Q+中。2 (3)解法一：由a-a,=4a,-1(a.-3列知，41>a当且仅当a,<1或a,>3 3+3=3, 另一方商，希0<4<1则0<a<1生-1：若>3：则4> 根据数学归纳法，0<a<1,0<a,<1,neN:g>3台a,>3,neN. 综合所述，对一切n∈N,都有a1>a的充要条件是0<a<l或a>3. 解法=：自4-华>4，行G-4+3>0:于是0<4<1成4>3， a1-a,=4+3_g+3_,+aa,-a) 44 4 又g>0,a1=g+3 4，则所有的an均大于0，因此a-a,与a-an,同号. 根据数学归纳法，n∈N,a1-an与4，-a同号. 因此，对一切n∈N都有a>a.的充要条件是0<a<1或a>3 解法三（不动点法）：记f-(+3),则)分，了)-分，于是为凸画数。 则不动点满是)=x,则得到不动点方程x=女+3引，解得不动点。=1”B=3 由对一切neN,都有a>an得数列{an}为递增，所以a,<a或a>B, 又4>0，故a的取值范围0<a<1或a>3。 题型05 数学归纳法证明其他问题 13.8/0.125 14.(1):f0)=1P=1,g(0)=2=2, 四1 ∴f)<g)g(0) :f(2)=2=8,g(2)=32=9, 6111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 <1 ·f(2)<g(2)g(2) :f(3)=34=81,g(3)=43=64, f③)>1 ·f(3)>g(3)g(3) :f(4)=45=1024,g(4)=54=625, f4>1 ∴f(4)>g(4)8(4) f回，1，证明： ②当n≥3'neN时，有g ①当n=3时，猜想成立. f(k)K州 ②假设当n=k〈k之3”kN)时猜想成立，g网伏+>1 f(k+）_（k+1）2k (k+1)242 (k+1)24+2 当 =k+1'gk+可k+2)k+可[kk+2][k+2]. :(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0, >1 k(k+2) (k+1)242 即+2列>1， .当n=k+l时，猜想成立 由①②知，当 f四，1」 ≥3'neN时，有g问 15.A B组 能力进阶 1.B 2.A 3.C 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.D 5.A 6.D 1,1 7.2*+12+2 8a,=” n’neN 9.f0)=1+2+22+23+24 10.3 C组 思维拔高 1.(1)将已知等式展开整理得 a1-2(an+l)a1+(an-12=0, 解得a1=(a.+1)±2√a. 由a1>a,知a1=a.+1+2an=(an+1. 故4，=4,4=（a+°=9，a,=（Va+1=16 (2)猜想an=n2, 证明：(i)当n=l时，4=1，命题成立： (i)假设当n=k,命题成立，即a=k2, 那么a=（a+1=（反+'=k+, 即n=k+l时命题成立. 由()(i)可知对一切自然数命题都成立. 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 8111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.B 8.A 9.2(2k+) 10.(1)当n=1时，4=T=2, _T._n+l 当n≥2时，a,六”， 且n=1也满足此式， 所以{a,}的通项公式为4，=”+ : (2)记6，=4=n+1)2 ann(n+2）' 则b=1+ 所*6+8=+0-片4}25a+, 即号4则n心成立 易如-子乱中+42)。 故（回）<子，故≥子，所以2的最小值为 3 3 11.(1)法一：当n=1时， a=2,2Sn=n(2+an),2Sn1=(n-1）(2+a)(n≥2)， 2a,=2S,-2S,1=na,-(n-1)a+2. ∴.(n-2)an-(n-1)an-1+2=0(n≥3)， an an1 2 n-1n-2(n-100a-2=0, 4,-2_0-2=0(n23), n-1n-2 一会二子引是袋数到设法常数芳则2-a-小2：a2 a2=k+2,42-4=k也符合上式，因此{an}是等差数列. 法二： 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2S,=n(2+a), ∴.2Sn=(n-1)(2+an)(n≥2）. 2a,=28,-28-1=na,-(n-1)a1+2. (n-2)an-(n-1)an1+2=0①， 又2Sn2=(n-2)(2+an-2)(n≥3)， (n-3)an1-(n-2)a-2+2=0②， ②-①an+am-2=2am-1, 则数列{a}是等差数列： 法三： 当n=1时，解得a=2, 当n=3时，2S,=3(2+a)=3(a+4), 即2(a+a+a)=3(a+a), ∴.2a2=a1+4,4,4,a成等差数列， 猜想a.=a+(n-)d,d=a2-a. (i)n=1,2,3时，4，a,a成等差数列，∴猜想显然正确 (i)假设n≤k(k≥3)时猜想正确， 即a=a+k-d,&=a+-a, 2 则当n=k+1时，2S=(k+)(a+a), 2(S+aki)=(k+1)a+(k+1)a1, 2ka+k(k-1)d=(k+1)a+(k-1)a, (k-1)a1=(k-I)a+k(k-1)d, k≥3，k-1≠0， ..amn=a+kd=a+[(k+1)-1d, n=k+l时，猜想也正确： 综上所述，a,=a+(n-)d,对neN都成立. {a}是等差数列 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(I)a-a=3-2=1,an=2+(n-)x1=n+l,b,=n-3, 设数列{b,}的前n项和为Hn, Hn=1×32+2×33+3×3++n-3③， 3Hn=1×32+2×3++(n-1）小-3+n-32④， 所以③-④得，-2Hn=32+33+34+…+31-n-3+2 90-3）-n-3_32-9-n-32_0-2m小32-9 1-3 2 所以H,=(2n-)32+9 ()新数列{Cn}为：a,2,4,2,22,4,…,ak,2,22,…2，a1,…, 将此数列分成若干组，4,2为第一组：4,2,22为第二组：…ak,2,22,…,2*为第k组， 4与0之间的项数列的和为：242+…42-2×2到）-2州-2， 1-2 可得数列{C,}取到a,后的第k项时：n=k+kk+)_k+3) 2 2 前k组之和为： Tn=a+2+a2+2+22+…+a+2+22+2 =(a+a+…+a)+(22+23+24++21-2k k2+k+,40-2）-2然 2 1-2 _-k-8+22, {T}显然随k的增大而增大， 当k=8时，n 8x8+3)-44,w=1048<2026 2 2026-1048=978,第44项C4再往后取m项，使项的和大于978， 即：4，+2+22+…+2m=2m1+8>978 ∴.2m1>970,当m=8时，2=512<970，m=9时，20=1024>970， .44+10=54,.n有最小值为54. 11/11