精品解析：甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

嘉峪关市第一中学2024-2025年第二学期阶段性考试（一） 高一数学试卷 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算的规则求出结果． 【详解】. 故选：C 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在菱形中一定有 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误； 对于B，若时，则与方向不确定， 故与可能共线也可能不共线，故B错误； 对于C，由菱形，可且， 所以，一定有，故C正确； 对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量， 规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量， 故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即得. 【详解】由正弦定理可得，所以. 故选：A. 4. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可 【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平方关系、商数关系求出，再根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，，可得，从而，． 故选：A. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 7. 在中，已知，且满足，则的面积为 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】在中，已知，∴由正弦定理得， 即，∴＝＝，即＝. ∵ ，∴的面积． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题． 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示判断所给两向量是否共线即可. 【详解】对于A：因为零向量与任意向量共线，故与不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为， 所以与不共线，可以作为基底，故B正确； 对于C：因为， 所以与不共线，可以作为基底，故C正确； 对于D：因为， 所以与共线，不可以作为基底，故D错误. 故选：BC. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合辅助角公式化简计算可得，结合诱导公式和两角差正弦公式可得，由此可比较大小，确定结论. 【详解】由已知， 因为 所以， 又， 所以， 故选：BCD. 11. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件结合大角对大边可得，结合正弦定理可得，判断A，对于B，结合两角和正切公式化简条件可求，由此可求，再求，判断B，对于C，结合余弦定理化角为边，化简可得，判断C，对于D，结合正弦定理化边为角，化简可得，判断角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 对于A，因为，由大角对大边可得，所以， 所以，A正确； 对于B，因为， 所以， 若，则， 所以，矛盾， 所以，故， 所以，又， 所以，所以， 所以是钝角三角形，B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形；C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 又，，， 所以，则是等边三角形，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量的数量积的坐标运算可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 13. 设，是方程的两个根，则的值为_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】 由是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出及的值，然后代入公式求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴，， 则 故答案为： 14. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即，解得. 在中，，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 利用向量数量积的定义求解； （2），代入已知数据求解即可； （3）利用向量垂直数量积为0，求实数的值. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，即. 所以. 解得 . 16. 已知，为第一象限角，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合角的范围及同角关系可求，，再结合两角和正弦公式求结论； （2）结合（1）及商的关系可求，结合二倍角公式及商的关系可得，代入数值可得结论. 【小问1详解】 因为，为第一象限角， 所以， 因为，， 所以， 所以， 【小问2详解】 由（1），，所以， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别是为的面积，且. （1）求角； （2）已知，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理可得，可求； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由，可得. 又由余弦定理可得，所以， 所以，即. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立. 所以的面积. 即面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）在中，，且锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把化简为，即可求出值域； （2）先求出角，利用余弦定理即可求出b. 【小问1详解】 由已知可得 ， 由可得. 所以， 故函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即， 又因为，可得， 可得：，得， 由以及余弦定理得， 所以. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换可得，结合三角形内角性质即可求的大小； （2）由余弦定理可得，根据，结合数量积的运算律有，联立所得方程求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 则， 在中，故，又，故. 【小问2详解】 由，得， 由题意，则， 即，解得， 故的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第一中学2024-2025年第二学期阶段性考试（一） 高一数学试卷 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在菱形中一定有 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，且满足，则的面积为 A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 13. 设，是方程的两个根，则的值为_________． 14. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若，求实数的值. 16. 已知，为第一象限角，，. （1）求； （2）求. 17. 在中，内角所对的边分别是为的面积，且. （1）求角； （2）已知，求面积的最大值. 18. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）在中，，且锐角满足，求的值. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $