精品解析：福建省泉州市第六中学2024-2025学年九年级下学期数学综合测试五

泉州六中2024-2025学年九下数学综合测试（五） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给的选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 水（化学式为），是由氢﹑氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．水分子的半径约是，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义解题即可． 【详解】解：依题意得：． 故选A． 3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案． 【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力． 4. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 5. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据中出现最多的数是158， 所以众数为158； 这组数据从小到大排列，排在正中间的数据是160， 所以中位数为160． 故选：D． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集． 【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点， 由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0， 因此，当x>0时，， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 11. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则， 即布袋中白球可能有个， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12. 某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是____． 【答案】 【解析】 【分析】设该药品每次的降价率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该药品每次的降价率是x， 依题意，得：， 解得：（舍去）， 答：该药品每次的降价率是， 故答案为：． 13. 如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心及平行线分线段成比例，熟知三角形重心的性质及平行线分线段成比例是解题的关键． 根据三角形重心的性质得出，再结合平行线分线段成比例及的长，可求出的长，据此求出的长即可． 【详解】∵点是的重心， 又 故答案为：6． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质．过点作 轴于点，设的半径为，求出，然后根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】过点作 轴于点， 设的半径为， ∵与轴相切于点， ∴轴， ， ∵点C在反比例函数图象上， 当时，， ∴点C的坐标为， 即点A的坐标为， 则， ， 故答案为：. 15. 如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明可判断结论①．由得到，从而．设，则，过点H作，交于点J，交于点K，证明，即可判断结论②．证明点B、N、G、E四点共圆，得到，连接，可证，根据相似三角形的对应边成比例即可判断③正确．过点B作于点I，作，交的延长线于点J，证明，进而推出四边形是正方形，根据正方形的性质即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∵，， ∵点E，N分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴．故①正确． ∵在正方形中，， ∴， ∴相似比， ∴． 设，则， 过点H作，交于点J，交于点K， ∴，， ∴，， ∴， ∴．故②错误． 由①可知， ∴在四边形中，， ∴， 根据对角互补可得点B、N、G、E四点共圆， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．故③正确． 如图，过点B作于点I，作，交的延长线于点J， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④ ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，四点共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行乘方，零指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 本题考查实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 将，代入可得， 原式． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： ； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，本题的关键是熟练掌握尺规作图：作一个角等于已知角． （1）作即可； （2）设，则，，由（1）中，得，再代入解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则，， 由（1）中，得， ，且， 整理得， 解得：（负值已舍）， 故的值为． 19. 今年的国内春节档电影《哪吒之魔童闹海》很火爆，乐乐和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶准备在正月初一晚上八点一起去看电影．爸爸在网上购票时，五人的座位恰好位于5排06座--5排10座，这五个座位从左往右依次排列（如图，是座位示意图）．乐乐进入该电影厅后，可以从这五个座位中随机选择一个． （1）乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是________； （2）乐乐坐下后，奶奶从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，用列表法或画树状图法求乐乐和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确的列出表格，掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列出表格如下： 6 7 8 9 10 6 6，7 6，8 6，9 6，10 7 7，6 7，8 7，9 7，10 8 8，6 8，7 8，9 8，10 9 9，6 9，7 9，8 9，10 10 10，6 10，7 10，8 10，9 共20种等可能的结果，其中乐乐和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的结果有8种， ∴． 20. 如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 【答案】（1）60°； （2）连接， 由(1)得，， ∵，，∴， ∴，∴． 在与中， ∴， ∴． 又点在上，故与相切． 【解析】 【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值； (2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，∴， ∴，则． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ． 故答案为：． (2)略 【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 21. 如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米． （1）求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，） （2）①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明； ②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示） 【答案】（1）河的宽度为19米 （2） ①如图2中，设线段为河的宽，取线段，使得，作，设的中点，当，，共线时，测量出的长米； ②河的宽度为米 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，过点作于点．设米．构建方程求出即可解决问题； （2）①构造如图2，测得的长，构造全等三角形解决问题即可； ②构造全等三角形解决问题即可； 【小问1详解】 解：如图1中，过点作于点．设米． 在中，（米， 在中，， （米， 米， ， ， （米 河的宽度为19米． 【小问2详解】 解：①略 ②， ， 的中点， ， ， ， 米． 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数、满足、，求的值． （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】（1）或 （2）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若是一元二次方程的两根时，则． （1）当时， 、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，代入计算解题； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，求出c的取值范围即可解题． 【小问1详解】 解：当时， ∵实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴原式， 当， 则原式； 综上所述，原式的值为或； 【小问2详解】 解：， ∴将、看作是方程 的两实数根， ，而 ， ， ， 即， ∴的最大值为． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①当时，有最大值，最大值为16，；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含t的代数式表示的面积，进而即可求解； ②分两种情况：①；②，讨论即可． 【小问1详解】 解：把、代入得 解之得 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， 直线的解析式为 设，则， ， 对称轴， ，开口向下 当时，有最大值，最大值为16． ； ②当时，如图： 轴， 点的纵坐标为4， ， 解得（舍去）， ， 当时， ， 过点作于， ，，轴， ， 由①得，， ， 解得（舍去）， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 24. 如图，为的直径，射线与相切于点A，点C为射线上的一个动点，交于点D． （1）若，，垂足为E，连接． ①求的度数及的值． ②求证： （2）连接，求的最大值． 【答案】（1） ①；； ②过点作，交延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）的最大值是 【解析】 【分析】（1）①根据“等边对等角”及三角形内角和定理可求得；先证得，再在中，，在中，可得，即可证明结论； ②过点作，交延长线于点，先证明，可得，，再证明，，再由相似三角形的判定可得结论； （2）证明，设，得成比例的线段，根据即可求解． 【小问1详解】 解：①，且是的直径， ， 与相切于点A， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； ②略 【小问2详解】 解：如图， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 时，， 的值最大为， 即的最大值为． 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州六中2024-2025学年九下数学综合测试（五） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给的选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 水（化学式为），是由氢﹑氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．水分子的半径约是，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 11. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______． 12. 某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是____． 13. 如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为______ 15. 如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 19. 今年的国内春节档电影《哪吒之魔童闹海》很火爆，乐乐和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶准备在正月初一晚上八点一起去看电影．爸爸在网上购票时，五人的座位恰好位于5排06座--5排10座，这五个座位从左往右依次排列（如图，是座位示意图）．乐乐进入该电影厅后，可以从这五个座位中随机选择一个． （1）乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是________； （2）乐乐坐下后，奶奶从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，用列表法或画树状图法求乐乐和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率． 20. 如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 21. 如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米． （1）求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，） （2）①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明； ②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示） 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： （1）已知实数、满足、，求的值． （2）已知实数、、满足、，且，求的最大值． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24. 如图，为的直径，射线与相切于点A，点C为射线上的一个动点，交于点D． （1）若，，垂足为E，连接． ①求的度数及的值． ②求证： （2）连接，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $