精品解析：湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2025年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高一期中联考 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的两个复数，求出，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数，， ∴z=， ∴复数在复平面上对应的点的坐标是 ∴在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合数量积的运算律得出，进而求出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：C. 4. 已知，均为第二象限角，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出，然后利用两角差的正切公式求值. 【详解】因为，均为第二象限角，所以，，同理可得. . 故选：A. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减， 所以有. 根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立， 则只需要，即，所以. 综上所述，. 故选：D. 6. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用偶函数的性质将自变量转化到上，再比较自变量的大小，最后根据单调性得出函数值的大小关系. 【详解】已知是偶函数，则. 因为，所以. 对于，因为，所以. 对于，且对数函数在上单调递增，所以， 又因为，综上可得. 因为在上单调递增，所以，即. 故选：B. 7. 设函数，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用半角公式和辅助角公式，化简得，然后利用整体代入的方法得到实数的取值范围. 【详解】 ，， 要使函数有2个零点，则，得. 故选：A. 8. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题目中的等式转化为关于边长的方程，结合余弦定理建立方程组，最终求解角A的值. 【详解】设， 则： 由 ，消去得： 由 ，消去得： 将余弦定理 ， 代入方程(1)和(2)，化简得： (3) (4) 联立得： 代入(3)得： 由余弦定理： ， 因为 所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 复数的虚部为1 C. 若，则方程在复数集中的解集为 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数得四则运算法则可以得到A不正确、B正确，根据复数域上一元二次方程得求解公式，可得C项正确，根据复数得几何意义可得D项圆环的面积. 【详解】对于A，设，则，化简得，不需要，所以A项不对. 对于B，，虚部为1，B项正确. 对于C，，所以，得，所以方程在复数集中的解集为，C项正确. 对于D，根据复数得几何意义可知，复数z对应的点所构成的图形为如图所示得圆环，所以面积为，所以D项正确. 故选：BCD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，，且有且仅有一个解，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦定理求出为锐角；边化角化简可得；根据正弦定理，求解即可判断C、D. 【详解】对于A项，由已知结合余弦定理可得，则为锐角.不能说明为锐角三角形.故A错误； 对于B项，由结合正弦定理边化角可得，. 又， 所以，. 所以，为等腰三角形.故B正确； 对于C项，由正弦定理可得. 又，所以，有两解. 即符合条件的有两个.故C正确； 对于D项，若，则有，此时有且仅有一个解； 若，由正弦定理可得. 当，即时，为直角，此时有且仅有一个解. 综上所述，当或时，有且仅有一个解.故D错误. 故选：BC 11. 将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 若，则x的取值范围为 D. 若方程在内恰有两个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案. 【详解】左平移个单位长度 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 向下平移个单位长度 所以，即，A项正确. 由得， 即函数的对称中心为，B项错误. 由，得，由三角函数的图象可得 ，所以x的取值范围为，C项正确. 令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则即在内恰有两个根， 所以，而，故， 故，D项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（a＞0且a≠1）的图象过定点_____； 【答案】 【解析】 【分析】令指数部分等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】对于函数（＞0且≠1），令，求得x＝1，y＝3， 可得函数（＞0且≠1）的图象过定点（1，3）， 故答案为（1，3）． 【点睛】指数函数的图象经过定点（0，1），利用这一性质可以解决本题． 13. 折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差. 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 14. 在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过题意将用表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现可以化简为关于的不等式，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意可得 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． （1）求实数m的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算得出的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案； （2）由（1）得出，然后根据共轭复数的概念得出，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 因为是纯虚数，所以有，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以， 所以. 16. 已知，，且． （1）求与的夹角． （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律展开已知化简得出.进而根据数量积的定义求解得出，结合夹角的范围即可得出答案； （2）由已知可得，且与的夹角不为，结合向量数量积的运算律以及向量共线的充要条件，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知展开可得， ， 化简可得，. 则由可得，. 又，所以. 【小问2详解】 . 则由可得，，解得. 若与共线，则，使得. 因为的任意性，所以有，解得. 时，与的夹角为， 所以，若与夹角为钝角，则且， 所以，实数的取值范围为. 17. 已知函数， （1）若，，求和（结果用m，n表示）． （2）求不等式的解集． （3）若，都有成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质可得. （2）解分段函数不等式，先利用指数和对数的性质分段求解，最后求并集； （3）参变分离，现设，求， 【小问1详解】 已知，所以，， 所以， . 【小问2详解】 当时，，所以，解得，所以； 当时，，所以，解得，所以； 综上可得，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，所以，设， 则，令， 则， 即，，所以， 所以，即， 因为，都有成立，所以，所以， 综上实数t的取值范围为. 18. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． （1）求角B的大小． （2）求的取值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等式将条件方程化简，结合锐角三角形的性质确定角B的大小； （2）通过余弦定理和三角形面积公式建立边角关系化简可得，进而可得出结果. 【小问1详解】 化简可得：， ， 整理得：， 所以，即， 因为，所以. 根据正弦定理可得：则， 又因为，所以，解得， 由于锐角三角形，所以 【小问2详解】 由余弦定理：， 所以 利用面积公式： ,代入 得： ，结合余弦定理 ,得： ，即 ,此时三角形等边三角形, , 故： 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明解析. （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【小问1详解】 因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为向量，，所以，， 所以 化简得. 【小问3详解】 ①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高一期中联考 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 4. 已知，均为第二象限角，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若函数在区间上恰有2个零点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 复数的虚部为1 C. 若，则方程在复数集中的解集为 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，，且有且仅有一个解，则 11. 将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 若，则x的取值范围为 D. 若方程在内恰有两个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（a＞0且a≠1）的图象过定点_____； 13. 折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 14. 在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． （1）求实数m的值． （2）求的值． 16 已知，，且． （1）求与的夹角． （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 17. 已知函数， （1）若，，求和（结果用m，n表示）． （2）求不等式的解集． （3）若，都有成立，求实数t取值范围． 18. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． （1）求角B的大小． （2）求的取值． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $