精品解析：2025年陕西省西安市蓝田中考二模数学试卷

2025年初中学业水平考试模拟试题 数学（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列数中属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3.14159 2. 下列立体图形中，不能被一张矩形纸板恰好围成侧面的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板和按如图所示的方式放置，边与边在同一直线上，其中， ，．若与边交于点G，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 截止2025年2月16日，《哪吒之魔童闹海》总票房已超117.64亿元，数据117.64亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的两条高，连接，若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数 与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B. 方程的解为 C. D. 方程组的解为 7. 如图，在 中，对角线交于 ，已知 ，，，那么 到的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点，点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是______． 10. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满五进一，她一共采集到的野果数量为___________． 11. 如图， 为的直径，C、D为圆上两点且，连接 并延长交于点E，则__________度． 12. 点在某反比例函数图象上，将点 向右平移4个单位，再向下平移8个单位后得，若也在该反比例函数图象上，则的值为___________． 13. 如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点 作 ，垂足为，连接 ，则 面积的最大值为___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 化简：． 16. 解分式方程 17. 已知：如图，四边形，请利用圆规和直尺确定点，使．（作出一个满足条件的即可，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，点 在 上，已知 ，求证： ． 19. 张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、 （锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应） （1）小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________； （2）小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率． 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21. 中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点 处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端 处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度 ．（结果精确到1米．参考数据） 22. 陕西省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果被列为地标性水果，如铜川大樱桃、周至猕猴桃，白水苹果等．铜川市某果园今年种植的大樱桃喜获丰收，采摘上市天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第天时，樱桃单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）已知该果园第天售出樱桃，求当天的销售额（销售额销售数量销售单价）． 23. 为提高学生的安全意识，某学校组织8年级学生参加了“安全知识答题”活动，小明随机调查了年级一部分学生的成绩，他将自己调查到的学生成绩（用表示）分为四组： 组（，B组，C组，D组，绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 学生成绩的频数直方图 学生成绩的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查学生成绩的中位数在___________组（填A或B或C或D）； （2）把每组中各个学生的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为65）来代替，试估计被调查学生的平均成绩； （3）若该校8年级学生共1200人，则成绩不低于90分的学生有多少名？ 24. 如图， 为的直径，过点 作的切线是半圆 上一点（不与点 、 重合），连接，过点 作 于点，连接并延长交 于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 25. 如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面 可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点 到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱部分抛物线的表达式； （2）问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 26. 问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点 ，点、点分别在上，，则四边形 的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点 有一根平行于的伸缩杆（即 ），在 边上有一个滑动点，在伸缩杆的长度变化的过程中，滑动点也随之滑动，且保持，其中部分填充红色液体， 部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆的长及此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试模拟试题 数学（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列数中属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3.14159 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此解答即可．0 【详解】解：0，，3.14159是有理数； 是无理数． 故选C． 2. 下列立体图形中，不能被一张矩形纸板恰好围成侧面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何图形的侧面展开图，根据长方体，圆柱，三棱锥，三棱柱的侧面展开图，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、长方体的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意； B、圆柱的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意； C、三棱锥的侧面展开图是三角形，则不能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项符合题意； D、三棱柱的侧面展开图是矩形，则能被一张矩形纸板恰好围成侧面，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 将一副三角板 和按如图所示的方式放置，边与边在同一直线上，其中， ，．若 与边交于点G，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质．先证，推出，根据对顶角相等可得，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图，设 与 边交于点H， ， ， ， ， ， ， 故选D． 4. 截止2025年2月16日，《哪吒之魔童闹海》总票房已超117.64亿元，数据117.64亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：117.64亿； 故选A． 5. 如图，是的两条高，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了四点公圆、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 由题意可得四点共圆，再结合邻补角相等可得，结合 可证，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵、  是的高， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴，即． 故选A． 6. 如图，一次函数 与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B. 方程的解为 C. D. 方程组的解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B、一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故B错误，不符合题意； C、直线 过， ， ， ； 故C错误，不符合题意； D、由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 7. 如图，在 中，对角线交 于 ，已知 ，，，那么 到 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，首先根据平行四边形的对角线互相平分，可得：，，根据勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求 ，设点 到 的距离为，根据三角形的面积公式可得：，从而可求点 到 的距离． 【详解】解：在 中，，， ，， ， ， ， ， ， 设点 到 的距离为， ， ， 解得：． 故选：B． 8. 已知抛物线经过点，点．若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点，将代入解析式，根据得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：将代入，得：， ∵， ∴， ∴； 故的值可以是； 故选D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点M，N表示两个连续整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∵点M，N表示两个连续整数， ∴点N表示的数是4， 故答案为：4． 10. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满五进一，她一共采集到的野果数量为___________． 【答案】1078 【解析】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据满五进一，结合图形，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1078． 11. 如图，为的直径，C、D为圆上两点且，连接 并延长交于点E，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得，则可推出，用平角的定义求出的结果，则可求出的结果，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 点在某反比例函数图象上，将点向右平移4个单位，再向下平移8个单位后得，若也在该反比例函数图象上，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，反比例函数图象上的点，根据平移规则求出的坐标，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，求出的关系式，整体代入法求出的值即可． 【详解】解：由题意，的坐标为：， ∵点在某反比例函数图象上，也在该反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作 ，垂足为，连接，则 面积的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的三边关系、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：延长、交于点，连接 ，设 的中点为 ，连接．先证明可得，进而得到，然后根据勾股定理可得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，再根据三角形的三边关系可得最大值为，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：延长、交于点，连接 ，设 的中点为 ，连接． ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ， 如图：作． ， 最大值为 最大面积为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负指数幂、指数幂，首先根据负指数幂的法则可得：，根据任何不为的数的次幂为，可得：，根据绝对值的定义可得：，从而可得：原式，再根据加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据完全平方公式、平方差公式计算，然后运用整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 解分式方程 【答案】无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，并检验，即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得： 去括号得： 解得： ， 当 时，， ∴原方程无解． 17. 已知：如图，四边形，请利用圆规和直尺确定点 ，使．（作出一个满足条件的 即可，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图：点E即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 如图：连接，以点A为圆心，适当长度为半径画弧交、，再以相同的半径，以点C为圆心画弧交，然后取弧与、的交点距离为半径，以点C为圆心的弧与的交点为圆心画弧，连接点C与两弧的交点，得到，再以点C为圆心，的长为半径画弧，交 于点E，则点E即为所求． 【详解】略 18. 如图，点 在上，已知 ，求证： ． 【答案】 证明： ， ， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，得到 ，即可得证． 【详解】略 19. 张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、 （锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应） （1）小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________； （2）小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）小进从四个盒子中随机选择一个，其中只有1个是，因此概率可直接计算； （2）小明和小红不放回地选择，利用列表法列出所有可能组合，然后筛选出两者均能与盐酸反应的情况，最后计算概率． 【小问1详解】 解：四个盒子中只有1个装有，因此概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 记（镁）、（铝）、 （锌）、（铜）为 列表得： 小红小明 （A，B） （A，C） （A，m） （B，A） （B，C） （B，m） （C，A） （C，B） （C，m） （m，A） （m，B） （m，C） 由列表知，共有12种等可能结果，其中都能发生置换反应的共6种． ． 答：二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率为． 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．利用关于的方程有两个不相等的实数根，得出，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 21. 中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点 处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 【答案】中华文字博物馆大门的高度约为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，在中解直角三角形可得，进而得到，易得，再在Rt中解直角三角形可得的长即可解答． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 由题知， 在Rt中， ． 中华文字博物馆大门的高度约为20米． 22. 陕西省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果被列为地标性水果，如铜川大樱桃、周至猕猴桃，白水苹果等．铜川市某果园今年种植的大樱桃喜获丰收，采摘上市天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第天时，樱桃单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）已知该果园第天售出樱桃，求当天的销售额（销售额销售数量销售单价）． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （2）将 代入（1）中求得的函数解析式，求出对应的值，再根据“销售额销售数量销售单价”计算当天的销售额即可； 掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，； 当时， 设，过点，， ∴， 解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 在中，令 ，则， ∴（元）， ∴当天的销售额为元． 23. 为提高学生的安全意识，某学校组织8年级学生参加了“安全知识答题”活动，小明随机调查了年级一部分学生的成绩，他将自己调查到的学生成绩（用表示）分为四组：组（，B组，C组，D组，绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 学生成绩的频数直方图 学生成绩的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查学生成绩的中位数在___________组（填A或B或C或D）； （2）把每组中各个学生的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为65）来代替，试估计被调查学生的平均成绩； （3）若该校8年级学生共1200人，则成绩不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1） （2）该班的平均成绩约为 分 （3）成绩不低于90分的学生有540名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、中位线、平均数、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求出调查学生的总数，然后再求出B组的学生数，然后根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数计算即可； （3）根据样本估计整体即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的学生数为： ，则B组的人数为：， 由调查学生为40，则中位数为数据从小到大排列的第20和第21个数据的平均数， 由A组为4人，B组为8人，C组有10人，即中位数在C组． 故答案为：C． 【小问2详解】 解：． 被调查学生的平均成绩约为 分． 【小问3详解】 解：． 成绩不低于90分的学生有540名． 24. 如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、 重合），连接，过点 作 于点 ，连接 并延长交于点 ． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：切于点， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】根据切线的定义可知，根据垂直定义可知 ，根据同位角相等两直线平行可证，根据平行线的性质可证，根据圆周角定理可证，从而可证结论成立； 首先利用勾股定理求出，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可求得，根据垂径定理可知，从而可知． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接 ， 为的直径， ，， ， 在 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系． 25. 如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面 可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点 到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱部分抛物线的表达式； （2）问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 【答案】（1） （2）可以同时从桥下穿过， 理由如下：． 在中，令， 则． 可以同时从桥下穿过． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与船的高度比较即可． 【小问1详解】 解： ， 根据题意得，抛物线顶点，经过点． 设抛物线表达式为． ． ． 桥拱部分抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 26. 问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点 ，点 、点 分别在上，，则四边形 的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点 有一根平行于的伸缩杆 （即 ），在边上有一个滑动点 ，在伸缩杆 的长度变化的过程中，滑动点 也随之滑动，且保持 ，其中部分填充红色液体， 部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆 的长及此时的面积． 【答案】问题提出：4；问题解决： 的长为，面积为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； 问题提出：如图1中，证明即可解决问题； 问题解决：过点 作，垂足为 ，根据角平分线的性质可得，根据 ，得，根据，得出则当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小．设，进而求得关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】问题提出：解：如图1中， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：4； 问题解决： 如图，过点 作，垂足为 ， ∵ ∴． ． ． ． ． ． ， ． ， ． 当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小． 过点作，垂足为． 设，则． ． ． 当时，取最大值4． 当面积最小时， 的长为，此时面积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $