精品解析：重庆市“大一联盟”2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

重庆高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 箱子中装有3个不同的白球、1个黑球和4个不同的绿球，现从中取出1个球，则不同的取法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类计数原理可求解. 【详解】不同的取法有种. 故选：A. 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 3. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合排列的思想分别求出甲和乙相邻且丙和丁相邻的排列数，即可求出概率值. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有种， 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有种， 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为. 故选：B. 4. 某市在一次降雨过程中，降雨量（单位：）与时间（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的降雨强度是时的降雨强度的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出导数值的比值即可. 【详解】设，求导得，则， 所以在时的降雨强度是时的降雨强度的. 故选：C 5. 某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（ ） A. 0.021 B. 0.022 C. 0.023 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得，任取1件产品且抽到不合格品的概率为 . 故选：B 6. 函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的导数求导法则可得，结合函数图象以及函数的导数的意义求解即可. 【详解】由题可知，由图可知当时，， 当，，所以的解集为. 故选：D. 7. 现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A. 112种 B. 146种 C. 192种 D. 168种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求解. 【详解】对1，4，5染色，有种方法.若1和3同色，则不同的染色方法有种； 若1和3不同色，则不同的染色方法有种. 综上，不同的染色方法有168种. 故选：D. 8. 已知是奇函数的导函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可分类讨论确定的正负，两边同时乘以对原式进行化简，则可利用导数的乘法运算法则构造函数,再求导，利用函数的单调性判断大小. 【详解】当时，，则由，得； 当时，，则由，得． 令，则， 故g（x）在上单调递增，在上单调递减． 又f（x）是奇函数，所以是偶函数， 故，即，， 即． 与和的大小关系不确定． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） -1 0 1 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所有离散型随机变量每个取值对应概率之和等于1列出方程求出，再根据期望和方差及其性质的计算公式以及性质即可逐一判断选项． 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 所以，， 所以，. 故选：ABD 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可． 【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象在点处的切线方程是 C. D. 若关于的不等式恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求导求得单调区间可判断A；进而求得最小值判断B；求得函数在处的切线方程，令令，进而求导可得，进而可得两数的大小判断C；恒过点，的图象过点，进而求得切线方程判断D. 【详解】由，可得，令，解得， 当，，则在上单调递减， 当，，在上单调递增，故，故A正确； ，，故函数的图象在点处的切线方程是，即，故B错误； 令，则，则在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时，等号成立， 故，令，则，故，故C错误； 恒过点，的图象过点，由， 所以在点处的切线方程为， 结合与的图象，可知D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为_____. 【答案】10 【解析】 【分析】对和分类讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】若3个数字中没有0，则组成的偶数的个数为； 若3个数字中有0和2，则组成的偶数的个数为； 若3个数字中有0，没有2，则组成的偶数的个数为. 所以从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，分离变量得，通过令，求得最大值即可. 【详解】由题可知在上恒成立，所以， 故，令， 由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.把向上、下、左、右四个方向的步数分别记为，，，，则.通过分析，，，的取值计算概率即可. 【详解】把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，则. 若蚂蚁移动到圆的内部，则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况. 若蚂蚁移动到原点，则，，故，或，或，有种走法； 若蚂蚁移动到点（1，1），则，，故，，，或，，，，有种走法. 由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且． （1）求m的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用赋值法即可求解. 【小问1详解】 令，得； 令，得． 因为，所以，故． 【小问2详解】 令，得， 因为，所以． 16. 已知函数在处有极值. （1）求，的值； （2）过原点作曲线的切线，求的方程. 【答案】（1），. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据极值及极值点列式求参； （2）先设切点，再求导得出切线斜率，再根据切线过原点列式求参，最后求出切线方程即可. 【小问1详解】 ， 由题可知， ， 解得，. 【小问2详解】 设切点为，则，切线的斜率， 切线的方程为， 因为切线过原点，所以， 整理得，解得或. 当时，，此时切线的方程为； 当时，，此时切线的方程为. 所以切线为或. 17. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：当时，的最小值不大于． 【答案】（1）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，由（1）可知． 令，， 则， 因在上单调递减， 则在上单调递减，且， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，故， 所以，故当时，的最小值不大于． 【解析】 【分析】（1）函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性即可； （2）根据（1）的结论，可得，依题需证，故构造函数，求其在上的最大值，再证明最大值不大于0即可. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，的单调递减区间为； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 18. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. （1）求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. （2）两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. （3）甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； （2）先求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标”概率，再求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标，且是甲命中目标”的概率，再结合条件概率公式即可求解； （3）根据题意求出甲射击次数的分布列，利用期望公式求出期望，然后利用求出临界值和，判断与大小，即可得出最大值. 【小问1详解】 设事件M为“甲射击的命中目标”；事件N为“乙射击的命中目标”； 由题意，，所以， 两人各射击一次，都没有命中目标的概率为， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为. 【小问2详解】 设事件为“两人各射击一次，只有一个人命中目标”，事件为“两人各射击一次，甲命中目标”， 所以， ， 则所求概率为. 【小问3详解】 设甲射击的次数为，所有可能取值为， ， 所以的分布列为 则， 令，则， ，因单调递减， 当时，，即； 当时，，即 又 所以， 所以当时，甲射击次数的期望最大. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）函数与为“三阶相似函数”，理由如下： 令，则， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递减，在和上单调递增. ，，，， ∴存在，，，使得，即，，， ∴函数与为“三阶相似函数”. （2）（i）； （ii）证明如下： 根据题意得，不妨设. 构造函数， 则. 当时，，，则，得在上单调递减， 有，即. 将代入不等式，得，又， 所以， 又，，在上单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）令，求导判断函数的零点个数可得结论； （2）（i）在上有两个不相等的实数根，变形两边取对数，进而构造函数，可求得的取值范围；（ii）根据题意得，不妨设. 构造函数，利用导数判断，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为与为“二阶相似函数”， ∴在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得.记，易知在上是增函数， 故可等价于，即. 记，则，得在上单调递减，在上单调递增，有最小值，故，即的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第三节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 箱子中装有3个不同的白球、1个黑球和4个不同的绿球，现从中取出1个球，则不同的取法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 3. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某市在一次降雨过程中，降雨量（单位：）与时间（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的降雨强度是时的降雨强度的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. D. 5. 某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（ ） A. 0.021 B. 0.022 C. 0.023 D. 0.04 6. 函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 7. 现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A. 112种 B. 146种 C. 192种 D. 168种 8. 已知是奇函数的导函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） -1 0 1 A. B. C. D. 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象在点处的切线方程是 C. D. 若关于的不等式恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 从0，1，2，3中任选3个数字组成一个三位数，组成的偶数的个数为_____. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____. 14. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且． （1）求m的值； （2）求的值． 16. 已知函数在处有极值. （1）求，的值； （2）过原点作曲线的切线，求的方程. 17. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：当时，的最小值不大于． 18. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. （1）求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. （2）两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. （3）甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $