第1讲 集合 导学案- 2026届高考数学第一轮复习讲义

【第一轮复习】 第1讲 集 合 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系. 了解全集与空集的含义； 2. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集0 3. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 4. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 5. 能使用韦恩图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 2、 知识梳理 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特征：__确定性__、互异性、无序性． (2) 元素与集合的关系是__属于__或__不属于__，用符号 或 表示． (3) 集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4) 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) __(或)__ 真子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 __(或)__ 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 __A＝B__ 　　3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 3、 重要结论 1． 若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为__2n__，真子集的个数为__2n－1__，非空子集个数为__2n__，非空真子集的个数为__2n－2__. 2． ___ ________. 3． __∅_；___； ___. 4． A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A 5． A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1）存在没有子集的集合. ( ) （2）集合和表示同一个集合．( ) （3）( ) （4）集合，用列举法表示为, ( ) （5）对于任意两个集合，，关系 恒成立. ( ) 【答案】（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ 2．［教材改编题］已知全集为，集合，或 . 求：（1）； （2）； （3）. 【解析】或，，或. （1）. （2）. （3）. 3．［教材改编题］已知集合，若，则实数的值为 ． 【解析】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去； 当，即（舍）或，此时， 集合满足题意. 综上所述，实数的值为. 4． ［教材改编题］已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】联立，解得， 所以，即集合的元素个数是1. 故选：B． 5． ［教材改编题］已知集合，，若 ，则实 数 的取值范围是________. 【解析】由图可知 . 故答案为： 5、 题型剖析 题型一：集合的概念与表示 例题1（1）（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】, 因为, ，符合条件，所以，故A错误； , 因为, ，符合条件，所以，故B错误； , 因为, ，符合条件，所以,故C正确； , 因为, ，不符合条件，所以，故D错误； 故选：C. （2）（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【解析】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【通解通法】 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集； 2. 常见集合的意义： 集合 集合的意义 {𝑥|𝑓(𝑥)=0}  方程𝑓(𝑥)=0 的解集 {𝑥|𝑓(𝑥)>0}  不等式𝑓(𝑥)>0 的解集 {𝑥|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 的定义域 {𝑦|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 的值域 {(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 图象上的点集 3. 含参集合问题：①要特别注意元素的互异性；②分类讨论的思想方法. 跟练一：集合的概念与表示 跟练1（1）（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（     ） A． B． C． D． 【解析】集合. 故选：B. （2）（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（     ） A． B． C． D． 【解析】由题可知且 解得. 故选：C. 题型二：集合的基本关系 例题2（1）（2024·山西阳泉·三模）设集合 ，则集合与集合的关系是（     ） A． B． C． D． 【解析】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. （2）（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【解析】因为非空集合，，所以， 又，所以，所以，即的取值范围是. 故答案为： 【通解通法】 1. 判断两集合之间的关系的方法： 当集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断； 当集合含参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用枚举法. 2. 要确定非空集合P的子集的个数，需先确定集合P 中的元素的个数，再求解. 3. 根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是：将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴来解决这类问题. 特别注意：必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 跟练二：集合的基本关系 跟练2（1）（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（     ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【解析】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C （2）（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】由题意可得，共3个. 故选：A （3）（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以当，即时， ，满足，即； 当，即时， ，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 题型三：集合的基本运算 角度1：不含参集合的基本运算 例题3（1）（2025·广东中山·模拟预测）设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【解析】∵，，∴. 又，∴. 故选：A. （2）（2025·山东泰安·二模）已知集合，集合，则为（     ） A． B． C． D． 【解析】集合， ， 所以 . 故选：A. （3）（2025·河南周口·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得， 当时，则，故， 因此，故 ， 故选：C 【通解通法】 解决不含参数集合的基本运算的三点关键： 1. 首看元素组成. 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. 2. 化简集合. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决. 3. 根据集合元素特征可分为三类：可列举型集合、不等式型集合、图型集合. 可列举型集合：化简到列举出所有元素；不等式型集合：解不等式化简；图型集合：画出对应图象. 角度2：含参集合的基本运算 （4）（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以或， 所以，所以， 因为，所以，所以实数的取值范围为. 故选：. 【通解通法】 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种考查方式： （1）用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素； （2）由描述法表示的集合，一般要先对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况， 特别要注意端点值的情况. 主要有根据并集=R(≠R)和交集=∅(≠∅)两种情况求参数范围. 角度3：Venn图求集合 （5）（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（     ） A． B． C． D． 【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 【通解通法】注意数形结合思想的应用. 集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图. 跟练三：集合的基本运算 跟练3（1）（2025·湖北·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【解析】由得或， 所以或， 因为，所以. 故选：C. （2）（2025·新疆·三模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【解析】，，故，， 若，此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，此时，不合要求， 综上，. 故选：C （3）（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C （4）（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为，所以，，而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 6、 走进高考 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为集合，，所以，故选：B 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，， 则（     ） A． B． C． D． 【解析】由题意得. 故选：C. 3．（2024·全国甲卷（理科）·高考真题）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 则， 故选：D 4．（2024·新高考I卷·高考真题）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，且注意到， 从而 . 故选：A. 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【第一轮复习】 第1讲 集 合 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系. 了解全集与空集的含义； 2. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集 3. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 4. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 5. 能使用韦恩图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 2、 知识梳理 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特征： 、 、 ． (2) 元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示． (3) 集合的表示法： 、 、 ． (4) 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*(或N＋) Q R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) _________________ 真子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 _________________ 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 _________________ 　　3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 3、 重要结论 1． 若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为_______，真子集的个数为_______，非空子集个数为_______，非空真子集的个数为_______. 2． _____________________. 3． _______；_______； _______ 4． A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A 5． A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1）存在没有子集的集合. ( ) （2）集合和表示同一个集合．( ) （3）( ) （4）集合，用列举法表示为, ( ) （5）对于任意两个集合，，关系 恒成立. ( ) 2．［教材改编题］已知全集为，集合，或 . 求：（1）； （2）； （3）. 3．［教材改编题］已知集合，若，则实数的值为 ． 4． ［教材改编题］已知集合，则集合的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5． ［教材改编题］已知集合，，若 ，则实 数 的取值范围是________. 5、 题型剖析 题型一：集合的概念与表示 例题1（1）（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． （2）（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【通解通法】 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集； 2. 常见集合的意义： 集合 集合的意义 {𝑥|𝑓(𝑥)=0}  方程𝑓(𝑥)=0 的解集 {𝑥|𝑓(𝑥)>0}  不等式𝑓(𝑥)>0 的解集 {𝑥|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 的定义域 {𝑦|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 的值域 {(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑓(𝑥)}  函数𝑦=𝑓(𝑥) 图象上的点集 3. 含参集合问题：①要特别注意元素的互异性；②分类讨论的思想方法. 跟练一：集合的概念与表示 跟练1（1）（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（     ） A． B． C． D． （2）（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（     ） A． B． C． D． 题型二：集合的基本关系 例题2（1）（2024·山西阳泉·三模）设集合 ，则集合与集合的关系是（     ） A． B． C． D． （2）（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【通解通法】 1. 判断两集合之间的关系的方法： 当集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断； 当集合含参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用枚举法. 2. 要确定非空集合P的子集的个数，需先确定集合P 中的元素的个数，再求解. 3. 根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是：将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴来解决这类问题. 特别注意：必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 跟练二：集合的基本关系 跟练2（1）（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（     ） A． B． C．⫋ D．⫋ （2）（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 （3）（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型三：集合的基本运算 角度1：不含参集合的基本运算 例题3（1）（2025·广东中山·模拟预测）设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． （2）（2025·山东泰安·二模）已知集合，集合，则为（     ） A． B． C． D． （3）（2025·河南周口·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【通解通法】 解决不含参数集合的基本运算的三点关键： 1. 首看元素组成. 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. 2. 化简集合. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决. 3. 根据集合元素特征可分为三类：可列举型集合、不等式型集合、图型集合. 可列举型集合：化简到列举出所有元素；不等式型集合：解不等式化简；图型集合：画出对应图象. 角度2：含参集合的基本运算 （4）（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【通解通法】 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种考查方式： （1）用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素； （2）由描述法表示的集合，一般要先对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况， 特别要注意端点值的情况. 主要有根据并集=R(≠R)和交集=∅(≠∅)两种情况求参数范围. 角度3：Venn图求集合 （5）（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（     ） A． B． C． D． 【通解通法】注意数形结合思想的应用. 集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图. 跟练三：集合的基本运算 跟练3（1）（2025·湖北·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． （2）（2025·新疆·三模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． （3）（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（     ） A． B． C． D． 6、 走进高考 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，， 则（     ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷（理科）·高考真题）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 4．（2024·新高考I卷·高考真题）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$