精品解析：陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

榆林2024~2025学年度第二学期期中联考 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在菱形中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 4. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 实轴上 D. 虚轴上 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 在平行四边形中，点，满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 直四棱柱是长方体 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 10. 已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则向量在上的投影向量为_____. 13. 在边长为2的正方形中，挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形（如图）以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为_____. 14. 已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求向量的模； （2）若，求实数的值； （3）设为实数，求的最小值. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 18. 在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. （1）求的大小； （2）若，，求的周长. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. （1）当时，求； （2）当时，求； （3）如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林2024~2025学年度第二学期期中联考 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，所以，因此复数的虚部为. 故选：C. 2. 在菱形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的减法法则和加法法则直接运算即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】与共线， 所以，解得. 故选：. 4. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 实轴上 D. 虚轴上 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义与复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为. 因此，的共轭复数在复平面内对应的点位于直线上. 故选：B. 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间的距离公式、余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】，， ，所以， 所以的面积为， 故选：C 7. 在平行四边形中，点，满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以. 故选：D 8. 如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，再在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 直四棱柱是长方体 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间体的性质属性和结构特征直接判断即可. 【详解】棱柱上下底的对应边平行且相等，侧棱平行且相等，A选项正确； 圆锥的母线长相等，则过轴的轴截面是等腰三角形，B选项正确； 直棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱，但底面不一定是长方形，则不一定是长方体，C选项错误； 棱台是用平行于底面的平面截棱锥，截完剩下的部分，则延伸侧棱可还原为棱锥，D选项正确. 故选：. 10. 已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】应用内角和及诱导公式可判断A；应用正弦定理及正弦的差角公式可判断B；应用诱导公式可判断C；应用数量积的含义及锐角三角形的定义可判断D. 【详解】A选项：，则，且， 则，A选项正确； B选项：，由正弦定理， 可得， 整理可得，则， 且B、A均为三角形内角，则符合条件，即，三角形等腰，B选项正确； C选项：，则或， 即或，三角形为等腰或者直角三角形，C选项错误； D选项：，则仅可判断出为锐角，无法判断其他角的大小，三角形的形态不一定是锐角三角形，D选项错误. 故选：. 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角形外心、重心、垂心的性质以及向量的运算法则来逐一分析选项． 【详解】对于A，已知为的重心，为中点，则有， 又，所以. 而，那么， 已知，，则，故A错误； 对于B，设为中点，则，. 因，且，则，故B正确； 对于C，因为垂心，则，即，即，故C正确； 对于D，因为，，三点共线，且，，，，. ，，. 则要证明，只需证，即证. 由， 又，可得，即成立，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则向量在上的投影向量为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为向量，， 则向量在上的投影向量为. 故答案为：. 13. 在边长为2的正方形中，挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形（如图）以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱及球的体积公式即可求解. 【详解】由题意可知以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周得到的几何体是： 底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个半径为1的半球， 所以体积为：， 故答案为： 14. 已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 【详解】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标确定复数的代数形式，再结合乘法运算及模长公式即可求解； （2）由第四象限实部虚部需满足的条件构造不等式求解即可. 【小问1详解】 ，在复平面上对应的点分别为，， ，，， . 【小问2详解】 ， ，解得，实数的取值范围为 16. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求向量的模； （2）若，求实数的值； （3）设为实数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据向量垂直，得数量积为0，即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，且，，. ，. 【小问2详解】 ， ， ，，，，解得 【小问3详解】 ， 当时，取得最小值为. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由余弦定理结合重要不等式求解面积的最大值即可. 【小问1详解】 ，， ， ，又，，即， 又，. 【小问2详解】 ，，，， ，当且仅当时等号成立， . 面积的最大值为. 18. 在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. （1）求的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由平分得，即，又由余弦定理有，即可解得，进而得的周长. 【小问1详解】 ，由正弦定理有 ， 又，，. 又，，， 即. 【小问2详解】 平分，，， ， 即，即， 即，① 由余弦定理得，即.② 将①代入②得， 解得，或（舍去）， 的周长为. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. （1）当时，求； （2）当时，求； （3）如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 【答案】（1）1 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，由，计算即可； （2）当时，，又，，由两个向量夹角的余弦值的计算公式求解即可； （3）依题意将表示为基向量利用数量积求解即可. 【小问1详解】 当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系， . ，即. 【小问2详解】 当时，，又，， ， ， . 【小问3详解】 依题意，，，. ，， ，， ， 又由（2）知，当时，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $