精品解析：河北省沧州市运东五县2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

24-25年度高一期中考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件及平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 3. 下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合旋转体的定义，即可求解. 【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥， 根据旋转体的定义，可得B项，符合题意. 故选：B. 4. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得,，然后先在中利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理求出，从而可求出DE的长度 【详解】因为，，， 所以,， 在中，由正弦定理得， ， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得， 所以， 所以, 故选：D 5. 设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角运算求出，再由虚部为0求解判断. 【详解】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 6. 如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，底面ABCD， 则四棱锥的体积为. 故选：B 7. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 因为， 所以，得， 所以 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设外接圆半径为，则由正弦定理得， 所以， 所以的外接圆的面积是， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 复数z为实数的充要条件是 D. 已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 【答案】CD 【解析】 【分析】由复数的相关概念即可判断A，由纯虚数的定义即可判断C，由复数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，不全是实数的两个复数不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则， 若为实数，则，此时； 反之，若，即，则，为实数，故C正确； 对于D，设，由可得， 即，它表示以原点为圆心，半径为的圆，故D正确； 故选：CD 10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（　　） A. D1C∥平面A1ABB1 B. A1D1与平面BCD1相交 C. AD⊥平面D1DB D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1 【答案】AD 【解析】 【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确. 【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1， 所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确； A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误； ∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误； 因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确. 故选：AD 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】取中点，利用向量运算判断A；设，利用三角形面积公式结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律计算判断CD作答. 【详解】取中点，连接，如图， 由，得，因此点共线， 且，A正确； 设，由于，而，则， 由，得，显然点为的重心， 则的面积， 当且仅当，即时取等号，B正确； ，当且仅当，即时取等号，C正确； 由，得，， 因此 ，令，则， 而函数在上单调递增，值域为R，所以值域为R，无最小值，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：利用向量解决问题，可以选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据与二面角大小互补进行求解. 【详解】设二面角的大小为， 因为，，垂足为、， 所以，又，所以. 故答案为： 13. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 14. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知可以是与在上投影向量的数量积．结合图形可知当与重合时，取到最大值. 【详解】可以是与在上投影向量的数量积．如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为， 连接，，连接，交于点，易得，在上，． 过作，垂足为点，过作，垂足为点． 由题意得，，所以，， 所以，所以．易证四边形为矩形， 所以．易得， 所以． 所以当与重合时，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知向量. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若与共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，可求的模； （2）利用向量的夹角公式可求得结果； （3）由已知可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，所以， 所以 【小问2详解】 由（1）得，，，， 设与所成夹角为， 所以. 【小问3详解】 因为与共线，所以存在唯一实数，使得， 易知不共线，所以， 所以，故. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【答案】（1）证明如下： 设，连接，如图： 四边形是正方形， ∴. ∵底面，底面， ∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直；（2）先构造出直线与平面所成的角，再根据三角形的边角关系求角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，. （1）求证：； （2）求的值. 【答案】（1） 在中，有， ，即， 当时，等式显然不成立，所以， . （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形性质及两角和差的正弦公式化简即可证明. （2）利用正弦定理及得，利用三角形性质及两角和正弦公式化简得，求得，代入化简得，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理推出，且（1）得，，即， ，即， 又，，， ，即， ，或（舍去）. 19. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【答案】 （1）分别为，的中点， ， 又， ， 在中，为中点，则， 又侧面为矩形， ， ， ， 由，平面， 平面， 又，且平面，平面， 平面， 又平面，且平面平面 ， ， 又平面， 平面， 平面， 平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可； （2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案. 【详解】（1）略 (2)[方法一]：几何法 如图，过O作的平行线分别交于点，联结， 由于平面，平面，， 平面，平面，所以平面平面． 又因平面平面，平面平面，所以． 因为，，，所以面． 又因，所以面， 所以与平面所成的角为． 令，则，由于O为的中心，故． 在中，， 由勾股定理得． 所以． 由于，直线与平面所成角的正弦值也为． [方法二]【最优解】：几何法 因为平面，平面平面，所以． 因为，所以四边形为平行四边形． 由（Ⅰ）知平面，则为平面的垂线． 所以在平面的射影为． 从而与所成角的正弦值即为所求． 在梯形中，设，过E作，垂足为G，则． 在直角三角形中，． [方法三]：向量法 由（Ⅰ）知，平面，则为平面的法向量． 因为平面，平面，且平面平面， 所以． 由（Ⅰ）知，即四边形为平行四边形，则． 因为O为正的中心，故． 由面面平行的性质得，所以四边形为等腰梯形． 由P，N为等腰梯形两底的中点，得，则． 设直线与平面所成角为，，则． 所以直线与平面所成角的正弦值． [方法四]：基底法 不妨设， 以向量为基底， 从而，． ，， 则，． 所以． 由（Ⅰ）知平面，所以向量为平面的法向量． 设直线与平面所成角，则． 故直线与平面所成角的正弦值为． [方法五]：坐标法 过O过底面ABC的垂线，垂足为Q，以Q为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，AO=AB=2， 则， 所以， 所以 易得为平面A1AMN的一个法向量， 则直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为 【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键； 方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法； 方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可； 方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量. 方法五：空间坐标系法是立体几何的重要方法，它是平面向量的延伸，其关键之处在于利用空间坐标系确定位置，找到平面的法向量和直线的方向向量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25年度高一期中考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 2. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　） A. B. C. D. 4. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 5. 设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不能确定 6. 如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 7. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 复数z为实数的充要条件是 D. 已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（　　） A. D1C∥平面A1ABB1 B. A1D1与平面BCD1相交 C. AD⊥平面D1DB D. 平面BCD1⊥平面A1ABB1 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______． 13. 设复数，满足，，则=__________. 14. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知向量. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若与共线，求实数的值. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，. （1）求证：； （2）求的值. 19. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $