精品解析：江苏省淮安市淮安区2024-2025学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题

2024-2025学年度淮安区第二学期期中学业水平质量监测 高一数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题（共8小题满分40分） 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，得到复数对应点坐标，求出所在象限. 【详解】， 所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限. 故选：C 2. 已知点，则与向量方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合与向量方向相反的单位向量，即可求解. 【详解】由点，可得，且 则与向量方向相反的单位向量. 故选：B. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可. 【详解】因为,所以, 所以, 又因为,所以, 则在上的投影向量为. 故选：A. 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以 则，即，故. 因为，， 所以， 当时，所以或. 若，则. 若，则. 当时，（舍去）， 因此的形状为直角三角形. 故选：C 5. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得,，然后先在中利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理求出，从而可求出DE的长度 【详解】因为，，， 所以,， 在中，由正弦定理得， ， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得， 所以， 所以, 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】, ,, ,, ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了角变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题. 7. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 8. 已知锐角三角形ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由条件结合余弦定理和三角函数恒等变换，得，然后利用正弦定理表示出b，c，得到周长的表达式，最后利用锐角三角形得到A的范围，并结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 又，，，所以，即，故． 由正弦定理，得， ， 故的周长， 因为为锐角三角形，所以，得， 在上单调递减， 所以， 故的周长的取值范围为． 故选：B 二､多选题（共3小题满分18分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,先由是BC中点得，设单位向量、，根据条件知与共线，推出AM是角平分线，又是中点，得等腰且，从而判断是投影向量. 对于选项B，对变形得，因两三角形高相同，根据底边比求面积比. 对于选项C，由向量夹角两两相等得夹角为，通过求，利用向量运算及数量积公式计算，再开方得结果. 对于选项D,坐标法计算数量积得关于的二次函数，根据二次函数性质求取值范围. 【详解】对于A，两边平方得，即，即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，则是在方向上的投影向量，故A正确； 对于B，因为，所以点在线段上，如图所示 取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，则有且，所以的高是的高的，所以，故B错误； 对于C， ，，故C正确； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系 易知直线的方程为，设， 因为，所以， ， 又，所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为3， 所以，即，故正确． 故选：ACD 11. 设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理确定范围判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求面积的最大值判断B；利用余弦定理，结合基本不等式求出周长最大值判断C，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由有2个及正弦定理得且， 因此的取值范围为，A正确； 对于B，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 由，所以面积的最大值，B错误； 对于C，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，C正确； 对于D，由为锐角三角形，得，， 由正弦定理得，D正确． 故选：ACD 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设,，利用的面积和点到直线的距离公式，求得，再根据平面向量数量积的坐标运算进行计算即可得出结论． 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系， 因为弧在圆上，设,，则， 设点到直线的距离为， 由，可得， 由，，， 可得直线的方程为：，即， 故点到直线的距离， 因为在直线上方，所以， 所以，故， 由，，， 可得 ， 则的值为1． 故答案：1． 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 设复数，. （1）若是实数，求； （2）在复平面内，复数所对应点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据复数的乘法运算公式，以及共轭复数，即可求解； （2）首先根据复数的除法计算公式求解，再根据复数的几何意义，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则； 【小问2详解】 ， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得. 16. 已知向量满足与的夹角为. （1）求； （2）当为何值时，向量与垂直？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求出模. （2）利用垂直关系的向量表示列式，再利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由与的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 由向量与垂直，得 ，解得， 所以当时，向量与垂直. 17. 在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足__________. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：根据余弦定理，结合正弦定理进行求解即可；若选②：根据正弦定理，利用三角恒等变换可求解；若选③：利用正弦定理，结合诱导公式及二倍角的正弦可求解. （2）由，结合正弦定理可得，求得，可求面积的取值范围. 【小问1详解】 选择①，， 由余弦定理， ，， 又，，， ，； 选择②，因为，所以， 由正弦定理可得， 则，， 又，所以，因为，所以； 选择③，由，由正弦定理可得， 又，所以，则， ，则，则， ，则，故； 【小问2详解】 ，由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，故， 则，，， 所以. 18. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 【答案】（1）最大值为，的取值集合为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若，，则， 当时，即，，函数有最大值， 函数的最大值为，对应的取值集合为； 【小问2详解】 ， 令，所以， 所以，， 即，，所以； 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以， 即，， 所以成立， 且， 则， ， 当时有最小值， 所以的最小值为. 19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，据此即可证明； （2）①过点作于，连，，令，在中利用勾股定理求出，据此即可求出点到平面的距离； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，据此即可求解. 【小问1详解】 连接，， ，为的中点，， ，为的中点，， 平面， 又平面，； 【小问2详解】 ①过点作于，连，， 平面平面，， 平面，令， ， ，， 则，，， 平面，， 在中，由，得，， ，故点到平面的距离为； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， ，， 是的中位线，， ，， ，， ，， ，所以平面为平面与平面的公共垂面， 故，在中，，， 可求得，又，， 则. 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于令，在中利用勾股定理求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度淮安区第二学期期中学业水平质量监测 高一数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题（共8小题满分40分） 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知点，则与向量方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 5. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题满分18分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 11. 设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为3 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 在中，，，，若为中点，则长为________. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________． 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 设复数，. （1）若是实数，求； （2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16. 已知向量满足与夹角为. （1）求； （2）当何值时，向量与垂直？ 17. 在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对边分别为，且满足__________. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 18. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 19. 在三棱锥中，，，，，中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$