精品解析：2025年广东省湛江市雷州市九年级五校九年级第二次联考二模数学试题

24－25学年雷州市九年级五校联考第二次模拟 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据简单几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】解：A．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不一定相同，故此选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； C．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意； D．三棱柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 将等边三角形如图放置，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 4. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6 人数（人） 4 4 8 10 8 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是3.5次 B. 中位数是4次 C. 众数是4次 D. 样本容量是40 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方法、众数和样本容量的定义． 根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断A、B，根据众数和样本容量的定义判断C、D即可． 【详解】解：A、平均数为，原说法错误，故此选项符合题意； B、中位数是第20个和第21个数据点的平均值，均落在4次的范围内，因此中位数是4，正确，故此选项不符合题意； C、出现次数最多的数据是4次（10人），因此众数是4，正确，故此选项不符合题意； D、样本容量为，正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋转的性质可得，，，再利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及菱形的判定与性质，根据题意证明四边形为菱形，再根据勾股定理求出的长，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点E、F分别是、中点， ∴平行且相等，即为平行四边形， 又∵在中，E为的中点， ∴， ∴为菱形， ∵，，， ∴，， ∴ ∴的周长为， 故选：D． 8. 如图，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°，∠B的度数（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先连接BD，由AD是⊙O的直径，可求得∠ABD=90°，然后由∠A=30°，根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠C的度数，又由BC=CD，求得∠DBC的度数，继而求得答案． 【详解】解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵∠A=30°， ∴∠C=180°-∠A=150°， ∵BC=BD， ∴∠DBC=15°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=105°． 故选择：D. 【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9. 如图，中，，点D在上，，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 13. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，某事件的概率这个事件发生的结果数除以总的结果数．直接利用概率公式计算． 【详解】解：出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为． 故答案为：． 14. 若m、n为实数，且，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】， 本题考查了绝对值与算术平方根的非负性质，负整数指数幂，求代数式的值；利用非负性求出m与n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键． 过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值． 【详解】解：过作轴于， ∵， 则， 设， 则， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 18. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 19. 如图，在，． （1）使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 为所求作的边上的中线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—中线的作法，勾股定理，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，理解相关知识是解答关键． （1）分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接即可求解； （2）利用含的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求解． 【小问1详解】 解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线． 【小问2详解】 解：，， ． 在，， ， ， ． 是中边上的中线， ． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 某校为了了解初中学生最喜爱的球类运动项目，以“从．篮球，．乒乓球，．足球，．排球，．羽毛球中，选一项你最喜爱的运动项目”为题随机抽查了部分学生，并将调查结果进行了整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查中，抽查的学生共有多少人？ （2）求抽查的学生中，最喜爱篮球项目的人数，并补全条形统计图； （3）估计该校1600名初中学生中，最喜爱篮球项目的人数； （4）请你为该校提一条合理建议． 【答案】（1） （2）最喜爱篮球项目的人数为， 补全图形如图所示： （3）名 （4） 因为喜欢篮球的学生较多，建议学校增加篮球器材、增加篮球场地等．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据“乒乓球”的人数与占比求出此次调查的总人数 （2）根据总人数，求出喜爱羽毛球的人数，用总人数减去其他四项的人数，求出喜爱篮球项目的人数，最后补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）根据最喜爱的球类运动项目所占百分比解答即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：被抽查的总人数为：（名）， 【小问2详解】 被抽查的总人数为：（名）， ∴被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为： （名）， 被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为： （名）， 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校名初中生中最喜爱篮球项目的人数为名． 【小问4详解】 略 21. 嵩岳寺塔位于郑州登封市城西北5公里处的嵩岳寺内，是唯一平面为十二边形的古塔，我们所看到的郑州地标建筑之一——大玉米楼的创作原型，便是来自嵩岳寺塔．当地某数学实践活动小组的同学们使用无人机对该塔的高度进行测量：先在该塔正前方广场地面C处测得塔尖A的仰角为，然后操控无人机飞到C点正上方14米的D处测得塔尖A的仰角为，A，B，C，D四点在同一个平面内，求塔高为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：） 【答案】塔高约为36.8米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．通过作垂线构造直角三角形，过点作，垂足为，由特殊锐角的三角函数可得，在中，利用锐角三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为，则四边形是矩形， 米， 由题意可知，， 在中，由于， ， 设米，则米，米， 在中， 由， 得， 解得（米， 经检验是原方程的解， 即米， 答：塔高约为36.8米． 22. 问题探究： 如图①，直线l与相切于点P，点A，点B为上两点，点Q为直线l上异于点P的任意一点，试探究与的大小关系，并证明你的结论．问题解决： 某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图②，为水鸟园的建设用地，其中公里，公里，，根据修建要求，内部为水鸟戏水区，在边上要修建一段长为公里的水岸（F在左，G在右），供水鸟上岸休息；在两边上各修建一个游客观赏点D和E，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的美景时感到最舒适（研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适）是否存在满足条件的观测点D、E和水鸟休息区？如果存在，求此时和的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， 证明：记与交于点， ∴， ∵， ∴； （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得到，再由三角形的外角性质即可得到； （2）作的外接圆，记为，由（1）可知最大，则同时与相切，切点即为符合题意的点，当同时与相切时，切点记为点，连接，延长交于点，过点作于点，则，，由，得，在中由勾股定理得，，求出，，，再解直角三角形求出，最后由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：存在，理由如下：如图，作的外接圆，记为，由（1）可知最大，则同时与相切，切点即为符合题意的点， 如图，同时与相切时，切点记为点，连接，延长交于点，过点作于点， 则设，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（不合题意，舍）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，确定相切时有最大张角是解题的关键． 五、解答题（13＋14，共27分） 23. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； （2）点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 【答案】（1），直线，， （2）①点M是线段的中点，理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 此时点M的坐标为， 当时，，即点P的坐标为，， 点M为线段的中点； ② 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用． （1）将点代入中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可； （2）①设直线的表达式为，从而求出M的坐标为，根据二次函数解析式，求出点P的坐标为，进而判断即可； ②将的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：将点代入得，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， 点C关于对称轴的对称点的坐标为； 【小问2详解】 解：①略 ②设，，则， ， ， 当时，最长， 将代入，得，即， 当线段最长时，点M的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24－25学年雷州市九年级五校联考第二次模拟 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将等边三角形如图放置，，．则（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 1 2 3 4 5 6 人数（人） 4 4 8 10 8 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是3.5次 B. 中位数是4次 C. 众数是4次 D. 样本容量是40 5. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 6. 如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°，∠B的度数（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，中，，点D在上，，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 10. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______． 13. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为__________． 14. 若m、n为实数，且，则为_______． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 18. 先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19. 如图，在，． （1）使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 某校为了了解初中学生最喜爱的球类运动项目，以“从．篮球，．乒乓球，．足球，．排球，．羽毛球中，选一项你最喜爱的运动项目”为题随机抽查了部分学生，并将调查结果进行了整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查中，抽查的学生共有多少人？ （2）求抽查的学生中，最喜爱篮球项目的人数，并补全条形统计图； （3）估计该校1600名初中学生中，最喜爱篮球项目的人数； （4）请你为该校提一条合理建议． 21. 嵩岳寺塔位于郑州登封市城西北5公里处的嵩岳寺内，是唯一平面为十二边形的古塔，我们所看到的郑州地标建筑之一——大玉米楼的创作原型，便是来自嵩岳寺塔．当地某数学实践活动小组的同学们使用无人机对该塔的高度进行测量：先在该塔正前方广场地面C处测得塔尖A的仰角为，然后操控无人机飞到C点正上方14米的D处测得塔尖A的仰角为，A，B，C，D四点在同一个平面内，求塔高为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：） 22. 问题探究： 如图①，直线l与相切于点P，点A，点B为上两点，点Q为直线l上异于点P的任意一点，试探究与的大小关系，并证明你的结论．问题解决： 某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图②，为水鸟园的建设用地，其中公里，公里，，根据修建要求，内部为水鸟戏水区，在边上要修建一段长为公里的水岸（F在左，G在右），供水鸟上岸休息；在两边上各修建一个游客观赏点D和E，使游客在这两个点观赏水鸟上岸成群栖息的美景时感到最舒适（研究发现，当我们观赏景色的视线张角最大时，观感最舒适）是否存在满足条件的观测点D、E和水鸟休息区？如果存在，求此时和的长；如果不存在，请说明理由． 五、解答题（13＋14，共27分） 23. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； （2）点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $