【三轮冲刺】专题08 二次函数综合解答题压轴（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题08 二次函数综合解答题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题二次函数综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第18题：此题主要考查的是二次函数的综合，其中以二次函数的图象与性质、二次函数总存在性问题为主，分值12分，难度偏上； ❆徐州卷：解答题第26题：此题主要考查的是二次函数的综合，其中以二次函数的解析式、二次函数中面积问题为主，分值9分，难度偏上； ❆常州卷：解答题第28题：此题主要考查的是二次函数综合，其中以二次函数的图象与性质、二次函数与几何综合为主，分值10分，难度偏上； ❆苏州卷：解答题27题：此题主要考查的是二次函数综合，分值10分，难度偏上； 题型一：二次函数的图象与性质（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若函数的图象经过点，并与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． 求该二次函数的表达式； 若点在该二次函数图象上，且在直线上方，当的面积最大时，试求出点到直线的距离； (2)点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 【答案】(1)；；(2)且． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； 过作轴，交于点，过作于点，再求出解析式为，设，则，则，当时，有最值，为，然后用面积公式即可求出点到直线的距离； （）通过二次函数一一元二次方程的关系，二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数过点点， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为； 如图，过作轴，交于点，过作于点， 由得，二次函数的表达式为， 当时，，当时，，解得：，， ∴，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最值，为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解： ∵当时，总有， ∴且． 2．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数（为常数，且）的顶点在直线（为常数，且）的图像上． (1)若，则顶点 ； A．在x轴上    B．在y轴上    C．不在坐标轴上 (2)若二次函数图像经过，用的代数式表示； (3)在（2）的条件下，若此二次函数与直线的另一个公共点的横坐标为，且，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)C(2)(3)或 【分析】（1）依据题意得，二次函数的顶点横坐标为，又，故顶点不在y轴上，又顶点纵坐标为n是函数在处的值，且，则若顶点在x轴上，则，即，但题目未限定此条件，故顶点不在坐标轴上，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数过点，代入得，可得，则顶点横坐标，代入直线l得，又顶点纵坐标，故，进而可以得解； （3）依据题意，联立二次函数与直线l，得方程，则或，又，从而，可得或，进而，最后计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点横坐标为， ∵， ∴顶点不在y轴上． 又∵顶点纵坐标为是函数在处的值，且， ∴若顶点在x轴上，则，即，但题目未限定此条件，故顶点不在坐标轴上． 故答案为：C． （2）解：∵二次函数过点，代入得， ∴， ∴顶点横坐标，代入直线l得， 又∵顶点纵坐标， ∴， ∴． （3）解：由题意，联立二次函数与直线l，得方程， 由（2）可知，, ∴或， 又∵， ∴． ∴或． 又∵， ∴或． 3．（2025·江苏扬州·一模） 已知函数（为常数），当时，取最小值． (1)当时，求的值； (2)若且在函数的图像上，求点坐标； (3)若点和都在该函数图像上，求证：． 【答案】(1)(2)点坐标为或(3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标求解，二次函数的最值，二元一次方程组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入函数表达式得到，求出； （2）由题得到，得出，由在函数的图像上得到，求出，，，得到点坐标为或； （3）由题得到，即，继而得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式得， ， ∴当时函数有最小值， ∴； （2）解：， 由题意得， ∴， ①， ∵在函数上， ∴②， ①代入②得， 解得，， ∴点坐标为或； （3）证明：∵、关于对称轴对称， ∴， 即， 将、两点的坐标代入函数表达式可得 ， ∴，， ∴． 4．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，抛物线顶点记为． (1)对称轴方程为______；（用含的代数式表示） (2)过作轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； (3)若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 【答案】(1)(2)或或(3) 【分析】（1）直接利用顶点式得到对称轴方程即可； （2）如图，当在的同侧时，求解，，，结合，可得，再解方程即可；如图，当在的异侧时，同理可得：，再解方程即可； （3）由点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，可得，在的右边，当关于对称轴对称时，，如图，可得，再结合图象可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线： （2）解：如图，当在的同侧时， ∵， ∴， 当时， ， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：；经检验符合题意； 如图，当在的异侧时， 同理可得： ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴舍去， 综上：或或； （3）解：∵点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上， ∴， ∴在的右边， 当关于对称轴对称时，，如图， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴当点，所在直线经过一、三象限时，如图， ∴的取值范围为：． 5．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)(2)(3)3 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入可得： ，解得：． （2）解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 6．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求证：该二次函数的图像与轴总有两个公共点； (2)若点、和在该二次函数的图像上；且，直接写出的取值范围； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）当时，，根据一元二次方程根的判别式的意义即可求解； （2）先计算，进而可得，分别代入得出关于的不等式，解不等式，即可求解； （3）分类讨论，根据对称轴的位置分别求得最大最小值，由（2）得出、在抛物线上，进而根据时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：当时， ∴ 又∵ ∴ ∴该二次函数的图像与轴总有两个公共点 （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线 点在该二次函数的图像上； ∴ ∵ ∴ ∴，解得： 解得：或 ∴ （3）由（2）可得、在抛物线上， ∵ ∴ ∵对称轴为直线 ①当时，即， ∵该二次函数的最大值与最小值的差为4， 当时， 此方程无解； ②当时，最大值在顶点即 当时，当时， 解得：（舍去）或（舍去） 当，即时， 解得：（舍去）或 ③当即时， 解得：（舍去） 综上所述， 7．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标； (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 【答案】(1)(2)见详解（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最大值m，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为 （2）证明：若，则二次函数为， ∴抛物线开口向上． 又图象与x轴有两个交点，且， ∴当时，， ∴． （3）解：由题意可得：①， ∵当时，；当时，， ∴函数图象在时取得最大值m，即②， ∴， ∵在的右侧， ∴当时，，即③， 由①②③解得． 8．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数，（，为常数）的图像分别记为、，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小． (1)求的值； (2)当，且随的增大而减小时，直接写出此时自变量的取值范围； (3)若点在上，点在上． 当时，求的最大值； 当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)；． 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式、一元二方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （）由的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小，则有，然后根据的对称轴在的对称轴的右侧，则可求出的值； （）通过比较和的大小关系，再结合随的增大而减小即可求解； （）根据二次函数的性质得出，再把代入即可求解； 把代入得，然后由无论取何实数，始终都有成立，得，从而求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，其对称轴为直线，图像顶点的纵坐标为， 对于二次函数，其对称轴为直线其图像顶点的纵坐标为， ∵的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小， ∴，解得，， 又∵的对称轴在的对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， ∴自变量的取值范围为； （3）解：∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， 把代入得， ∵， ∴当时，有最大值为； ∵，，， 把代入上式得，， ∵无论取何实数，始终都有成立， ∴，得， ∵上式对任意都成立， ∴，且， ∴． 9．（2025·江苏·模拟预测）已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②4(2)(3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式得关系． （1）①根据题意可得对称轴为直线，继而列式解出的值；②利用即可求出的值； （2）根据抛物线对称性特点，点关于直线的对称点为，再根据二次函数增减性列出不等式即可求解； （3）根据题意可得二次函数最小值为，继而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①∵当时，， ∴对称轴为：直线， ∵点、在二次函数的图像上， ∴，即：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴，即：， 故答案为：； （2）解：∵对称轴为：直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵，，对于任意实数、都有， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)；(2)或；(3)理由见解析． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 11．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 【答案】(1)(2)当时，；当时，； (3)或或 【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解； （2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； （3）∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 综上，或或． 12．（2025·江苏连云港·一模）已知二次函数． (1)①该二次函数图像的顶点坐标为（______）（用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图像的顶点不在第三象限； (2)当时，该二次函数图像的对称轴为直线，的最大值与最小值的差为5，求m的值； (3)已知一次函数，若当时，总有请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析(2)1(3) 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根的判别式，解一元一次不等式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数解析式配方为顶点式，即可解答； （2）先确定函数的对称轴和顶点坐标；然后结合自变量的取值范围分类讨论即可； （3）由在恒成立，到在恒成立，设，因其图象开口向上，要使恒成立，只需和时值小于，分别计算时；时， 取两者交集，得出的取值范围． 【详解】（1）在二次函数中，，， ．顶点横坐标 ；顶点纵坐标 ． ∴顶点坐标为 ． 故答案为：； ②证明：由①知：顶点坐标为． 令 解这个不等式组得：该不等式无解． 即该二次函数图像的顶点不在第三象限； （2）由题意知：，解得． 所以二次函数的解析式为． 又， 所以当时，． 由题意知：当时，的最大值与最小值的差为5，且当时，． ①当时，随在增大而增大． 所以当时，，当时，． 即． 解得：，（不合题意，舍去）． ②当时，因为当时，．当时，． ．不符合题意． ③当时，，．不符合题意． 所以的值为1． （3）∵当时，总有， ∴． ． 设， ∵在恒成立， ∴只需满足函数在区间端点和处的函数值都小于即可． 当时： 把代入， ． 要使，则，即 ． 分两种情况讨论： 当且时，即且，此时． 当且时，即且，这种情况无解． ∴． 当时： 把代入，得： 要使，则即 ． ∴ ∴的解集为 ． ∴的取值范围是． 13．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】(1)①，见解析；②(2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 14．（2025·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于P，点M的坐标为，． (1)抛物线与x轴交点坐标分别为，，求a，b的值； (2)求的最小值； (3)若 （为常数且），抛物线与的顶点记作E、F，若存在轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立抛物线解析式求出交点P的坐标，根据两点间距离公式求出长，根据完全平方公式的非负性解题即可； （3）先求出两抛物线的顶点坐标，然后根据题意得到，进而得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交点坐标分别为，， ， ； （2）解：由题意，联立抛物线与抛物线， 把代入抛物线，得， 点M的坐标为， ， ， 当时，有最小值，最小值为2， 的最小值为 （3）解：抛物线的顶点E的坐标为，抛物线的顶点F的坐标为， 轴， ， ， ， ， ， （当a，b同号取得等号）， 的取值范围是 15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)或 【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得； （2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证； （3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴这个一元二次方程没有实数根， ∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点． （3）解：由（1）已得：， ∴， 将点代入得：， ∴， 二次函数化成顶点式为， ∴其对称轴为直线，顶点坐标为， 设点关于对称轴的对称点为点，则， ∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为． 则分以下两种情况： ①如图，当点在点左侧时，，即， 此时在图形内，随的增大而减小， ∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； ②如图，当点在点右侧时，，即， 此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 题型二：二次函数综合之与角度相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 【答案】(1)(2)30(3) 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：过D作于N，作于M， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限， 当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质及解一元二次方程． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，求出，过点P作轴于点H，连接，根据题意易证是等腰直角三角形，推出，设，则，分点P在上方和下方，由，建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：， 则该抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点P作轴于点H，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 当点P在上方时，如图， 则， ∴， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，则， ∴； 当分点P在下方时，如图， 则， ∴， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，则， ∴； 综上，点P的坐标为或． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求该抛物线的表达式； (2)是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解； （2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 在中，， ∴， ∴或0（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点E的坐标为； ②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则， ∵点，， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 设点E的坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或0（舍去）， ∴点E的坐标为． 4．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1)(2)(3)①；② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 5．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；(2)(3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，(2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标； （2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标． 【详解】（1）解： ∵， ∴这个抛物线的对称轴是：直线， ∴， 如图1所示， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 根据抛物线的对称性得， 故答案为：； （2）解： ①如图1， 将代入二次函数中得：， ∴， ， ∴， ∵顶点与点关于轴对称， ∴，即， ， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2， 当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴； 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式， 设直线的解析式为：， ∵， ∴， 当时，， ， 如图3， 当点在的上方时，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ∵， ， ，，， ， 过作轴，垂足为， 在中， ， ， 或 (舍去)． ， 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________； (3)为抛物线对称轴上一动点，连接，若不小于，求t的取值范围． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题． （2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．最小值就是线段，求出即可． （3）②作的中垂线与y轴交于点E，连接，则，以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则，从而线段上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标； （2）解：如图1中，连接，作于，交于，此时最小． ，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知此时最短． ∵， ∴， 在中，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：； （3）解：如图，中，， ， 作的中垂线与轴交于点，连接， ∴， ∴ ∴， 以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G，连接， ∴， ∴线段上的点满足题意， 由等腰三角形三线合一得：， ， ，， ， 解得或， 故，， 的取值范围． 8．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标． (3)令． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)①；②或． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、两点代入抛物线求得b、c的值即可解答； （2）先说明，进而得到．由、，可得、，然后代入解方程即可解答； （3）①易得直线的解析式为，然后分和两种情况分别列出函数解析式即可；②易得，即；然后分和两种情况求得m的取值范围，然后运用二次函数的性质取得取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得∶． 再把代入抛物线解析式得，，解得：． 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，， ∴轴，，，． ∵轴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即：． ∵，， ∴，． ∴．解得：，（不合题意，舍去）． ∴． （3）解：①由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为 如图，当点在直线上方时，． ∴，． ∴． 如图，当点在直线下方时，． ，． 所以． 综上可知，． ②∵， ∴， ∵， ∴， 由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为 如图，当点在直线上方时，． ∴， ∴，解得， ∵； 如图3：当时，有最大值，当时，有最小值3， ∴； 如图，当点在直线下方时，． ∴， ∴，解得， ∵； 如图3：当时，有最小值，即； 综上，当时，的取值范围或． 9．（2023·江苏连云港·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 题型三：二次函数综合之与面积相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在点，使的坐标为)或 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可． （3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 2．（2024·江苏宿迁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)能；或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可； （3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可； 【详解】（1）解：把、代入二次函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、， ， 当点P在第一象限时， ∵点的横坐标为， ∴， 对于二次函数，令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：当P在第一象限时，若， 则， 解得：， ∴P点坐标为， 当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为， 所以直线l的表达式为， 联立方程组方程组， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为 综上，P的坐标为或． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）；，即可求解； （3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当时，当时，y值最小，最小值为；当时，当时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， 故抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：设点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 则点的坐标为， 设四边形的面积为， 则； 则， 则， ，故有最大值． 当时，的最大值为． （3）解：∵，， 又∵， ∴当时，y有最大值4， ∵函数y在内最大值为p，最小值为q， ∴， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， 综上，m的值为． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)点坐标为或 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，；(2)；(3)，的面积最大，最大值为． 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 6．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点Q的坐标为：或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则，解得：（舍去）或， 即； （2）解：过点M作轴交于点H， 由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ∵，故当时，面积最大， 此时点； （3）解：由（2）知，直线的表达式为：， 过点M作直线交y轴于点R， 设直线的表达式为：，则，解得：， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点A下方取点T，使，则点， 过点T作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点或， 综上，点Q的坐标为：或或． 7．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 8．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线的解析式，设，则，根据得，列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过点， ∴ 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为，把代入，得：， ， 设，则：， ， ，即：， 解得：或（舍去）， ，， ， ． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 【答案】(1)(2)(3)或． 【分析】（1）根据抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，代入解析式解方程组即可． （2）过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q，确定直线的解析式为：，设，则，，，结合，得到，得到，根据题意，得，得到方程，解答即可． （3）根据，得到，故，设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得，，得到，求得（舍去）；过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N，仿照2问解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，且对称轴为直线，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴， 整理，得， 解得， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， 设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； ， 过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴都符合题意， 当时，，此时点； 当时，，此时点； 故答案为：或． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化． （1）根据待定系数即可求解； （2）①先求出中点的坐标，然后求出直线的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点坐标； ②先将面积比化为底之比得到，设，取的中点记为点，则，进行线段转化得到为的中点，再表示出点的坐标，最后代入直线的表达式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； （2）解：①解：当时，得， 解得，， ，， ∵点E是线段的中点， ∴， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点， ∴； ②设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设， 取的中点记为点，则，如图： ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 即， 将代入， 得：， 整理得：， 解得：， ∴点的横坐标为． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为；(2)当时，有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键． （）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，且点的纵坐标为， ∴，解得， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点， ∴，， ∴ ∴ ； ∴当时，有最大值，最大值为． 12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【分析】（1）利用菱形的性质结合旋转的性质可得，易证，即可得出结论； （2）过点F作于点H，由题意得，则当面积最大时，面积最大，利用菱形的性质结合勾股定理求出，设，则，，求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）解：连接，设，则，求出，； 分时，过点D作于点P，过点E作于点M，时，过点E作于点M，，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点H， ∵点是线段的中点， ∴，则当面积最大时，面积最大， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 当，即点重合时，面积最大，最大值为， ∴面积的最大值为：； （3）解：连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵点是线段的中点， ∴平分，， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图，当时，过点D作于点P，过点E作于点M， 则，， 设，则，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，（舍去）； 如图，当时，过点E作于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴； 当时， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，显然矛盾，故不存在； 综上，当为等腰三角形时，线段的长为或． 题型四：二次函数综合之与比值相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为． (1)若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ (2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值． 【答案】(1)①②，的面积取得最大值6；(2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数表达式求解，三角形面积最值以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，通过作辅助线求三角形面积，利用相似三角形性质证明线段比例定值． （1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②过点作轴交于点，用含的式子表示出的面积，再根据二次函数性质求最值； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即，解得． 二次函数表达式为． ②过点作轴交于点， 设直线表达式为，把代入得 ，将代入得，解得， 直线表达式为， 点横坐标为，则，． ， ， 即， 对于二次函数，对称轴为， 当时，的面积取得最大值； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 2．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)，(2)为定值，(3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积最值问题等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）根据函数图象的性质，当函数值为0时转化成一元二次方程，解一元二次方程即可得到交点坐标； （2）过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点，证明得出， 求出相关点的坐标，求得线段长度即可求比值； （3）连接，求出抛物线的解析式，联立解析式求得，分析三角形何时面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：当抛物线解析式函数值为0时得， 整理得 解得， ∴，； （2）解： 为定值，定值为2，理由如下： 如图所示，过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点， ∵, ∴， 即， 假设直线的解析式为，将代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 通过抛物线解析式可求，则， ∴， ； （3）解：如图所示，连接， 假设抛物线的解析式为 根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线和得 解得 ∴ 由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，, 当点在轴上时，的面积最大，即面积的最大，值为4， ， 解得． 3．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，点，与轴交于点，点是抛物线上一点，且横坐标是1，连接，．点是第三象限抛物线上一动点． (1)填空；______； (2)如图1，过点作交于点，连接交于点．当最大时，点是轴上一个动点，求的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线经过点，点是平移后的抛物线上一点，，连接．将线段平移到线段（点、分别与点、对应）．若点、同时落在平移后的抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后两点间距离公式计算即可得解； （3）先求出直线的解析式为，由，可设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，代入点，求出平移后的抛物线的解析式为，即可求解，设向左平移个单位，向下平移个单位，则，，将其代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴， 解得：， ∴解析式为：， 故答案为：1； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为， ∴； （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式 可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，则向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 如图： 设向左平移个单位，向下平移个单位， 则，， 将其代入 得： 上式下式得，， 解得：， ∴，点即为抛物线的顶点， ∴． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)点坐标为(3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 5．（2024·江苏宿迁·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围； (3)经过点的直线m与射线、射线分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由 【答案】(1)；(2)．(3)为定值3． 【分析】本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式等知识点． （1）先求得直线与x轴、y轴的交点B、C的坐标，代入求得a、k的值，即可得抛物线的函数表达式；令，求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式即可； （2）根据题意可得，即可得；当直线经过点C时，，，此时，当直线经过顶点时，直线的解析式为，时，，此时，，，此时；当直线l在直线与直线之间时，，即可得； （3）设直线的解析式为．把代入得：，解得：，所以点N的坐标为．所以，即可得；将与联立解得：．求得点M的横坐标为．过点M作轴，垂足为G．则．再由，根据相似三角形的性质可得，，，由此可得． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴的交点B、C， ∴，； 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线函数表达式为； 令，可得，解得，； ∴； 设的解析式为， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴． 当直线经过点C时，，， 此时， 当直线经过顶点时，直线的解析式为， 当时，， 此时，，， 此时； 当直线l在直线与直线之间时，， ∴； （3）解：为定值3． 理由如下：设直线的解析式为． 把代入得：， 解得：， ∴点N的坐标为． ∴，； 将与联立解得：． ∴点M的横坐标为， 过点M作轴，垂足为G． 则． ∵， ∴， ∴，， ∴． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，它们的坐标分别为、，与y轴交于点C；直线的表达式为；点P在抛物线的对称轴上，连接，将绕点P按顺时针方向旋转一定角度得到． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如图1，若点Q恰好落在该抛物线位于第四象限的图象上，连接交于点E，是否存在最大值？若存在，请求出该数值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在点P运动的过程中，若绕点P按顺时针方向旋转得到，当有两个顶点落在该抛物线的图象上时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，；(2)存在，；(3)或或． 【分析】本题考查二次函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质： （1）先求出，求出的表达式为，得出，将点、、的坐标分别代入中，求解即可得出答案； （2）作轴交直线于点M，作轴交直线于点N，得出∽，求出，设，则，得出，得出，进而得出答案； （3）分两种情况：①当点Q在抛物线上时，如图，作对称轴交对称轴于点G，对称轴交x轴于点D，证明≌（），得出，设，则，得出，求解即可；②当点P在抛物线上时，点P所在位置为抛物线的顶点，其坐标为，得出≌，则，，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 将点、、的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，作轴交直线于点M，作轴交直线于点N， 则， ∴∽， ∴． 将代入， 解得， ∴， ∴． 设， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． （3）①当点Q在抛物线上时，如图，作对称轴交对称轴于点G，对称轴交x轴于点D， 由题意可得对称轴为直线． ∵， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ②当点P在抛物线上时，点P所在位置为抛物线的顶点，其坐标为， 则，， 如图，≌， 则，， ∴点Q坐标为． 综述，点或或． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 【答案】(1)8；0；0；4(2)的最大值为(3)①；② 【分析】（1）分别令即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴令时，，整理得，， ∴，， ∴，， 令时，， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线所在直线的解析式为， 如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时，， ∴，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设，且， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵点关于的对称点为，且， ∴， ∴点三点共线， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，，则，，， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵点，点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴； ②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，    已知，，是的垂直平分线， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 8．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)点M为抛物线上的点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1)；(2)最大值为，；(3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标及的长，根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式， 过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，设点P的坐标为则点D的坐标为由得到得到，利用二次函数的性质即可以解决最值问题； （3）分点M在x轴上方及点M在x轴下方两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：把的坐标分别代入中， 得： 解得： ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，如图：        当时， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为： 将代入中， 得： 解得： ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点， 设点P的坐标为则点E的坐标为 ， ∵轴，轴， ∴ ， ， ∴当时， 取得最大值此时，点P的坐标为， ∴当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； （3）解：分点M在x轴上方及点M在x轴下方两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，记为点过点B作交于点E， 过点E作轴于点F，如图所示 ：    ∵ ， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ， ， ， 为等腰直角三角形． 在中， ， ， ， ， ， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为： 将代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立两函数解析式成方程组 解得：(不合题意，舍去)， ∴点 的坐标为； ②当点M在x轴下方时，记为点设与x轴交于点N， 过点N作于点H，如图：      为等腰直角三角形， ， 又 且， ∴点N的坐标为 设直线的解析式为： 将， 代入 得： 解得： ∴直线的解析式为：， 联立两函数解析式成方程组 解得：(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为， 综上所述，点M的坐标为 或． 9．（2024·江苏扬州·三模）如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 【答案】(1)(2)存在，点(3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据使的内心恰好在直线上，得出平分，即，过点作轴的平行线交于点，证出，求出直线的表达式设点，则点，根据，列方程求解即可； （3）由抛物线的表达式知，点，得出，设点，根据，直线的表达式为：，求出直线的表达式，从而求出点，，得出的最大值为，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出取得最大值时，取得最小值即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 故抛物线对应的函数表达式为：． （2）存在，理由： ∵使的内心恰好在直线上， 则平分，即， 过点作轴的平行线交于点， 则， 则， 设直线的表达式为：， 由点的坐标得，， 解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 由点的坐标得，， 解得：， 则点； （3）∵抛物线的表达式， 令，则，解得：或， ∴点， 则， 设点， ∵，直线的表达式为：， 设直线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 令，则，解得：， 则点， 则， 故的最大值为， ∵，则， 则， 故取得最大值时，的最小值为：， 即的最小值为：． 题型五：二次函数综合之存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)(2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 2．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 【答案】(1)抛物线 的解析式为； (2)①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答； ②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，    ∵抛物线与x轴交于点和点， 可得， 解得， 抛物线 的解析式为； （2）解：①存在，如图，过点作轴，交于点， ， 当四边形为平行四边形时，，， ， ， ， ，即点的横坐标为， 当时，， 则， 故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形； ②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点 ∴，， ∵点按竖直方向向下平移个单位到点， ∴， ∴点到x轴的距离为， 此时满足， ∴点到x轴的距离的最大值为． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)(2)的最大值为，此时点 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设，利用表示出的长，即可求解； （3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 在中，， ， 如图， 轴， ， 设点，则点， 则， 则， ， ，故当时，有最大值，为，此时点； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位， 则新抛物线的对称轴为直线，设点， 如图，当为对角线时，存在两种情况，可得， ， 解得， 则， 的中点为，即， 设，则可得，解得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时， 当时，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 如图，当为边时，当在上方时， 可得， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 综上，或或或． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为：或 【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数中，令时，， ∴， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； （2）解：，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 在二次函数中，当时，， 解得，， ∴，则， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点， ∵点为抛物线第二象限上一动点， ∴设点，则点， ∴， ∴四边形面积 ， ∵， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形ABCP面积的最大值为； （3）解：设点，则点， 设直线的解析式为：，， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点的坐标为：， 由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为， 如果，则，则，故不存在， 则， 而， 当时， 则点在的中垂线上，则， ∴， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：（舍去）或， 即点， 综上，点P的坐标为：或． 6．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在，或或或 【分析】（1）待定系数法即可求抛物线的函数表达式； （2）由可得，设直线为，将代入得直线为，设，则，即得，根据，可得，解得(舍去)或，故，即可得的面积； （3）由（2）知：，直线为，设，则，(1)当时，，解得；(2)当时，，解得或；(3)当时，，解得． 【详解】（1）解：∵，， 根据题意得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由可得， 设直线为，将代入得：， ∴， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得(舍去)或， ， ∴的面积为； （3）解：存在， 由（2）知：，直线为， 设， 则， ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或， ∴或； ③当时，， 解得或(与重合，舍去)， ∴， 综上所述，或)或)或． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)，(3)存在， 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 8．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为(2)(3)点E的横坐标为2或 【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 9．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)①6 ，②存在； 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 10．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心． (1)填空：点的坐标为 ， ； (2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ． 【答案】(1)，(2)为定值，定值为(3) 【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故； （2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值； （3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解． 【详解】（1）当时，即， ， 解得，， 点，点， 当时，， 点， ， ， （2）为定值，理由如下： 点D为的外心，， 则，， 过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N， 设点， 则，，，， ，， ， ，， ， ， ，， 解得： 则的面积， 为等腰直角三角形， ， 则的面积， 为定值； （3） 在第一象限内的抛物线上存在一点， 以、、、为顶点的四边形只能是四边形， 又， 若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示， 由前面可知，点，点，点，设点， 若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得： ， 解得：或（不合题意舍去）； 综上，． 11．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点，顶点为． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知抛物线的对称轴为直线，点为抛物线对称轴右侧上一点，过点作的垂线，垂足为，连接，若，求出点的坐标． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，用待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，即可． （1）把，，三点的坐标代入中，即可； （2）根据函数解析式求出对称轴，点，过点作交于点，设点，则点，求得，；根据，分类讨论：或，求出，即可． 【详解】（1）∵点，，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为：，顶点坐标点， 设点， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， 当， ∴， 整理得：， ∴或， 当时，解得：； 当时，解得：； ∵点在抛物线的右侧， ∴， ∴综上所述，， ∴点； 当， ∴， 整理得：， ∴或 ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∵点在抛物线的右侧， ∴， ∴， ∴点， 综上所述，点或． 12．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)直接写出a、b的值； (2)如图1，连接，D在线段上，过D作轴于点F，交二次函数图像于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标． (3)如图2，点G的坐标，作直线，点H在y轴的负半轴上，连接交直线于M，点N在该平面内运动，当以O、H、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键， （1）分别将点和点代入表达式进行求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设出点D、点E坐标，表示出，然后再根据的面积是的面积的求出，从而得到方法求解，进而完成解答； （3）先求出直线、的解析式，然后联立求得，即；再分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：将和代入， ， 解得：． （2）解：设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴， 设D点坐标为，， ， ∵， ∴、的边上的高相等， ∵的面积是的面积的， ∴, ∴， 解得：或6， ∴D点的坐标为或． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则有：， 解得：， 即， 设，则， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 即， 联立， 得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； ①当均为边时，则， ∴，即， 化简得：， 解得：或16（正值舍去）； ∴； ②当为边时，为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：, ∴， 解得：或18（正值舍去）， ∴； ③当为对角线，为边时，, ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 综上，或或． 题型六：二次函数综合之定值定点问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③(2)线段的长度是定值(3) 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【详解】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 2．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)1(3)经过定点，见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）先求出A，B，P点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，然后求出与y轴的交点，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即点P的坐标为， 令， 解得：，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得：， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， ∴， 当时， 整理得∶ ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 整理得，， ∴直线经过点． 3．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)①；②是， 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）①由的面积，即可求解；②求出点，则点，得到，由点M、N的坐标得， 即可得出结论． 【详解】（1）​解：对于， 当时，， 令，则或3， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①时，一次函数的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：，则， 设点，则点， 则的面积， 即的面积最大值为； ②是定值，理由： 联立一次函数和抛物线的表达式得：， 则， 则， 则，即，点， 得到， 由点M、N的坐标得，， 则，则，为定值． 4．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出的度数为_______ °； (2)连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； (3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 【答案】(1)45(2)①是定值，；②(3)的最大值为 【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点H作，延长交于点N，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ，绕点B顺时针旋转交边于点F， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； （2）①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作， ， ， ， ， 由（1）得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； （3）如图，过点H作，延长交于点N， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 5．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】(1)①，；②或(2)为定值，理由见解析 【分析】（1）当时，二次函数为．令，则可求出点，令，则可求出点，，采用待定系数法即可求出直线的函数解析式； ②过点作平行于轴的直线，交线段于点，根据点A，B，C的坐标即可求得，从而，设，则点，根据即可求得a的值，从而解答； （2）设点D的坐标为，点的坐标为， 由直线与不重合，得到且，且，，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，证得，得到，从而，因此，化简即可得到，从而点的坐标为，根据待定系数法求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，令，得到，由点的横坐标为t，得到，从而，为定值． 【详解】（1）解：当时，二次函数为． ①令， ， ∴点C的坐标为， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得 直线的函数表达式：． ②过点作平行于轴的直线，交线段于点， ∵，，， ∴，， ∴， 由面积是面积的4倍，得． 设，则点 解得或， ∴或． （2）解：∵二次函数， 令，则， ∴， 令，则，解得，， ∴， 设点D的坐标为，点的坐标为， ∵直线与不重合， 且，且，， ∵，点， ∴， 过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G， ∴， 设交y轴于点H， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ． 点的坐标为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， ，解得， 点的横坐标为t， ， ，为定值． 7．（2024·江苏南通·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点． (1)求b的值； (2)求点E的纵坐标； (3)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)(3)是， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）求出一次函数与坐标轴的两个交点，根据面积公式结合，求出的值即可； （2）设，点的横坐标为，则点的横坐标为，求出的解析式，令，整理，得：，韦达定理得到，把代入的解析式中，求出点的纵坐标即可； （3）设直线的解析式为，令，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，进而求出坐标，利用两点间的距离公式，求出，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）设，点的横坐标为，则点的横坐标为， 设直线，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 由（1）可知，， 令，整理，得：，则：是方程的两个实数根， ∴， 将代入，得：； ∴点的纵坐标为； （3）是定值： 设直线的解析式为， 令，整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， 由（1）（2）可知：点的纵坐标为， ∴当时，，当时， ∴，， ∴， ∴ ； ∴的值为定值． 8．（2024·江苏苏州·二模）如图（1），已知二次函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．连接，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______；（用含有的代数式表示） (2)如图（2），若平分，若点是二次函数图象上的点，且在直线下方． ①若对称轴与直线交于点，试说明与相等； ②求二次函数的表达式； ③点到直线距离的最大值为______； ④直线，分别交轴于点，，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，(2)①见解析；②；③；④是定值4 【分析】（1）令，解方程求得的值，可求得点的坐标，配成顶点式，即可求得顶点的坐标； （2）①利用平行线的性质结合等角对等边可求得； ②用表示点和点的坐标，得到的值，利用待定系数法求得直线的解析式，用表示点的坐标，根据列式计算求解即可； ③设点的坐标为，利用三角形面积公式求得的面积关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； ④证明和，用表示出和的长，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得或； ∴，， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意作图， 平分， ， 对称轴与直线交于点， 在抛物线对称轴上， 轴， ， ， ； ②把代入，得， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得：，解得：， 即直线的解析式为， 把代入，得， 点的坐标为， ， ， ，即， 解得，，， ， ， 二次函数的表达式为； ③设点的坐标为，点到直线的距离为， 过点作轴，交于点， 由直线的解析式为，得点的坐标为， 点是二次函数图象上的点，且在直线下方， ， 由②知，，则， ； 由，即当的面积取最大值时，取最大值， 由（）， 当时，取得最大值， 即，得， 点到直线距离的最大值为； 故答案为：； ④是定值，理由如下： 过点作轴，垂足为点， 由点的坐标为，则点的坐标为， 轴， ∴轴， ， ，即， 得， 轴， ， ，即， 得， ． 题型七：二次函数综合之与几何探究综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32(2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 2．（2025·江苏盐城·一模） 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【答案】（1）任务1：；；；任务2：或；任务3：有2个最佳定位点，分别为， 【分析】任务1：由题中数据，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务2：由题意，分两种情况，作出图形，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务3：由区域乙的面积为，结合任务2中所求区域乙的面积函数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：任务1，如图所示： 正方形中，，， 区块Ⅰ的面积； ， ，，则区块Ⅱ的面积； 区块Ⅲ的面积; 故答案为：；；； 任务2，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ， ， ； 当为中点时，是等腰三角形，且，此时； 综上所述，或； 任务3，由任务2可知或， 区域乙的面积为， ，且满足， ，则， ，即， 解得，或， 则或， ， ， 的结果为整数， 必须是偶数，则可取， 即有2个最佳定位点，分别为，． 3．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）， 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）类似（1）证明即可； （3）过B作于M，过D作于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可； （4）类似（1）证明，得出， ，设，则，过A作于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点 ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，经检验符合题意； （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （3）∵，，D为的中点， ∴，， ∴， 过B作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意； （4）解：∵，，， ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 设，则， 过A作于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或 【分析】（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值； ②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得． 【详解】解：（1）当时，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：，． （2），，证明如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）①当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32． ②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直径， ∴正方形的面积， 由（3）①已得：， ∴， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或． 5．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①，当时，的最小值为；②当时，为或． 【分析】（1）先证明，，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过B作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为，结合，再解方程可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点B与点D关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且，为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为， ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或． 6．（2025·江苏·模拟预测）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．    特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3），最小值18 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接交于，由（1）知，，，    ∴， ∴，，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴与的函数表达式：， 由， ∴其最小值为18． 7．（2025·江苏盐城·一模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成△ABC（如图2），当点在不同位置及取不同的大小时，△ABC的面积也不同．         【提出问题】△ABC的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图3，当时，试求与的函数关系式，并判断此时△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点在什么位置？如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，△ABC的面积存在最大值，(2)的长为或 (3)△ABC的面积存在最大值，最大值是，此时，点是的中点 【分析】（1）先构建图形，求解，再利用面积公式建立函数关系式即可； （2）当时，利用面积公式可得．当时，过作于，则，可得，再利用面积公式可得，利用，再建立方程求解即可； （3）分两种情况结合（1）（2）得出函数关系式，再结合函数性质即可得结论． 【详解】（1）解：此时的面积存在最大值，理由如下： 如图，过点作于点， 设，． 在中，，， ． ， ， 有最大值，此时的面积存在最大值， 当， ． （2）解：当时，． 当时，如图， 过作于， ， ， ， ， ， 解得：，， 的长为或． （3）解：△ABC的面积存在最大值，理由如下： 由（1）（2）可得： 当△ABC为锐角或直角三角形时， ， 当为钝角三角形时， ， 当时，有最大值是，此时，点是的中点． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形，则，由旋转的性质可得，证明得到，进而求出，证明得到,则； （2）过点F作交延长线于H，延长交于M，设,则四边形是矩形，则，同理可得，则,则，同理可得，即：解方程即可； （3）如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形是矩形；再证明可得，即；设，则,由勾股定理可得，最后根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）解：如图所示：过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴ （2）解：过点F作交延长线于H，延长交于M，设，则四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴, ∴， 同理可得：， ∴，即：， ∴，解得：或（舍去） 经检验：是原方程的解， ∴； （3）解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最大值8，则有最大值 9．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【答案】(1)菱形(2)(3)，理由见解析 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为； （3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵点E是的中点， ∴， ∴为过的圆的直径， 又∵， ∴为过的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）解：∵都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， 过点E作， ∴设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接， ∵都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴由勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 10．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形． (1)如图1，△ABC中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；    (2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；    (3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．    【答案】(1)是(2)见解析(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，即可判定四边形是准矩形； （2）由四边形为平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出，即可得证； （3）过点作，，则四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质求出，，，设根据相似三角形的性质求出，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则四边形是准矩形， 故答案为：是； （2）证明：四边形为平行四边形， ，且． 根据折叠的性质得，，， ， ，，， ， 四边形是准矩形； （3）解：如图3，过点作，，   四边形是平行四边形，， ，， ，， ，，， 设 ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， 长最大时，的值为． 11．（2024·江苏盐城·三模）综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． (1)折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，△BPQ的形状是______三角形． (2)剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 【答案】(1)30°，等边 (2)①x的值为或；②y与x的函数关系式为；当时，y取最大值，y的最大值为． 【分析】（1）设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形，根据性质证明，即可证明相关结论． （2）①根据矩形的性质，分，两种情况计算即可． ②设四边形的面积为y，根据构造二次函数，利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形， ∴，，且， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 故答案为：30，等边． （2）①根据前面的解答，得到，，，是等边三角形， ∴是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，，， 如图，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ②设四边形的面积为y， 根据题意，得 根据前面的解答，得到是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴y有最大值，且当时，有最大值为． 题型八：二次函数综合之其他类问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)(2)①② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 2．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上， ∴， 又， ∴ ， ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 3．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，15(2)或(3) 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个， 故答案为：，15； （2）， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”， ∴在轴上方只有3个“整数点”， 当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意； 当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意； 当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意； 当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意； 综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个． 4．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案； （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴点，， 经过点，，      解得 抛物线的函数解析式为： （2）过点P作轴交直线于点F， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴ （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接， 如图，当点P在直线上方时， ∵轴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 把代入得到， 则， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 同理，如图，当点P在直线下方时， ∵， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 【答案】（1），，，；（2）；（3）水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． （1）分别把，，，代入求值即可； （2）把代入求出即可； （3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【详解】解：（1），，为常数，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）点在二次函数，，为常数，的图象上， ， ， ， 故答案为：； （3）以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 此时，， 设拱桥所在抛物线的解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为， 当拱顶到水面的距离为时，此时， 即， 解得， 水面的宽度为． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，拋物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)若由点A、B、C组成的角满足，求m的值及点A的坐标； (2)在（1）的条件下，点D是直线上方抛物线上的动点，过点D作直线的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 【答案】(1)，点A的坐标为(2)或；(3)或． 【分析】（1）求出点C的坐标为，则，根据正切的定义求出，得到点B的坐标为，把代入得到解得，得到抛物线解析式为，进一步求出点A的坐标即可； （2）过点D作轴于点F，交于点H，求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则点的坐标为，则，证明，得到解得，即可得到答案； （3）点M的坐标为，求出抛物线的对称轴为直线，得到点C关于对称轴的对称点坐标为，根据二次函数的图象和性质进一步进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 在中，∵ ∴ ∴点B的坐标为， 把代入得到 ， 解得，， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得， ∴点A的坐标为 （2）存在，如图，过点D作轴于点F，交于点H， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； （3）∵点C向右平移4个单位得到点M， ∴点M的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点C关于对称轴的对称点坐标为 ∵抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴或 ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 7．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】： 关于x的函数（m为常数，且），经过某个定点，请求出定点的坐标． 方法一：先将等式化为的形式，再根据时有m无数多个解，求得定点的坐标为； 方法二：当时，；当时，； 解方程组解得， ∴求得定点的坐标为； 【模仿练习】 关于x的二次函数（ 为常数，且），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由． 【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）计算x与y的几组对应值，其中 ； 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数这个图象； （3）若直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围． 【答案】【模仿练习】过定点，理由见解析；【尝试应用】（1）；（2）见解析；（3）或 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的x求出对应的y． 模仿练习：将二次函数整理为：，即可求解； 尝试应用：（1）当时，； （2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象即可； （3）当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，进而求解． 【详解】解：模仿练习：过定点，理由： 将二次函数整理为：， 则当或时，或， 即过定点； 尝试应用： （1）当时，， 故答案为：； （2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象如下： （3）当时，函数表达式为：，如图， 由直线得：， 则该直线过点，如图， 设直线p和该抛物线有一个交点，直线l为：，直线q过点和， 当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点， ①由和得，直线q的表达式为： ，即； ②直线p和抛物线只有一个交点， 则联立和并整理得：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，二次函数（其中）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点，过点C的直线交x轴于点，交抛物线于另一点E． (1)用b的代数式表示a，则________________； (2)过点A作直线的垂线，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式； (3)如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，．在点P左侧的x轴上取点F，使．过点P作轴，交线段于点Q，延长线段到点G，连接、．若，试判断是否存在m的值，使的面积和的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在m的值，使的面积和的面积相等， 【分析】（1）将代入二次函数（其中），得出，即可得出结果； （2）作 于M，得出对称轴，由C、D的坐标求出直线解析式为：，将代入，，得出，由，求出， 得出，，，由射影定理得：，解得，得出，即可得出二次函数的表达式； （3）过点E作于点Q，由与相交于点E，，求出，由，得出，，由，，， 得出，求出，再由的面积，的面积，的面积和的面积相等，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（其中），， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：作 于M，如图1所示： 对称轴， 设直线解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， H在对称轴上，将代入， ∴， ∴， 由，则， ∴，， ∵， ∴， 由射影定理得：， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴ （3）解：存在m的值，使的面积和的面积相等；理由如下： 过点E作于点Q，如图2所示： ∵与相交于点E， ∴， 解得：，或（不合题意舍去），， ∴， ∵， ∴，代入得： ， ∵，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵的面积，的面积，的面积和的面积相等，， ∴， 解得：； ∴存在m的值，使的面积和的面积相等，． 9．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 第 1 页 共 254 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题08 二次函数综合解答题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题二次函数综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第18题：此题主要考查的是二次函数的综合，其中以二次函数的图象与性质、二次函数总存在性问题为主，分值12分，难度偏上； ❆徐州卷：解答题第26题：此题主要考查的是二次函数的综合，其中以二次函数的解析式、二次函数中面积问题为主，分值9分，难度偏上； ❆常州卷：解答题第28题：此题主要考查的是二次函数综合，其中以二次函数的图象与性质、二次函数与几何综合为主，分值10分，难度偏上； ❆苏州卷：解答题27题：此题主要考查的是二次函数综合，分值10分，难度偏上； 题型一：二次函数的图象与性质（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若函数的图象经过点，并与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． 求该二次函数的表达式； 若点在该二次函数图象上，且在直线上方，当的面积最大时，试求出点到直线的距离； (2)点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 2．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数（为常数，且）的顶点在直线（为常数，且）的图像上． (1)若，则顶点 ； A．在x轴上    B．在y轴上    C．不在坐标轴上 (2)若二次函数图像经过，用的代数式表示； (3)在（2）的条件下，若此二次函数与直线的另一个公共点的横坐标为，且，请直接写出k的取值范围． 3．（2025·江苏扬州·一模） 已知函数（为常数），当时，取最小值． (1)当时，求的值； (2)若且在函数的图像上，求点坐标； (3)若点和都在该函数图像上，求证：． 4．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，抛物线顶点记为． (1)对称轴方程为______；（用含的代数式表示） (2)过作轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； (3)若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 5．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 6．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求证：该二次函数的图像与轴总有两个公共点； (2)若点、和在该二次函数的图像上；且，直接写出的取值范围； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 7．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标； (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 8．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数，（，为常数）的图像分别记为、，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小． (1)求的值； (2)当，且随的增大而减小时，直接写出此时自变量的取值范围； (3)若点在上，点在上． 当时，求的最大值； 当时，无论取何实数，始终都有成立，求的值． 9．（2025·江苏·模拟预测）已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 10．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 11．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 12．（2025·江苏连云港·一模）已知二次函数． (1)①该二次函数图像的顶点坐标为（______）（用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图像的顶点不在第三象限； (2)当时，该二次函数图像的对称轴为直线，的最大值与最小值的差为5，求m的值； (3)已知一次函数，若当时，总有请直接写出b的取值范围． 13．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 14．（2025·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于P，点M的坐标为，． (1)抛物线与x轴交点坐标分别为，，求a，b的值； (2)求的最小值； (3)若 （为常数且），抛物线与的顶点记作E、F，若存在轴，请直接写出n的取值范围． 15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 题型二：二次函数综合之与角度相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求该抛物线的表达式； (2)是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 4．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 5．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________； (3)为抛物线对称轴上一动点，连接，若不小于，求t的取值范围． 8．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标． (3)令． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 9．（2023·江苏连云港·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 题型三：二次函数综合之与面积相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江苏宿迁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 6．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 7．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且△ABC为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将△ABC绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 8．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值． 12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 题型四：二次函数综合之与比值相关的问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为． (1)若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ (2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值． 2．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 3．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，点，与轴交于点，点是抛物线上一点，且横坐标是1，连接，．点是第三象限抛物线上一动点． (1)填空；______； (2)如图1，过点作交于点，连接交于点．当最大时，点是轴上一个动点，求的最大值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线经过点，点是平移后的抛物线上一点，，连接．将线段平移到线段（点、分别与点、对应）．若点、同时落在平移后的抛物线上，求点的坐标． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2024·江苏宿迁·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围； (3)经过点的直线m与射线、射线分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，它们的坐标分别为、，与y轴交于点C；直线的表达式为；点P在抛物线的对称轴上，连接，将绕点P按顺时针方向旋转一定角度得到． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如图1，若点Q恰好落在该抛物线位于第四象限的图象上，连接交于点E，是否存在最大值？若存在，请求出该数值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在点P运动的过程中，若绕点P按顺时针方向旋转得到，当有两个顶点落在该抛物线的图象上时，请直接写出点Q的坐标． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 8．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)点M为抛物线上的点，当时，求点M的坐标． 9．（2024·江苏扬州·三模）如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 题型五：二次函数综合之存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 2．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 6．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 8．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 9．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 10．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心． (1)填空：点的坐标为 ， ； (2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ． 11．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点，顶点为． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知抛物线的对称轴为直线，点为抛物线对称轴右侧上一点，过点作的垂线，垂足为，连接，若，求出点的坐标． 12．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)直接写出a、b的值； (2)如图1，连接，D在线段上，过D作轴于点F，交二次函数图像于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标． (3)如图2，点G的坐标，作直线，点H在y轴的负半轴上，连接交直线于M，点N在该平面内运动，当以O、H、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 题型六：二次函数综合之定值定点问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 2．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 3．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 4．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出的度数为_______ °； (2)连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； (3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 5．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 7．（2024·江苏南通·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点． (1)求b的值； (2)求点E的纵坐标； (3)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8．（2024·江苏苏州·二模）如图（1），已知二次函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．连接，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______；（用含有的代数式表示） (2)如图（2），若平分，若点是二次函数图象上的点，且在直线下方． ①若对称轴与直线交于点，试说明与相等； ②求二次函数的表达式； ③点到直线距离的最大值为______； ④直线，分别交轴于点，，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 题型七：二次函数综合之与几何探究综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 2．（2025·江苏盐城·一模） 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 3．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在△ABC中，，，D为的中点，为一边在右侧作△ADE，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 5．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 6．（2025·江苏·模拟预测）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．    特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 7．（2025·江苏盐城·一模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成△ABC（如图2），当点在不同位置及取不同的大小时，△ABC的面积也不同．         【提出问题】△ABC的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图3，当时，试求与的函数关系式，并判断此时△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点在什么位置？如果不存在，请说明理由． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 9．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 10．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形． (1)如图1，△ABC中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；    (2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；    (3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．    11．（2024·江苏盐城·三模）综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． (1)折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，△BPQ的形状是______三角形． (2)剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 题型八：二次函数综合之其他类问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 2．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 3．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 4．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，拋物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)若由点A、B、C组成的角满足，求m的值及点A的坐标； (2)在（1）的条件下，点D是直线上方抛物线上的动点，过点D作直线的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围________． 7．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】： 关于x的函数（m为常数，且），经过某个定点，请求出定点的坐标． 方法一：先将等式化为的形式，再根据时有m无数多个解，求得定点的坐标为； 方法二：当时，；当时，； 解方程组解得， ∴求得定点的坐标为； 【模仿练习】 关于x的二次函数（ 为常数，且），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由． 【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）计算x与y的几组对应值，其中 ； 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数这个图象； （3）若直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，二次函数（其中）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点，过点C的直线交x轴于点，交抛物线于另一点E． (1)用b的代数式表示a，则________________； (2)过点A作直线的垂线，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式； (3)如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，．在点P左侧的x轴上取点F，使．过点P作轴，交线段于点Q，延长线段到点G，连接、．若，试判断是否存在m的值，使的面积和的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由． 9．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 第 1 页 共 254 页 学科网（北京）股份有限公司 $$