精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

普集高中2024—2025学年度第二学期高一年级期中考试数学试题 高一数学 考试模块：必修第二册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（ ） A. B. 17 C. 5 D. 6. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. 存在，使得 C. D. 当，时，的取值集合为 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C 若，则共线 D. 若，则 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程的根是 11. 如图，若内有一点P，使得，则称点P为布罗卡尔点，为的布罗卡尔角.记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，布罗卡尔点为P，布罗卡尔角为，的面积为S，则（ ） A. 若为正三角形，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则，，的外接圆半径之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 13. 若复数满足，则_______. 14. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值 16. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边. （1）若，求； （2）若，，，求. 17. 已知复数满足为纯虚数 （1）若的实部为2，求； （2）若为实数，且，求最大值 18. 若点A，B，C都在半径为的圆上，且存在实数x，y，z，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”. （1）若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：； （2）若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围； （3）若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值 19. 如图，某开发区有一边长为正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普集高中2024—2025学年度第二学期高一年级期中考试数学试题 高一数学 考试模块：必修第二册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等得出，计算求值. 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D. 4. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得出，然后得出，进而根据复数的几何意义得出答案. 【详解】， 则， 所以在复平面内对应的点的坐标为（-2，-3），位于第三象限. 故选：C. 5. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（ ） A. B. 17 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】在复平面内每个小方格的边长均为1，由图可得，， 所以，则． 故选：A． 6. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. 存在，使得 C. D. 当，时，的取值集合为 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长关系判断A，根据线性关系判断B，结合绝对值三角不等式判断C，根据共线的坐标运算判断D. 【详解】由可得，A错误； 设向量，的夹角为，两边平方得， 所以，向量，同向，，B错误； 由，同向及得，C正确； 当，时，由，同向得，解得或， 当时，反向，舍去，符合条件，D错误. 故选:C. 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理化简求解即可. 【详解】由及正弦定理、余弦定理得， 所以，所以. 故选：A. 8. 在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得点为的中点，再应用向量加法几何意义及共线向量定义，利用基本不等式求数量积的范围. 【详解】由，得，所以，点为的中点， 所以， 当且仅当点为中点时取等号，且， 故的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程的根是 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数虚部的定义可以判断A选项；根据复数运算法则以及共轭复数的定义可以判断B选项；取，验证，即可判断C选项；通过配方求一元二次方程的根以及即可判断D选项. 【详解】对于A，的虚部是，A错误； 对于B，设，，则，，，，又，所以，B正确； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，由得，，，D正确. 故选：BD. 11. 如图，若内有一点P，使得，则称点P为的布罗卡尔点，为的布罗卡尔角.记中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，布罗卡尔点为P，布罗卡尔角为，的面积为S，则（ ） A. 若为正三角形，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则，，的外接圆半径之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用正弦定理判断A；由及三角形面积公式判断B；由等面积法得，再由余弦定理得，即可判断C；设，，的外接圆半径分别为，，，应用正弦定理得到、、，即可判断D. 【详解】A，在中，，，所以， 所以，，错误； B，，正确； C，由，得， 余弦定理可得，，， 三式相加整理得，所以，正确； D，的外接圆半径， 设，，的外接圆半径分别为，，， 则， 可得， 则，同理可得，， 所以 ，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 13. 若复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入化简，利用复数相等的定义可得，即可求得. 【详解】设，则， 所以， 则，即，，所以. 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，结合，即可求得，第一空得解；在中，求出的正余弦值，然后利用求得，再结合正弦定理即可得求得第二空. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以， 因为，所以，. 因为，所以， ， 在中，由正弦定理得. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，，， 因为与垂直， 所以. 解得或. 16. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边. （1）若，求； （2）若，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合两角和正弦及诱导公式求解； （2）法一：根据余弦定理计算得出，再应用正弦定理计算求解；法二：应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及两角和正弦公式计算求值. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 因为，， 所以. 【小问2详解】 法一：因为，，， 由余弦定理得，即， 解得（负值舍去）， 由，得， 由正弦定理得，得. 法二：由及，得， 由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 所以. 17. 已知复数满足纯虚数 （1）若的实部为2，求； （2）若为实数，且，求的最大值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数概念，设，再化简，根据的实部为2，建立方程，求出得解 （2）由（1）知，化简，根据为实数，建立方程求出，最后运用三角不等式计算即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数，设（，且） 则， 因为的实部为2，所以，，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为为实数，所以，， 所以，， 因为， 所以，即的最大值为. 18. 若点A，B，C都在半径为的圆上，且存在实数x，y，z，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”. （1）若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：； （2）若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围； （3）若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，两边平方可得证； （2）同（1）可得，根据三角函数的值域求解； （3）同（1）得，化简再利用基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 因为，，关于圆O的“和谐数对”为， 所以，即， 两边平方得， 所以，. 【小问2详解】 因为，，关于圆O“和谐数对”为， 所以，所以， 两边平方得， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，关于圆O的“和谐数对”为， 所以， 即， 两边平方得. 因为，且为锐角三角形，所以， ， 所以， 所以， 所以， 整理得， 解得或 因为为锐角三角形，且， 所以，，， 所以，当时取等号，所以的最大值为. 19. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 【答案】（1）150m （2） 【解析】 【分析】（1）在中，结合余弦定理求出的长度，在用的长减去的长度， （2）根据健身区的面积占整个场地面积的求出的长度，再求出的长度，再结合相似求出的长度，从而求出的面积. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， 所以. 故小路的长为. 【小问2详解】 由题知，的面积为， 又，所以，所以， 由是中位线易得，所以， 带入解得， 所以. 故休闲区的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$