甘肃省靖远县第一中学2025届高三下学期高考模拟测试（三模）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案 1.D【命题意图】本题考查集合的基本运算，要求考生掌握集合的交集概念和运算规则： 【解题分析】因为A={x-3≤x+1≤4}={x|-4≤x≤3，B={x|x≤5，x∈N}={0,1,2,3, 4,5},所以A∩B={0,1,2,3}.故选D. 2.C【命题意图】本题考查复数的基本概念和共轭复数的性质，要求考生理解复数的代数形式和 几何意义 【解题分析】由(（一23-2-i.得(-2(2-(2-i(2)-2+i,即-号+i.所以一号-i 则x十=1.故选C 3.D【命题意图】本题考查三角函数图象的对称性，要求考生理解函数图象的对称性质. 【解题分析】依题意，g(不)=f(0)=2sin(-）=一5. 4.C【命题意图】本题考查椭圆的离心率问题，要求考生理解椭圆的基本性质和计算方法. 【解题分析】因为P(0,b),Fc,0).所以线段PF的中点坐标为（台，受）。 因为椭圆C经过线段PF的中点，所以二+496 646=1,解得9=⑤ 4a3 即椭圆C的离心率为压故选C 5.A【命题意图】本题考查二项式的展开式，要求考生了解二项式定理的通项公式及特定项的运算. 【解题分析】(100-1)-(98+1)10-C98=1+2C98,故98除(100-1)1的余数是 1.故选A 6.B【命题意图】本题考查函数的奇偶性和零点问题，要求考生理解函数的基本性质和图象特征 【解题分析】因为（一x)=一x1十c0sx)=-x),所以函数∫(x)是奇函数，排除选项A: 因为1十c0sx>0,当x>0时.(x)=2x1十c0sx)>≥0，排除选项D:由(x)=0知函数 f(x)在x>0时的第一个零点为x=,且f(）=(受)=开<1，（写）=<1，由图中所标 的单位长度可知，选项B正确，选项C错误.故选B. 7.A【命题意图】本题考查条件概率的计算，要求考生掌握条件概率的概念和计算方法. 【解题分析】设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行， 在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即P(A|B), 于是PAB)=PAB)=C91-二g.故选A P(B)C(pq)(1-pq)1-pq 第1页（共8页） 【25·(新高考)Z公·MN·数学·Y】 8.B【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，要求考生掌握立体几何的 基本概念和空间想象能力。 【解题分析】设棱AB,AC,PA的中点分别为H,M,G,连接HF,MF,DG, D EG,DH,EM,构造长方体DGEN-HAMF,则长方体DGEN-HAMF外接 球的表面积即为三梭锥A-DEF外接球的表面积依题意，HD=号，HF 1,HA=2,设长方体DGEN-HAMF外接球的半径为R,则(2R)2=(号)月 ++(付》'-4号所以其外接球的表面积S=4R-受故选B 9.ACD【命题意图】本题考查二次不等式及基本不等式，要求考生理解不等式的基本性质和基本 不等式的应用. 【解题分析】由a”十2b≤3ab,得(a一b)(a-2b)≤0，解得b≤a≤2b,故A项正确，B项错误： 不妨令号=4，则1<2，期会+台-4+由函数的单测性可知2+<号，故C项正确： 令y+-+则-20 易知函数y=t2 号在区间1,2上单调递增则≥号，故D项正确，放选ACD 10.AC【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生掌握三角函数的基本性质和变换技巧. 【解题分析J因为c0s2么=号，所以加2a=√一cos2a-号，选项A正确：ama-0&= cos a 4 2sin acos a_ sin 2a 5 2cosa 1+cos 2a 1+3 2·选项B错误：2na十cse-2ana十1-1+1 cos a-sin a 1-tan a 1 =4,选 项C正确：由ana=分，可得sina 1 ，所以sim(a+天)+cos(a+开)=2sina √5 ++)=2cosa=2× 22/10 ,选项D错误.故选AC 5 5 11.BD【命题意图】本题考查抛物线的性质和几何问题，要求考生理解抛物线的基本性质和几何 计算方法。 x8+2p.xo=16 【解题分析】依题意，得 消去p整理得3x-1,+16=0,解得-号（合去） 或xo=2,所以p=7-2xa-3,选项A错误：抛物线C的方程为y2=6.x,得P(2,2√3)，因为P 为线段AB的中点，点A的纵坐标为0，所以点B的纵坐标为4√3，可得点B的横坐标为8，于 是m-4月-23 8-2 3 ,所以∠PA0=30,选项B正确；M(1,),F(号，o),由题图可知。 第2页（共8页） 【25·(新高考)ZX·MN·数学·Y) INF-1NM1≤Mr1-√1-)'+3-0=至，选项C错误：A(-4.0.Sa 5Mm-S=号1OAX(45-25)=45,选项D正确.故选BD, 12.16 【命题意图】本题考查导数与数列，要求考生掌握导数的运算及数列的迭代运算. x员十xx 【解题分析】因为了(x)=x2+x,所以∫'(x)=2x十1，则x1=x.一2x.+12x,十 因为1-1，所以：号一言 13.23【命题意图】本题考查长方体中的点、线、面关系，要求考生掌握长方体的几何性质和有关 距离的计算方法 【解题分析】如图，过点B作BP⊥AB1于点P,连接B1D,BD,因为 AD⊥平面ABB,A1, 所以AD⊥BP,则BP⊥平面ABD. 因为BP= 2a 2+a2√4+a 2a=5,解得a=2B. 14.2(√5+1)【命题意图】本题考查平面向量的数量积，要求考生理解长方形和半圆的几何性质 和计算方法. 【解题分析】如图，建立平面直角坐标系，设M(2cosa,2sina),0≤a≤ x.N(2+cosB.1+sin 则EM.EN=(2cosa,2sina)·(2+cosB,1+sinB) -icos a+2sin a2cos a B2sin asin B25sin(+2cos(cos s血0-25因为0<≤x,<受所以当。-9一号-0时，威，E武取得最大值，最大值为 2(5+1). 15.【命题意图】本题考查三角形的边角关系，要求考生理解三角形中正弦定理、余弦定理的应用. 【解题分析】(1)由asin(2A十B)=csinA及A十B+C=r, 得asin(A+r-C)=csin A, sin A sin C asin C-csin A, 由正弦定理得“。 所以sin(A十r-C)=sin(C-A)=sinC, 则C一A十C=π或C一A=C(舍去) 所以2C=x+A,即C=受+号， 第3页（共8页） 【25·(新高考)ZX·MN·数学·Y】 所以sinC=sin(受+号)=os分 5分 (2)由1)知，C-+所以cosC=os(+)=-s， 由余弦定理得cosC=Q2+b2-c32ub- 2ab 2ab -=1-2a6 当且仅当a=b时，等号成立， A、2ab-c2 所以-sin2≥ 2ab 12 2ab' 整理得c2≥2ab(1+sin含). …9分 (3)因为sin号=3，所以cos 3,simC-22 22 31 A A12 sinA=2sinos2-1号，cosA=号，cosC- 7 1 nB=nA+C)-oC+sA血C-1gx(-）+号×2号-1b2 …13分 3 27 16.【命题意图】本题考查四棱台的几何证明和线面角、二面角问题，要求考生掌握立体几何的证明 方法和线面角、二面角的计算. 【解题分析】1)连接BD,则BD=BD2+DD=(2/2)2+2=12, 因为M是A,B1的中点，AB=AM-2,AB∥A,M, 所以四边形ABMA,是平行四边形，则BM-AA,=√/(4一2)+2=22， 又D,M=4+22=20,且BD+BM=D1M,所以BD1⊥BM, 同理BD1⊥BN. 因为BM,BNC平面BMN,BM∩BN=B, 所以BD1⊥平面BMN.…5分 (2)依题意，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,0),B(2,2,2), C(0,4,0),M(4,2,0),N(2,4,0) Mi=(-2,0,2),MC=(-4,2,0),M=(-2,2,0),NB=(0, -2,2) 设平面BMC,的法向量为m=(x1,y1,21), 1MB·m=0,-2.x1+2x1=0, 则 即( MC·m=0.-4x1+2y1=0, 令x1=1,则1=1，y1=2,所以m=(1,2,1). 所以cosN店，m〉=一2 6X⑧6 第4页（共8页） 【25·(新高考)Z公·MN·数学·Y】 所以直线BN与平面C,BM所成角的正弦值为 6 …10分 (3)设平面BMN的法向量为n=(x2y2,22), MB·n=0,1-2x2+2x2=0, 则 即 MN.n=0. -2x2+2y2=0, 令x2=1,则z2=1,y=1,所以n=(1,1,1). 设二面角C1-BM-N的大小为0， 则cos0= m·n 1×1+1×1+2×1_2 m n √×3 3 所以二面角C1-BM-N的余弦值为 2 3 …15分 17.【命题意图】本题考查函数的单调性和零点问题，要求考生掌握函数的导数、单调性和零点 判定。 【解题分析】(1)因为f(x)=e-1-2x,所以f(1)=一1. 因为f'(x)=e-1-2,所以f(1)=-1. 所以曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为y一（一1）=一(x一1)，即y=一x.…4分 (2)对f(x)=e-1-u.x求导，得f'(x)=e-1-a. 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增，不合题意： 当a>0时，令f'(x)=e-1一a<0,得x<1+lna, 所以（一o∞，1十na)是函数f(x)的单凋递减区间， 因为f(x)在（一o∞，3）上单调递减，所以(-o∞，3)二（一o∞，1+1na), 得3≤1+na,解得a≥e2, 所以实数a的取值范围是[2，十o∞).…9分 (3)令f'(x)=e-1-a=0,得x=1+lna, 当x∈（一o∞，1+lna)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(1十lna,+o∞)时，'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=1十lna时，f(x)取得最小值， f(x)min=f(1+In a)=a-a(1+In a)=-aln a. 因为a∈(1，e],所以f(1+lna)<0. 因为f(0)=e1>0,所以f(x)在(-∞，1+lna)上有唯一零点. 又f(e2)=e-1-ae2,因为a≤e,所以-ae2≥-e3, 则f(e2)=e-1-ae2≥e3(e-1-1)>0, 所以f(x)在(1十lna,十o∞)上有唯一零点： 综上，函数f(x)有两个零点.…15分 18.【命题意图】本题考查概率模型和分布列问题，要求考生理解新定义的概率模型和分布列的计 算方法。 第5页（共8页） 【25·(新高考)Z公·MN·数学·Y】 【解题分析】(1)因为两个箱子是相同且透明的，不妨分别设为一号箱与二号箱，记事件A为“球 来自一号箱”，事件B为“球来自二号箱”，则取一次球后的结果是事件A或者事件B发生.又 因为每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，所以P(4)=P(B)=子，当一号箱 中的球被全部取完时，即已经发生了5次事件A,当二号箱还剩3个球时，即已经发生了5一3 =2次事件B,因此总共做了5十2=7次独立重复试验，并且第7次一定是事件A发生，即最后 一次取的球一定来自一号箱，否则最后一次取出的球来自其中某个箱子的概率将会不同.故前 6次取球中发生了4次事件A,2次事件B,最后一次是事件A发生，即P=C[P(A)门· [PBPA)=C()'-摄 …5分 而对于两个箱子而言，也是需要选择的，因此最终把一个箱子里的球全部取完而另一个箱子里 仅利3个球的概率为心·C(分)”-品 …9分 (2)不妨记“试验成功”为事件D,“试验失败”为事件F,由(1)情景可知Pascal分布所做的试验 满足总共做了n(n≥r)次独立重复试验，事件D发生了r次，事件F发生了n一r次，且第次 一定是事件D发生，故P(X=n)=P(D)·C[P(D)]-1[P(F)]r=p·Cp-1(1 p)"=Cp(1-p)-, 即其分布列为 X r+1 0 P" rp'(1-p) C01p'(1-p)"- …17分 19.【命题意图】本题考查双曲线的方程、切线和几何问题，要求考生理解双曲线的基本性质和几何 计算方法。 【解题分析11)由一条渐近线的方程为y一子，得会-写 3 由虚轴的-个端点到渐近线的距离为3平，不妨设一个端点为06)，则驴-3 37 41 所以b=√7，a=3. 则双曲线C的方程为号一号 =1 ....a.a..... …5分 (2)由1)知点F(4,0),因为点M在C上，且MF⊥x轴，所以M(4,) 设1：=my十n,与双曲线号写苦1联立。 得(7m2一9)y2+14my十7n2一63=0.因为直线l与双曲线C相切， 所以△=14m2n2-4(7m2-9)(7n2-63)=0,整理得7m2十n2-9=0①， 第6页（共8页） 【25·(新高考)ZX·MN·数学·Y】 又直线1：=my十n过点M(4,写)，得4=子m十n②， 由①@得m-是m-是，所以直线1的方程为x一是y+号， 所以点P的坐标为（号，o) 所以以线段MP为直径的圆的方程为（女-）x一40+(y-0)(-号)=0。 即x2+y2-25,2 4T- 23y十9—0……… ……10分 9 (3)如图，设直线DE的方程为x=ky+,D(x1,y), E().G(). 将x=y+代人写一1. 整理得(7张-92+受y--0, 16 63k y1+y2=- 2(7k2-9) 则 441 y1y2=一 16(7k3-9) 得十业2=8 7y2 yiyz k,得y1一8欢y-7 直线G的方程为y=一》令4得H(2 7y2 7y2 而8x2一25 7y2 8y,+号)-25 8ky2-7y1, 所以H(A,y1),即直线DH与x轴平行.… …17分 第7页（共8页 【25·(新高考)ZX·MN·数学·Y】按秘密级事项管理 启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分考试时间120分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效, 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合A={x|一3≤x十1≤4},B={x|x≤5,x∈N},则A∩B= A.{1,2,3} B.{-1,0,1,2} C.{1,2,3,4》 D.{0,1,2,3) 2.已知z是复数之的共轭复数,若(一2)z=2一i,则之十z= A.-2 B.2 C.1 D.-1 3.函数g(x)的图象与函数f(x)=2sin(2x-)的图象关于直线x=g对称,则 g()= A-1 B.1 C.√3 D.-√3 生.已知随圆C:2之2 +若=1(a>6>0)的右焦点为F,点P(0,b),若椭圆C经过线段 PF的中点,则椭圆C的离心率为 √5 A. 3 R号 号 第1页(共8项) 【25 (新高考)ZX MW 数学 Y】 5.98除(100一1)100的余数是 A.1 B.9 C.3 D.6 6.函数fx)=x(1+cosx)的部分图象大致是 f到 D 7.2024年中国在航天领域取得了重大成就,成功发射了多颗卫星.假设在一次卫星发 射任务中,有5颗卫星需要被送人预定轨道,每颗卫星成功人轨的概率为p,每颗卫星 入轨后,其在轨稳定运行的概率为9,且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件。 在有4颗卫星稳定运行(成功人轨后)的前提下,5颗卫星都成功人轨的概率为 A. 一9 一g B年器 c器 n许器 8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PA=3, AB=1,AC=2,D,E,F分别是棱PB,PC,BC的中点,则三棱 锥A-DEF的外接球的表面积为 A受 气 c D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知a>0,b>0,且a2+2b2≤3ab,则 Ab≤a B.2a≤b c+8≤ 6+、3 D 2a≥2 第2页(共8页) 【25 (新高考)ZX MW 数学 Y】 3 10.已知a为锐角,若cos2a=号,则 A血2a-号 B.tan a= 3 2sin a+cos a=4 cos a-sin a D.sina+)+co(+)5 11.如图,抛物线C:y2=2px(p>0)上有一点P(xo,yo)(xo∈ N,。>0,点P到原点的距离为4,到准线1的距离为7, 过点P的直线与x轴交于点A,与抛物线C交于另一点B, 且P为线段AB的中点,F是抛物线C的焦点,M是PO的 中点,N是抛物线弧PO上的动点,则 A.p=2 B.∠PAO=30 C.INF|-INMI≤3 D. POB的面积为43 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=x2十x的导数为f'(x),函数f(x)的“牛顿数列”{xn}满足xm+ f(xn) =。一n∈N4),者x1=1,则x= 13.在长方体ABCD-A1B,C1D1中,AB=2,BC=√2,AA1=a,点B到平面AB1D 的距离为3,则a= 14.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,以AB为直径在长 D 方形内作半圆E,以BC为直径在长方形外作半圆F,M,N分 别是半圆E和半圆F上的动点,则EM,E的最大值为 第3页(共8页】 【25 (新高考)2X MW 数学 Y】 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin(2A十B)=csin A. (1求证:血C=cos会 (2)求证:c2≥2ab(1+sin分). (3若如分-求s血B. 家 倒 线 第4页(共8页) 【25 (新高考)ZX MN 数学 Y】 16.(15分) 如图,在四棱台ABCD-AB,C1D1中,DD1垂直于底面,上、下底面均为正方形, AD=2,A1D1=4,DD1=2,M,N分别为A1B1,B1C1的中点. (1)证明:BD1⊥平面BMN. (2)求直线BN与平面C1BM所成角的正弦值. (3)求二面角C1-BM-N的余弦值. D 家 到 线 第5(迭8) [25 (新高考)ZX MN 数学 Y】 17.(15分) 已知函数f(x)=e-1一ax. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)函数f(x)在(一∞,3)上单调递减,求实数a的取值范围; (3)若a∈(1,e],证明函数f(x)有两个零点. 18.(17分) 在一次试验中,事件A发生的概率为p,若以x表示本次试验中事件A发生的情 况,且x仅取1,0(1表示事件发生,0表示事件不发生)两个值,则这样的分布称为 两,点分布.在n次这样的独立重复试验中,如果每一次试验都服从两点分布,且每 一次试验中目标事件成功发生的概率恒为力,以X表示需要试验的次数,则目标 事件成功发生r(X≥r)次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布,记为X~ PA(r,p). (1)某商场有两个相同且透明的抽奖箱,每个箱子里有5个球,每次抽奖就随机从 两个箱子中不放回地抽出一个球,假设在箱子里的球没有被取完之前,每次取 出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的,求当把一个箱子里的球全部取 完时,另一个箱子里仅剩3个球的概率; (2)求服从Pascal分布的X~PA(r,p)的分布列. 19.(17分) 已知双曲线C名一X1(@>0,b>0)的一条渐近线的方程为y一 3x,虚轴的 一个端点到渐近线的距离为 w7 4 双曲线C的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥ x轴,过点M与C相切的直线l与x轴交于点P. (1)求双曲线C的方程. (2)若点M在x轴上方,求以线段MP为直径的圆的一般方程. (3)过点P的直线交双曲线C于D,E两点(点D在双曲线的左支上,且不为左顶 弥 点),G为线段PF的中点,直线GE与MF交于点H,求证:直线DH与x轴 平行 线 第8页(共8) [25 (新高考)ZX MN 数学 Y】