【三轮冲刺】专题09 圆综合解答题压轴（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题09 圆综合解答题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第26题：此题主要考查的是圆综合，其中以相似三角形与圆综合为主分值10分，难度中等； ❆常州卷：解答题第26题：此题主要考查的是尺规作图与圆综合应用，分值10分，难度中等； ❆苏州卷：解答题第25题：此题主要考查的是圆综合应用，其中主要以圆的基本性质为主结合三角函数进行考查，分值8分，难度中等； 题型一：圆综合之证明切线问题（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：过点作于，连接， ， ， 由（1）得， ， ， ， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)28 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴为的切线； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（）由是的直径，弦于点，得垂直平分，所以，由切线的性质得，由，，推导出，即可证明DF是⊙O的切线； （）由，，得，则，所以，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点， ∴， ∴垂直平分， ∵过点作的切线，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析；(2)的长为4． 【分析】本题考查了切线的证明，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先通过，得到，结合是的平分线，推出，从而知道，判定，再利用平行线的性质，推出，得证； （2）在，利用，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， 的长为4． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是直径，是弦，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)3 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可求得，则，可证明直线是的切线； （2）若于点，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线； （2）勾股定理求得，进而可得，设的半径为，解求出，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， 又 ∵是的切线，点是切点， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ， 在中，， ， ∴在中，， 在中，， 设的半径为， ， ， ， ， ， ∴的半径为． 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)见解析(2)①；②． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得：，证明，可得是的切线； （2）①连接，根据勾股定理得到，三角函数的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，于是得到； ②根据勾股定理得到，，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：①连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴； ②在中，， 在中，， 连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线 (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②直接写出的长度：______． 【答案】(1)见解析(2)①的长为4；② 【分析】连接，交于点H，则，由是的直径，点D是的内心，得，，则，所以，则，而，所以，即可证明是的切线； ①连接，则，由，得，则，因为，所以，由，得，求得，则，由，，得； ②作于点I，由，推导出，求得，则，所以，，求得，由，求得，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点H， 则， ， 是的直径，点D是的内心， ，． ． ． ． ， ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：①连接， 则， ， ． ． ， ． ，， ． ， ， 于点H， ， ， ， 的长为 ②作于点I，则， ， ． ． ， ． ． ． ． ， ． ， ． ． 故答案为： 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）连接，设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，在中，可得，再由为的直径，可得，然后根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， 设的半径为r，则，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即点到的距离为． 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可； （2）设与交于点G，连接，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ． ， 是的半径， 为的切线； （2）解：设与交于点G，连接，如图， 为的直径， ， ， 四边形为矩形． ． 在中， ，， ． 设，则． ， ， 解得：， ． ． ， ． ， ， ． ． 14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，△ABC内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理，垂径定理是解题的关键． （1）连接，利用半径相等得到，再利用垂直的定义结合等量代换证得，即可证明是的切线； （2）利用垂径定理得到，利用三角形中位线定理得到，再结合已知求得半径，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴． ∴． 15．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，为的直径，交于点，连接，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【分析】（1）连接，为的直径得，由，根据等腰三角形性质得平分，即，则为的中位线，所以，而，则，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由，根据等角的余角相等得，在中，利用解直角三角形的方法可计算出，在中可计算出，然后由，得，再利用相似比可计算出． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， 又， ， ， 即， 解得． 16．（2024·江苏无锡·二模）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由AD是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，，得，则，由勾股定理求得，再证明，得，则，且，于是得，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得：， 的长为． 17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】本题考查圆的切线，圆周角定理、相似三角形的判定及性质； （1）连接，由平分，，可得，，根据，得，即可证明是的切线； （2）由是的中位线，得，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图： 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，且， 是的中位线，， ， ． 是的直径， ． 又， ， ，即， ． 18．（2024·江苏无锡·三模）如图，△ABC内接于，的平分线交于点G，过G作分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 题型二：圆综合之直线与圆的位置关系（高频考点） 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】(1)为的切线．理由见解析；(2)线段的长为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)与相切，理由见解析(2)的半径长为 【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图所示， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵过半径的外端点B， ∴与相切； （2）解：设，则， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故的半径长为． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，△ABC中，，点在上，过点，分别与、交于、E，是的切线交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点，的半径为3，，求的长． 【答案】(1)；理由见解析(2)8 【分析】本题主要考查切线的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）连接OD．证明，得，得由切线的性质得，从而可得结论； （2）连接．证明四边形是正方形，得，设，则，，在中，由勾股定理可求出,从而可求出． 【详解】（1）解：猜想：； 证明：连接OD． ， ． ， ， ， ， ∴ 是的切线， ， （2）解：连接． ∵与相切于点， ， ． 四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ， ， ∴， ． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 解得，． 即的半径为． 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知△ABC中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析；(2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可知，那么，根据等腰三角形三线合一，，结合，得到，从而得到，从而判定直线是的切线； （2）连接，，由（1）可知，，结合，根据三角形中位线，可知，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，那么，结合，得到，推出，从而算出，最后通过算得答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 连接，如图所示： 是直径 ， 直线是的切线； （2）解：连接，，如图所示： 由（1）可知，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 的半径为3， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】(1)与相切，理由见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，弦与圆周角之间的关系，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明是等边三角形，，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论； （2）以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点D即为所求． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点； 可证明，则在以A为圆心，半径为的圆上， 则， 可证明，则，则是等边三角形， 由可得，即． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，，过，，的交于点． (1)求证； (2)连接，当时，判断直线与的位置关系，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）通过圆周角定理可知，利用特殊的平行四边形——正方形的性质可得，证明即可求证； （2）连接，．结合题意即可得，结合平行四边形的性质——对角线互相平分可得，利用平行的判定和性质即可得，即与相切；连接，过点作，垂足为，先证得，利用角平分线的性质得，即可证得，设，正方形的边长为1，则，，，即可通过勾股定理得 ，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，且， ， ． 在和中， ， ， ， ． （2）解：如图，连接，，，过点作，垂足为． 在和中， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， ， 与相切． ， ， ， 由（1）得，， ， ，， ，， 在和中， ， ． 设，， ，，， 在中，， ，解得， 由（1）得， ． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，点E是的中点，以为直径的与边交于点 D，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若， ，求直径的长． 【答案】(1)相切，理由见解析(2) 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为直角得出，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，则利用等腰三角形的性质得，由于，即得出，即，即可根据切线的判定定理得到与相切； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）解∶ 直线是的切线． 理由：连接，如图， ∵为直径， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是的半径， ∴与相切； （2）解∶ 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∴直径为． 9．（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，，为的外接圆，点P是所对弧上一动点，连接，，，并延长至E，连结． (1)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)试猜想，，之间的数量关系为______，证明你的猜想． 【答案】(1)与相切，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由， 证明是的直径， 则， 由，变形得而， 即可证明，得， 所以直线与相切； （2）延长到点， 使， 连接， 则，， 由， ， 得，则， 所以， 而， 即可证明， 得则， 所以于是得到问题的答案. 【详解】（1）直线与相切， 理由： ∵， ∴是的直径， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， 且， ∴直线与相切. （2） 证明：延长到点，使， 连接， 则， ∴，， ∵， ，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为： ． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆上一点，，延长，相交于点M． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)见解析 【分析】（1）连接、，根据证明，则可得，即可证明与相切． （2）连接、，由，可得垂直平分．再证，则可得，进而可得． 本题考查了切线的判定、线段垂直平分线的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．遇切线连半径，这是常用的作辅助线方法．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下， 连接、， ∵四边形是正方形， ∴ ∵在和中， ，，， ∴． ∴． ∴，且点E在圆上， ∴直线与相切． （2）证明：连接、， ∵是直径， ∴． ∵，， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∴． 即． 题型三：圆综合之阴影部分的面积（高频考点） 1．（2024·江苏盐城·二模）如图，在△ABC中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证； （2）先证明四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形，由即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E． ，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，是的中点， ， ∴是等边三角形， ， 的半径为3， ， ，， 阴影部分的面积． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析(2) 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E． (1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； (2)若，且，求切线的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先证明，设，则，，，根据四边形的面积是，构建方程求出m，求出，，，再根据，求解即可； （2）在中，，可以假设，则，，，在中，根据，构建方程求出x，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵E恰好是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 设，则，，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴设，则，，， 在中，， ∴， ∴或（舍弃）， ∴，，， ∵是切线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，． (1)证明：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先得出，再结合，则，即可作答． （2）连接，求出，再运用勾股定理算出，结合三角形面积公式以及扇形的面积公式，列式计算，即可作答． 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径， 又， 即， ， 是半径， 直线与相切． （2）解：连接， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， 又为的内心 ∴ 又为的直径 又∵ ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， =． 7．（2025·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由与相切于点A，得，则，由于点E，得，则，所以，则； （2）作于点F，由是的切线，得，可证明四边形是矩形，由的直径，得，而，则是等边三角形，所以，，则，求得，，由，求得，即可由求得． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：作于点F，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的直径，且， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，勾股定理，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）连接，证明，推出，即可证明为的切线； （2）设，根据题意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函数求得，再根据阴影部分的面积，利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，连接，设， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴阴影部分的面积 ． 10．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由与相切，可得．由．可得．由，可得，则， （2）如图，连接，过点O作．则．为等边三角形．，．．．证明四边形为矩形．则，． ，，． 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点O作． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为矩形． ∴，． ∴，，． ∴， ∴阴影部分面积为． 11．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积等知识: (1）以点为圆心，长为半径画圆交于点，作直线交于点，连接，交于点，作直线，则直线为的切线； （2）证明，求出，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知，是的切线， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， ，． 阴影部分的面积为． 12．（2024·江苏淮安·一模）如图，是△ABC的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算． （1）连接，如图，先根据切线的性质得，再根据平行线的性质，由得，根据，则，接着证明，得到，于是可根据切线的判定定理得到是的切线； （2）求出的长，根据“” 进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，且 ∴ 由勾股定理得， 又， ∴ 解得， ∴ 13．（2024·江苏扬州·二模）如图，△ABC中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)，阴影部分的面积为 【分析】（1）如图1，连接，由，根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得，即可证得结论； （2）过圆心作，垂足为点，连接，根据垂径定理，则得，进而得到，再根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，证得四边形是矩形，得到，再根据全等三角形判定“边角边”，证得，得到，，易证得，是等边三角形，结合特殊三角函数值即可计算出的值，的值，然后计算出扇形的面积，的面积，的面积，最后根据阴影部分面积=的面积+的面积-扇形的面积，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 以为直径的交于点， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：如图2，过圆心作，垂足为点，连接， ，， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ． 14．（2024·江苏徐州·二模）如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析(2) 【分析】本题考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的判定及性质等知识， （1）首先证明，得出，即可得出直线是的切线； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出，则，以及的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可． 【详解】（1）解：直线是的切线， 理由：连接，， ∵直线l与相切于点M， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 为直径， ∴直线是的切线； （2）过点O作于点N，    ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，则， ∴图中阴影部分的面积为：． 题型四：圆综合之尺规作图结合（高频考点） 1．（2024·江苏无锡·三模）如图，已知△ABC（）， (1)尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的外接圆与△ABC重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）作过点B作直线，交的延长线于点E，作的平分线，交于点N，过点N作的垂线m，垂足为D，直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； （2）先证明，根据外接圆知识得到的外接圆直径为，连接，作，垂足为F，求出，，，进而求出，根据勾股定理求出，即可求出的外接圆与重叠部分的面积为． 【详解】（1）解：如图，①作过点B作直线，交的延长线于点E， ②作的平分线，交于点N， ③过点N作的垂线m，垂足为D， 直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； 证明：由作图得为的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴和关于直线对称； （2）解：如图2，由题意得， ∴， ∵， ∴的外接圆直径为， 连接，作，垂足为F， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的外接圆与重叠部分的面积为． 故答案为： 2．（2024·江苏徐州·三模）如图，已知在△ABC中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接．试判断直线与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析(2)相切，理由见解析 【分析】（1）由题意知，是的垂直平分线，作垂线交延长线于点即可； （2）如图2，由为切线，可得，由，，可知 垂直平分，证明，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1；          图1 （2）解：如图2，与相切，理由如下；       图2 ∵为切线， ∴， ∵，， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， 与相切． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，在△ABC中，是△ABC的重心，的延长线交边于点．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点B，且与相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与半径相交于点D，交于点E，连接．若，则弓形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，扇形的面积计算以及弓形的面积计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 （1）过点作，作的垂直平分线交直线于点，以为圆心、以的长为半径作即可； （2）设直线交于点，连接、，则，先证明，进一步证明得到，再设的半径为，并根据是的重心和得到和，进一步构造关于的方程求出，最后根据求解． 【详解】（1）如图，以为圆心、以为半径画弧交于点飞，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于、，作直线；分别以、为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于、，作直线交直线于点，以为圆心、以的长为半径作，则即为所求       （2）如图，设直线交于点，连接、，则     ， ， ， 与相切于， ， ， ， ， 是的重心，， ， 设的半径为，则， ， 解得：； 检验：经检验知是原方程的根， ， ， ． 4．（2024·江苏苏州·二模）如图所示，在△ABC中， ，，点O为边上一点，以O为圆心的圆经过点A，B． (1)求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线； (3)若点P为圆O上一点，且弧弧，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)线段的长为或 【分析】本题考查的是尺规作图——作垂直平分线，圆的切线的判定及垂径定理应用，全等三角形的判定与性质， （1）作线段的垂直平分线即可解决； （2）连接，求出即可证明结论； （3）由题意分两种情况：符合条件的点P有两个，分别是线段的垂直平分线与交点和，连接和，分别求出即可． 【详解】（1）解：如图，圆O即为所求； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的半径， ∴是的切线； （3）∵弧弧， ∴符合条件的点P有两个，分别是线段的垂直平分线与交点和，连接和， 作于点E， ∵， 根据垂径定理，得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 作于点D，则，， ∴， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∴． 综上所述：线段的长为或． 5．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．    (1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、正切函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先作的垂直平分线得到的中点E，再以为半径作交于B、Q，根据圆周角定理得到，连接即可． （2）①先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等即可证明结论；②由圆周角定理、平行线的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据勾股定理列方程求得,即；然后再根据①的结论运用正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求；    （2）解：①∵, ∴， ∵， ∴, ∴， ∵是直径， ∴, ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴． ②∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵,, ∴, ∵， ∴, ∵,即, ∴,解得：,即, ∵， ∴，即, ∴,解得：． 6．（2024·江苏无锡·二模）在△ABC中，，，，点在上，且． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出，使得经过点，且与边相切于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)直接写出的半径为 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）作的中垂线，过作的垂线交于，以为圆心，为半径作； （2）如图1中，过点作于点，于点，过点作于点，交于点．证明，可得，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）解：如图1中，过点作于点，于点，过点作于点，交于点． ，，， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·江苏泰州·三模）如图，是△ABC的外接圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注：每个工具只限用一次）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质是解题的关键． （1）如图，以为圆心，长为半径画弧交于，连接，交于，点即为所求； （2）由，可得，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于，连接，交于， 连接， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所作； （2）解：∵， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的长为． 8．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）过点作交于点，即为弦的中点，利用正方形性质、平行线性质、垂径定理即可证明为弦的中点； （2）连接，，利用平行线分线段成比例得到，设，利用勾股定理表示出，，，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作交于点， 即为弦的中点， 证明如下： 四边形为正方形， ， ， ，即， ， 即为弦的中点； （2）解：连接，， 正方形的边长为4， ，， 与相切于点P． ， ， ， ， ， 设， 则，，， 为的直径， ， ， 解得， ． 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在△ABC中，，，． (1)△ABC的面积是____________； (2)尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、尺规作线段垂直平分线、圆切线的判定定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质、尺规作线段垂直平分线是解题的关键． （1）过点作于点，推出，，根据含角的直角三角形的性质，得出，根据勾股定理计算，推出，根据等角对等边得出，则，根据的面积，计算即可； （2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，延长，在延长线上截取，分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，和线段的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质，则，，以点为圆心，为半径作出，根据圆切线的判定定理，则与相切于点，故即为所求；过点作于点，连接，利用证明，推出，求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，． ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求作的， 如图，过点作于点，连接， ∵经过点，同时与相切于点，由（1）得，， ∴，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 10．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【分析】（1）根据轴对称的性质，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，点即为所求； ∵点、关于直线对称， ∴， 又∵， ∴； （2）如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，则点即为所求． ∵点、关于直线对称， ∴，， ∵为直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2025·江苏南通·一模）如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线，于点E，F． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）连结，根据圆的切线的性质得，然后根据角平分线的作图及等腰三角形的性质可证明，即可证明结论； （2）先根据直角三角形的性质求得，再根据相似三角形的判定与性质，即可求得答案． 【详解】（1）证明：连结， 与半圆O相切于点D， ， 由题意知，平分， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：连结， 由（1）知，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的直径， ， ， ， ， 解得． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰△ABC中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰上． (1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：与相切； (3)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为 ． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图的△ABC内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，，，过点作交于，根据勾股定理求得，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据角平分线的定义知，再根据等边对等角知，所以，然后根据解直角三角形的知识得，，，最后根据直径、弦、围成的封闭图形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接，，，过点作交于，如图所示： ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，，，， ，， 到、的距离相等， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， 直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． (2)在（1）的条件下，若，，则长为_________． 【答案】(1)①见解析   ②见解析(2) 【分析】（1）①作的角平分线，交于点，则点即为所求作，理由如下：由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长；②作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作，理由如下：由直径所对的圆周角是直角可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即； （2）过点作于点，则，由（1）得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，由（1）得是的角平分线，再结合，可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，由含度角的直角三角形的性质可得，由此即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图，作的角平分线，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长； ②如图，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 为的直径， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 则， 由（1）得：， ， ， ， ， ， 由（1）得：是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 15．（2025·江苏连云港·一模）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与相交即为点； （2）根据等边对等角结合角平分线证明，则，即可证明切线； （3）先由勾股定理得．设的半径为，则由（1）知：，则，易证，则，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示 （2）证明：因为平分， 所以． 又由（1）知：经过、两点． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以．即． 因为点在上， 所以与相切； （3）解：在中，， 所以． 设的半径为，则由（1）知：． 所以． 由（2）知：． 所以． 所以， 即， 解得． 所以的半径为． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，； (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)①见详解；②见详解；(2) 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 题型五：圆综合之探究类问题（几何压轴题）（高频考点） 1．（2025·江苏常州·一模）小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，． (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当△CDF为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)8(2)①见解析；②的长为或 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：①证明：连接，如图， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时， 在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，的长为或． 2．（2025·江苏扬州·一模） 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线需同时满足以下三个条件：①过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的与已作的互相平行． (1)根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】题目主要考查作图，角平分线、垂线的作法，圆的性质，平行线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，，然后以点C为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点，连接，，然后以点P为顶点，为角的一边作，确定，然后延长交于点F即可； （2）先作的角平分线，在上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据题意，先作的角平分线，在上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 3．（2025·江苏宿迁·一模）“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 【答案】[初步应用]；[变式练习]的长为 ；[操作思考]图形见解析． 【分析】[初步应用]先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； [变式练习]过点作交于点，先证明得到，设，表示出的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； [操作思考]根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有 ，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； 【详解】解：[初步应用]：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即 ， ∴， 设， 则， 在中， ， ， 解得 (负值舍去) ， ∴的长为 ， 故答案为： ． [变式练习]：如图，过点E作 交于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 解得： ， 当 时，，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意； ∴的长为 [操作思考]：如图，点C即为所求． 4．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时， 【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）延长至点E使，连接，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在同侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得；②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用①的方法解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）若，点C、D在同侧，与的数量关系为：，理由： 延长至点E使，连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）①当点C、D在同侧时， 延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 综上，若满足的数量关系为：当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时，． 5．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 【答案】(1)详见解析(2)①或； ②(3)对角互补 【分析】（1）由，可证明，可得，即可证明结论； （2）过点作直线交于于，连结，①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解； ②根据正切造的定义得，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解． （3）根据“等距点”的定义得出，四边形是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点， ， 又 ∵，则， ， ∴点是边的“等距点”； （2）解：过点作直线交于于，连结， ∵点是矩形边的“等距点”， ， 又 ∵直线， ∴直线是矩形边的中垂线， ∴点在矩形边和的垂直平分线上， ， ∵矩形中，， ， ， 交于于， ， 又 ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴的值为或； ②∵于， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，有最大值 25， ∴有最大值， ∴当时，的最大值是． （3）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点四点距离相等， ∴四边形是圆P的内接四边形， ∴四边形的对角互补， 故当四边形满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补． 6．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，即可得，根据，得出，根据同角的余角相等得出，证明，即可得出． （2）根据四边形为矩形，，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，当为中点时，，在中，勾股定理求出，即可求解． （3）如图，过点作的垂线，交于点．由题意知四边形为矩形，证明，得出，在中，勾股定理求出，即可求解． （4）①如图，连接交于，作于．在中，勾股定理求出，当时，得出，根据等面积法求出，根据轴对称可得，证明是直角三角形，，垂直平分线段，根据等面积法求出，即可求出，在 中，勾股定理求出即可． ②根据轴对称可得，得出点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，根据图象可得，即可得当点三点共线，即点E在边上时，最小，此时，如图，过点E作交于点，在中，得出，在中，即可得，求出，设，表示出，在中，根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 当为中点时，， 在中，， ， ∴． （3）解：∵四边形为矩形， ， 如图，过点作的垂线，交于点． 由题意知四边形为矩形， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． （4）①如图，连接交于，作于． 在中， ∵，， ， 当时，， ， ， ， 根据轴对称可得， ∴点在的垂直平分线上． ， ∴点在的垂直平分线上，是直角三角形，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， 在 中，． ②根据轴对称可得， ∴点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图， 根据图象可得， ∴当点三点共线，即点E在边上时，最小， 此时， 如图，过点E作交于点， ∵在中，， ∴在中，， 解得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 7．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 8．（2025·江苏泰州·一模）在△ABC中，点在上，连接，且，是上一点（与点、不重合）． (1)如图1，当时，过、、三点的圆分别交、于点、，连接、．求证：四边形是矩形； (2)如图2，已知，，分别交过、、三点的圆和于点、．点为上一点，且． ①求证：； ②若、的面积分别为2和1，求的面积； ③、、的面积分别记为、、，当点在上任意位置时（与点、不重合），等式是否总成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析②4③成立，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理，圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，利用三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）①根据，证明，再证明， 即可证明三角形的全等 ②证明，利用面积之比等于相似比的平方解答即可； ③根据，得到，继而得到，变形证明即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， 根据圆的内接四边形对角互补，得， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：①∵，且，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为4； ③成立 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 9．（2025·江苏扬州·一模）在综合实践活动中，“类比探究”是一种常用方法，我们可以先尝试研究某个位置情况下的结论，然后再类比到其他情况去探究结论． 已知，正方形和它的外接圆． 【问题初探】如图1，若点E在弧上，F是上的一点，且，过点A作．试说明：； 【类比探究】如图2，若点E在弧上，过点A作，试探究此时线段之间的关系．请写出你的结论并证明； 【拓展应用】如图3，在正方形中，，若点P满足，且，请直接写出点A到的距离为_______． 【答案】问题探究：见详解；类比探究：，理由见详解；拓展应用：点A到的距离为或 【分析】问题探究：连接，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，最后问题可求证； 类比探究：在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解； 拓展应用：由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解 【详解】问题探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； 类比探究：，理由如下： 在上取点G，使，连接， 同理（1）可得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； 拓展应用：解：点A到的距离是或，理由如下： ∵， ∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上， ∵， ∴点P在以为直径的圆上， ∴点P是这两圆的交点， ①当点P在如图3①所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴A、P、D、B在以为直径的圆上， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，， ∴由（2）中的结论可得：， ∴， ∴； ②当点P在如图3②所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：点A到的距离为或． 10．（2025·江苏徐州·一模）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，    连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 11．（2025·江苏南京·一模）（1）如图①，在△ABC中，，，垂足为．若，，则的长为________． （2）如图②，在△ABC中，，，点在上，点在上，且，，求的长． （3）如图③，已知直线，点在线段上．在上作一点，使得．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）证明，得即，从而，再利用勾股定理即可得解； （2）过点作交于点，先证明，得，设，则，，证，得即，求解即可得解； （3）作交以为直径的于，以为半径，为圆心画弧交于点，则点为所求的点． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴即 ∴， 设，则＝， 在中，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴的长为， 故答案为：； （2）过点作交于点， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴ 设，则，， ∴， ∵，， ∴， 又∵＝， ∴， ∴ 即 解得， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴的长为； （）如图，点即为所求． 理由：如图，连接，由作图可得，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或 【分析】（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值； ②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得． 【详解】解：（1）当时，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：，． （2），，证明如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）①当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32． ②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直径， ∴正方形的面积， 由（3）①已得：， ∴， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或． 13．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①，当时，的最小值为；②当时，为或． 【分析】（1）先证明，，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过B作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为，结合，再解方程可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点B与点D关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且，为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为， ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或． 题型六：圆综合之其他类问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，点D在上（点D不与点A重合），点E在上，且四边形是菱形． (1)求证：； (2)若，求的直径长； (3)过点A作的切线交延长线于点F，若，求证：点D是的黄金分割点． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质及圆内接四边形的性质易证，即可得出结论； （2）分别过点作，垂足分别为，连接，设交点为M，解直角三角形求出，， 进而求出，利用勾股定理求出，，由菱形的性质求出，，，设，则，利用勾股定理建立方程即可解答； （3）利用切线与弦所对应的圆周角相等，以及 ，构造相似三角形，结合：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，从而证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过点作，垂足分别为，连接，设交点为M， 由（1）知， ∵， ∴， 设， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是该方程的解， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即的直径长为； （3）证明：连接， 则， 设，则， ∵， ∴， ∵是的切线，切点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D是的黄金分割点． 2．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． (1)证明：； (2)当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，翻折的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据翻折的性质得出，再由等角对等边确定，利用等量代换及平行线的判定即可证明； （2）①根据题意得出，再由折叠的性质确定，利用等量代换及切线的判定即可证明；②根据题意设，则，然后利用勾股定理得出方程确定，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示： ∵沿翻折，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又为的半径， ∴为的切线； ②解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)①A；② 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图（1），连接，，．由菱形的性质可得、易得是等边三角形．再根据等边三角形的性质以及角的和差可得，即可与相切．同理可证与相切； （2）①设的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，易得垂直平分，即、、；经分析可知随着度数的增大，也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定的半径与的长的变化情况即可解答；②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图（1），连接，，． 四边形是菱形， ，． 是等边三角形． ． ， ． ， ． ，即． 点D在上， 与相切． 同理可得：与相切． （2）解： 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，，， ∵当时， ∴随着度数的增大，也随之变大， ∴，， ∵随的增大而增大， ∴随着度数的增大而增大，， 在中，， ． ，解得：． ∵随的增大而减小， ∴随着度数的增大而增大， 综上，的半径与的长都增大． 故选∶A． ②解：如图（2），连接，，，连接并延长，交于点N． 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，． 在中，， ． ，解得：． 在中，， ． ，解得． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，是△ABC的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】(1)见解析(2)①，；② 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，动点P是延长线上一点，交于点Q，连接交于点F． (1)当Q是弧的中点时，求证：； (2)设（1）的条件下，，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；在 (3)连接，若是以为腰的等腰三角形，试求的长． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，同弧所对的圆周角相等等，熟知圆的相关知识和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，易证，由易得，进而即可得证； （2）连接，易求得，证，得到，进而求出和，即可得解； （3）分类讨论，或，先根据勾股定理求出和以及的长，从而得到的长，在利用圆内接四边形对角互补证，代入求出即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵Q是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，且为直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴，即； （3）解：①当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②当时， 在中，， ∴， 在中，， 同理可得， ∴，即， 解得； 综上，的长为或． 6．（2025·江苏南京·二模）如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． (1)连接，求证； (2)求证； (3)若，则的半径为 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）连接交于点G，证明，利用垂径定理即可得到结论； （2）连接，证明，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论； （3）连接，并延长交于点H，连接，由，对应边成比例求出，在中，由勾股定理求出，进一步求出OH，在中，利用勾股定理即可求出半径． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点G， 是的切线， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， 由垂径定理可得，垂直平分， ； （2）证明：如图，连接， 由（1）知，， 则， 又， ， 又， ， ∴，即：； （3）解：如图，连接，并延长交于点H，连接， ， 则， 由（2）可知，， ， 由（2）知， 则，即， ， 又， 垂直平分， ， 在中， ， 设半径为r，则, 在中， 即：， 解得， 故答案为：． 7．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②(2)(3) 【分析】（1）①由变换点定义求解即可；②由变换图形定义求解即可； （2）设直线上一点为，根据变换图形定义求出变换点，然后求出解析式即可得解； （3）取两点A和B且为直径，进而利用变换图形的定义求出的变换图形的圆心坐标，进而结合图形求解即可． 【详解】（1）①由定义可知点的变换点的坐标，即， 故答案为：； ②设直线上点为， ∴变换图形横坐标为， 故答案为：； （2）设直线上一点为， 则其变化点为，即， ∴， ∴直线的变换图形的解析式为， 令，得， ∴直线的变换图形与x轴的交点坐标为； （3）∵的半径为1，圆心， ∴可在圆上取两点，，，且为直径， ∴点A的变换点为，点B的变换点为， ∴中点为，， ∵为直径， ∴的变换图形则是以为圆心，为半径的圆， 记直线为直线l，且与y轴交于点K，则， 当与直线相切，且在直线上方时，过作于点M，    由辅助线可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当与直线相切，且在直线下方时， 同理可知∴， ∴， ∴，即， ∴． 综上，． 8．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 9．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 【答案】(1)15(2)直线与相切，理由见解析(3)r的最小值为 【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论； （2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用点的轨迹得到的外接圆为以为弦，所对的圆周角为的圆，则当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到的长，则结论可求． 【详解】（1）解：∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由： 过点E作于点H，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴直线与相切； （3）解：的外接圆的半径r的最小值为． 由题意得：， ∴的外接圆为以为弦，弦所对的圆周角为的圆， ∴当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值， ∵点E在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 过点D作于点E，如图， 此时点与点B重合，为的外接圆的直径， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径r的最小值． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，的两个顶点A、B分别在边、 上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中： (1)_____，的最小值为____ ； (2)若△ABC被分成的两个三角形中有一个是以为底的等腰三角形，求的长； (3)连接，请直接写出运动过程中的最大值． 【答案】(1)， ；(2)或 ；(3)． 【分析】（1）根据，得到，求出的值，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，进行求解即可； （2）分是以为底的等腰三角形和是以为底的等腰三角形，两种情况进行讨论求解即可； （3）定弦定角得到点在以为圆心，的圆上，过点作，连接，垂径定理，结合三角函数求出的长，进而得到的长，过点作，勾股定理求出的长，根据，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵交于点， ∴当时，最小， 此时：，即：， ∴， 即：的最小值为； （2）①当是以为底的等腰三角形，，   ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，则：， 设，，由勾股定理得，          ∴， ∵， ∴，即： 解得：（负值舍去）； ∴； ②当是以为底的等腰三角形，则：， 由（1）知：， ∴， 作，则同（1）法可得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即： ∴． 综上：或； （3）∵为定值，也为定值， ∴点在以为圆心，的圆上， 过点作，连接，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大为：． 11．（2024·江苏南京·一模）教材中有这样一段文字：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足； (3)在图③中，在线段上求作一点D满足； (4)在图④中，点A、C、B依次在同一直线上，，在直线上求作一点D，满足 【答案】(1)图见详解；(2)图见详解；(3)图见详解；(4)图见详解． 【分析】本题主要涉及比例中项的概念以及利用圆规和直尺进行几何作图，涉及作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线等基本尺规作图，通过将所给的线段比例关系转化为几何图形中的相关性质来确定点的位置是正确解答此题的关键． （1）在图①中，可以通过在上作一个角等于来确定点D的位置． （2）在图②中，连接，然后作一个以直径的，与的交点即为点． （3）在图③中，作线段的垂直平分线，过点B作，且使，以为圆心，为半径画，连接，交于点E．以A为圆心，为半径画，交于点D，点D即为所求的点，满足．满足 （4）在图④中，：作线段的垂直平分线，垂足为，作，使，作，使，在直线同侧，连接，与的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径作，交直线于，，点，即为求作的点． 【详解】（1）解：以为一边，在内部作，与的交点即为所求的点D． 理由：由作图可知：， ， ， ， ； 即点为满足题意的点； （2）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，与的交点即为求作的点． 理由：连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 为满足题意的点， 同理可证为满足题意的点； （3）解：作线段的垂直平分线，过点B作，且使，以为圆心，为半径画，连接，交于点E．以A为圆心，为半径画，交于点D，点D即为所求的点， （方法不唯一） 理由：设，则， ， ， ， ， ， ，， ． 点D满足； （4）解：作线段的垂直平分线，垂足为，作，使，作，使，在直线同侧，连接，与的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径作，交直线于，，点，即为求作的点． （方法不唯一）， 理由：连接， ，，，且， 四边形是矩形， ，， 设，则， ， ， ， 同理可证明点满足题意。 12．（2025·江苏淮安·一模）已知△ABC，点D在的延长线上，，以为边，在△ABC的同侧作正方形，经过E、F两点作且与边相切于点G，连接，点P是边的中点， (1)求的半径； (2)如图1，当点P在上，连接，若，求证：是的切线； (3)如图2，若，且，连接交于点H，设， ①求y与m的函数关系式； ②当点P在上时，求y的值． 【答案】(1)的半径为；(2)证明见解析(3)①；② 【分析】（1）如图，连接并延长交于，连接，，证明，，设，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）如图，连接，，证明，可得，再进一步可得结论； （3）①作于，证明，可得，证明是等边三角形，可得，求解，证明，再进一步解答即可； ②如图，连接并延长交的延长线于，连接，，过作于，证明，可得，求解，，而，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于，连接，， ∵切于，正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴的半径为； （2）解：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：①作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵结合（1）可得：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ②如图，连接并延长交的延长线于，连接，，过作于， ∵，， ∴， 而为的中点， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴； 13．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图1，是等边三角形，点E为边上一点，将线段绕点B顺时针旋转得，连接． ①的形状为 三角形； ②若，求的值． （2）如图2，等边三角形，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹） （3）如图3，在的内部有一定点A，在上分别找点B、点C，使为等边三角形．请画出示意图，并写出画的思路． 【答案】（1）①等边；②；（2）见解析；（3）见解析 【分析】(1)①由等边三角形的判定很容易得解；②过E作 于点K，易得，解，进而即可得解； (2)根据①中思路，可以作的外接圆交l于点E，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，以点E为圆心，长为半径画弧，在点E左侧，交于点F，则即为所求； (3)①在上且点A右侧任取两点D、F，在上方作等边三角形；②过A作的垂线交 于点K，交的延长线于点G；③作交于点H，在点H左侧的l上取一点L，使 ；④作的角平分线交于点B，连接；⑤在点H左侧上取一点C，使 ，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）①线段绕点B顺时针旋转得， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； ②如图，过E作 于点K， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ； （2）如图，即为所求； 作法提示：①作的外接圆交l于点E，则 ； ②连接，以点E为圆心，长为半径画弧，在点E左侧，交l于点F，则； ③连接，则为等边三角形(有一个角是的等腰三角形是等边三角形)； （3）如图，即为所求； 作法提示：①在上且点A右侧任取两点D、F，在上方作等边三角形； ②过A作的垂线交于点K，交的延长线于点G； ③作交于点H，在点H左侧的l上取一点L，使； ④作的角平分线交于点B，连接； ⑤在点H左侧上取一点C，使，连接 ，则即为所求； 证明：∵是等边三角形， ， ∵ ， ∵ 是等边三角形， ， ， ∵平分 即， ∴为等边三角形． 14．（2025·江苏南京·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形． (1)如图，已知四边形内接于，D是的中点． ①求证：四边形是等补四边形； ②过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．求证：． (2)下列结论： a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形； b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形； c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形； d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形． 其中所有正确结论前的字母代号是 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)bc 【分析】（1）①由圆内接四边形性质结合等补四边形的定义即可证明；②连接，则，连接交于点G，由垂径定理推论可得，从而得，证明，即可证得结论； （2）连接和交于点H，显然，此时四边形不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，可判断a错误；有，可判断b正确；显然，从剪开，得到和，两者能拼成等腰三角形，可判断c正确；当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，但无法证明其为正方形．可判断d． 【详解】（1）①证明：∵四边形内接于， 由圆内接四边形性质可得， 又∵， ∴， ∴四边形是等补四边形． ②证明：连接，连接交于点G，如图1，则， ∵，过圆心， 由垂径定理推论可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． （2）解：如图2，连接和交于点H， 显然，只有一定是等腰三角形， 此时四边形不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，故a错误； 由题意可知，， ∴，，，，，，故b正确； ， 则沿被剪开的两个三角形中，有一组边相等，一组角相等， ∴两者能拼成等腰三角形，故c正确； 当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角， 则圆内接四边形不一定为正方形． 故答案为：bc． 15．（2025·江苏宿迁·一模）在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【分析】（1）连接并延长交的延长线于P，证明，得出，结合已知可得出，，证明，得出，则可证明，即可证明； （2）①连接并延长交的延长线于P，证明，求出，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，求出，即可求解； ②设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F，证明，得出，由角平分线定义得出，结合平行线的性质可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交的延长线于P， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：①连接并延长交的延长线于P， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 193 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题09 圆综合解答题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第26题：此题主要考查的是圆综合，其中以相似三角形与圆综合为主分值10分，难度中等； ❆常州卷：解答题第26题：此题主要考查的是尺规作图与圆综合应用，分值10分，难度中等； ❆苏州卷：解答题第25题：此题主要考查的是圆综合应用，其中主要以圆的基本性质为主结合三角函数进行考查，分值8分，难度中等； 题型一：圆综合之证明切线问题（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求长． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 9．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线 (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②直接写出的长度：______． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求点到的距离． 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，△ABC内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，为的直径，交于点，连接，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 16．（2024·江苏无锡·二模）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 18．（2024·江苏无锡·三模）如图，△ABC内接于，的平分线交于点G，过G作分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为△ABC的内心，求的长． 题型二：圆综合之直线与圆的位置关系（高频考点） 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的半径长． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，△ABC中，，点在上，过点，分别与、交于、E，是的切线交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点，的半径为3，，求的长． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知△ABC中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 6．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，，过，，的交于点． (1)求证； (2)连接，当时，判断直线与的位置关系，并直接写出的值． 8．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，点E是的中点，以为直径的与边交于点 D，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若， ，求直径的长． 9．（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，，为的外接圆，点P是所对弧上一动点，连接，，，并延长至E，连结． (1)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)试猜想，，之间的数量关系为______，证明你的猜想． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆上一点，，延长，相交于点M． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 题型三：圆综合之阴影部分的面积（高频考点） 1．（2024·江苏盐城·二模）如图，在△ABC中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E． (1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； (2)若，且，求切线的长． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，． (1)证明：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 7．（2025·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 10．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 11．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 12．（2024·江苏淮安·一模）如图，是△ABC的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π） 13．（2024·江苏扬州·二模）如图，△ABC中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积． 14．（2024·江苏徐州·二模）如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 题型四：圆综合之尺规作图结合（高频考点） 1．（2024·江苏无锡·三模）如图，已知△ABC（）， (1)尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的外接圆与△ABC重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 2．（2024·江苏徐州·三模）如图，已知在△ABC中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接．试判断直线与的位置关系，并说明理由； 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，在△ABC中，是△ABC的重心，的延长线交边于点．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点B，且与相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与半径相交于点D，交于点E，连接．若，则弓形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 4．（2024·江苏苏州·二模）如图所示，在△ABC中， ，，点O为边上一点，以O为圆心的圆经过点A，B． (1)求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线； (3)若点P为圆O上一点，且弧弧，连接，求线段的长． 5．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．    (1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F． ① 求证：； ② 若，求的长． 6．（2024·江苏无锡·二模）在△ABC中，，，，点在上，且． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出，使得经过点，且与边相切于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)直接写出的半径为 ．（如需画草图，请使用图2） 7．（2024·江苏泰州·三模）如图，是△ABC的外接圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注：每个工具只限用一次）； (2)若，，求的长． 8．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在△ABC中，，，． (1)△ABC的面积是____________； (2)尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 10．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 11．（2025·江苏南通·一模）如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线，于点E，F． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰△ABC中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰上． (1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：与相切； (3)当，时，求的半径． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图的△ABC内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． (2)在（1）的条件下，若，，则长为_________． 15．（2025·江苏连云港·一模）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，； (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 题型五：圆综合之探究类问题（几何压轴题）（高频考点） 1．（2025·江苏常州·一模）小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，． (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当△CDF为等腰三角形时，请直接写出的长． 2．（2025·江苏扬州·一模） 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线需同时满足以下三个条件：①过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的与已作的互相平行． (1)根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 3．（2025·江苏宿迁·一模）“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 4．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 5．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 6．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 7．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 8．（2025·江苏泰州·一模）在△ABC中，点在上，连接，且，是上一点（与点、不重合）． (1)如图1，当时，过、、三点的圆分别交、于点、，连接、．求证：四边形是矩形； (2)如图2，已知，，分别交过、、三点的圆和于点、．点为上一点，且． ①求证：； ②若、的面积分别为2和1，求的面积； ③、、的面积分别记为、、，当点在上任意位置时（与点、不重合），等式是否总成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 9．（2025·江苏扬州·一模）在综合实践活动中，“类比探究”是一种常用方法，我们可以先尝试研究某个位置情况下的结论，然后再类比到其他情况去探究结论． 已知，正方形和它的外接圆． 【问题初探】如图1，若点E在弧上，F是上的一点，且，过点A作．试说明：； 【类比探究】如图2，若点E在弧上，过点A作，试探究此时线段之间的关系．请写出你的结论并证明； 【拓展应用】如图3，在正方形中，，若点P满足，且，请直接写出点A到的距离为_______． 10．（2025·江苏徐州·一模）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为△ABC的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在△ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 11．（2025·江苏南京·一模）（1）如图①，在△ABC中，，，垂足为．若，，则的长为________． （2）如图②，在△ABC中，，，点在上，点在上，且，，求的长． （3）如图③，已知直线，点在线段上．在上作一点，使得．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 13．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 题型六：圆综合之其他类问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，点D在上（点D不与点A重合），点E在上，且四边形是菱形． (1)求证：； (2)若，求的直径长； (3)过点A作的切线交延长线于点F，若，求证：点D是的黄金分割点． 2．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． (1)证明：； (2)当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 3．（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，是△ABC的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，动点P是延长线上一点，交于点Q，连接交于点F． (1)当Q是弧的中点时，求证：； (2)设（1）的条件下，，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；在 (3)连接，若是以为腰的等腰三角形，试求的长． 6．（2025·江苏南京·二模）如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． (1)连接，求证； (2)求证； (3)若，则的半径为 ． 7．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 8．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 9．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，的两个顶点A、B分别在边、 上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中： (1)_____，的最小值为____ ； (2)若△ABC被分成的两个三角形中有一个是以为底的等腰三角形，求的长； (3)连接，请直接写出运动过程中的最大值． 11．（2024·江苏南京·一模）教材中有这样一段文字：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足； (3)在图③中，在线段上求作一点D满足； (4)在图④中，点A、C、B依次在同一直线上，，在直线上求作一点D，满足 12．（2025·江苏淮安·一模）已知△ABC，点D在的延长线上，，以为边，在△ABC的同侧作正方形，经过E、F两点作且与边相切于点G，连接，点P是边的中点， (1)求的半径； (2)如图1，当点P在上，连接，若，求证：是的切线； (3)如图2，若，且，连接交于点H，设， ①求y与m的函数关系式； ②当点P在上时，求y的值． 13．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图1，是等边三角形，点E为边上一点，将线段绕点B顺时针旋转得，连接． ①的形状为 三角形； ②若，求的值． （2）如图2，等边三角形，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹） （3）如图3，在的内部有一定点A，在上分别找点B、点C，使为等边三角形．请画出示意图，并写出画的思路． 14．（2025·江苏南京·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形． (1)如图，已知四边形内接于，D是的中点． ①求证：四边形是等补四边形； ②过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．求证：． (2)下列结论： a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形； b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形； c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形； d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形． 其中所有正确结论前的字母代号是 ． 15．（2025·江苏宿迁·一模）在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长． 第 1 页 共 193 页 学科网（北京）股份有限公司 $$