精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆八中2024—2025学年度（下）半期考试高二年级 数学试题 命题： 审核： 打印： 校对： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得. 故选：D. 2. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 3. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列通项公式求，结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，则，解得， 所以. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可. 【详解】因为，则，， 又因为直线的斜率为1， 由题意可得，解得. 故选：D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲是否排最右端，结合排列数组合数分析求解. 【详解】若最右端排甲，则最左端不能排乙，不同的排法共有种； 若最右端不排甲，则甲、乙不能排两端，不同的排法共有种； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小. 【详解】设， 所以单调递增；单调递减； 所以. 故选：A. 7. 设，是双曲线C：（，）左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为，由勾股定理可得，根据，利用余弦定理可得，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设双曲线的一条渐近线为，即， 点到渐近线的距离为， 所以， 在中，， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 整理可得，所以. 故选：. 8. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式运算求解即可. 【详解】甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种； 同理，乙从N到达M处的方法有种； 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走， 乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由对称性可得，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断，；根据等差数列前n项和公式可判断，. 【详解】对于，，当时，， ，， ，故错误； ，故错误； 对于，，当为任意实数时， ， ， 所以，故正确； ， 故正确. 故选：. 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 若自由放置，共有3125种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解； 【详解】对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确； 对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由, 第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：， 所以共有种，故B错误； 对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有， 第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种， 所以共有20种，故C正确； 对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有， 第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可； 所有共有20种，故D正确； 故选：ACD. 11. 设函数，则（ ） A. 的单调递增区间为， B. 有三个零点 C. 若关于x的方程有四个不同实根，则 D 若对于恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围. 【详解】当时，，所以在上单调递增， 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的单调递增区间为，，故正确； 当时，由得， 当时，由得，所以函数有两个零点，故错误； 因为，所以或， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 又当时，，所以的图象如图所示： 由图可知有一个根， 若满足关于x的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故正确； 若对于恒成立，所以对于恒成立， 即, 令，，所以， 由得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有最大值为，所以， 所以对于恒成立，则，故正确. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为______. 【答案】16 【解析】 【分析】利用过焦点的直线与抛物线的关系，利用韦达定理代入弦长公式求解. 【详解】因为过抛物线的焦点，斜率为1， 所以直线的方程为，则联立直线与抛物线方程 ，得到， 令 则，， 代入弦长公式. 故答案为：16. 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，若，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】取特指可得，利用导数判断的单调性可得对任意恒成立，即说明充分性成立，即可得结果. 【详解】若，则，且，可得， 因为， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，则，即， 可知在区间内单调递减，则， 若，则对任意恒成立，符合题意， 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学数学专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数. 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图频率和为1的性质，即可估计概率； （2）利用频率来估计总体概率，即可估计总体中在区间的人数； （3）利用频率计算频数，结合题意中的关系，即可估计总体中女生的人数. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为：， 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为：， 所以可计算在100人的样本中，分数小于60的频数为：人， 已知样本中分数小于40的学生有人，所以分数在内的频数为：人， 即分数在内的频率为：， 从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人； 【小问3详解】 根据频率分布直方图，可计算分数不小于的频率为：， 则计算样本中分数不小于的频数为：人， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有人； 而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有人， 所以样本中女生只有人， 可以估计总体中女生的人数约为：人. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【小问1详解】 易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 17. 如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点. （1）求证：平面； （2）是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）存在，点为靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）台补锥，根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. 【小问2详解】 由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆C：（）的左焦点为，点在椭圆C上，且轴. （1）求椭圆C的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由轴，得，将代入椭圆方程与联立求解即可. （2）由的坐标，求出的中点坐标，及线段的垂直平分线的斜率，代入点斜式求出直线方程，与椭圆方程联立即可. （3）设，当时，或，当时，垂直平分线方程为，与椭圆方程联立，利用判别式为0化简得，又，也满足该式，即可求解的轨迹方程即可. 【小问1详解】 轴.，， ，则， ， ， 又在椭圆C上， 即， 联立， 化简得：，解得:, (舍)， ， 椭圆C的方程. 【小问2详解】 ，， 中点坐标为，， 线段的垂直平分线的斜率为， 线段的垂直平分线的方程为,即， 联立，解得， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，公共点坐标为. 【小问3详解】 设，当时，的垂直平分线方程为， 此时，解得或； 当时，的垂直平分线方程为， 联立得： ， 线段垂直平分线与恰有一个公共点， ， 整理得：， 即， ， ， ， 也满足方程， 点的轨迹是圆，圆的方程为，即． 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题； （2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证. （3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可证. 【小问1详解】 函数，，且， ①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立； ②当时，令，得， 当时，此时单调递减，故，不满足题意； 综上可知：. 即的取值范围为. 【小问2详解】 由，故， 因为函数有两个不同的极值点（其中），故. 要证：，只要证：. 因为，于是只要证明即可. 因为，故， 因此只要证，等价于证， 即证，令，等价于证明， 令， 因为，所以， 故在上单调递增，所以，得证. 【小问3详解】 由（1）可知当时，，故， 令，所以，所以， ， 所以. 【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（下）半期考试高二年级 数学试题 命题： 审核： 打印： 校对： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 2. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C D. 3. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（ ） A 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 8. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 若自由放置，共有3125种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 11 设函数，则（ ） A. 的单调递增区间为， B. 有三个零点 C. 若关于x的方程有四个不同实根，则 D. 若对于恒成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为______. 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 14. 已知函数，，若，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学数学专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 17. 如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点. （1）求证：平面； （2）是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆C：（）的左焦点为，点在椭圆C上，且轴. （1）求椭圆C的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $