精品解析：　湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年上期期中质量监测试卷 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是： ， 故选：C 3. 在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握边形的内角和等于． 4. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ） A. 50米 B. 100米 C. 150米 D. 200米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】解：A、若，，，则有，故是直角三角形，该选项不符合题意； B、 若，所以， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C、若，，则， 故是直角三角形，该选项不符合题意； D、若，设，，， 则有， 解得， 所以，，， 故不是直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ） A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出∠BAC=45°，再利用等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC =45°， ∵， ∴∠ABE=∠AEB==67.5°． ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，正确得出∠BAE度数是解题关键． 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 三角形的外角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形外角和，熟练掌握相关知识点的性质定理是解题的关键． 根据矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形外角和，依次判断选项即可求解． 【详解】解：A．菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A选项错误； B．矩形的对角线相等，但不一定垂直，故B选项错误； C．平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C选项错误； D．三角形的外角和是，故D选项正确， 故选：D． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为9尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解∶设绳索长为x尺，则长为尺， 根据题意，得， 故选∶A． 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若是平行四边形，则与互相平分 D. 若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项C不符合题意； A．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； B．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在中， ． 若， 则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：在中， ，，根据勾股定理得： ． 故答案为：． 12. 在中，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ． 故答案： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解本题的关键． 13. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是______．（写出一种即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌、正多边形的内角，正确理解平面图形的镶嵌是解题关键．平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌，据此解答即可得． 【详解】解：平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌． ∵正方形的一个内角的度数为，且， ∴只用正方形可以进行平面镶嵌， 故答案为：4（答案不唯一）． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，平分， ， ， ． 故答案：6． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 17. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 18. 如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，，，取的中点，连接，则，于是，根据平行四边形的性质，得到，取的中点，连接，则，于是，于是得到解答即可． 【详解】解：根据题意，，，取的中点，连接，则， 于是， 根据平行四边形的性质，得到， 取的中点，连接， 则， 于是， 于是得到． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，规律的探索，熟练掌握性质，中位线定理，规律的探索是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题，每题6分，第21、22题，每题8分，第23、24题，每题9分，第25、26题，每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是7． 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， 解得． ∴这个多边形的边数是7． 20. 在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长. 【答案】4cm 【解析】 【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出三角形是直角三角形，再由在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求得答案即可． 【详解】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x． ∵x+2x+3x=180°，∴x=30°，∴∠C=90°． ∵AB=8cm，∴BC=4cm． 故最短的边的长是4cm． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．掌握30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 21. 如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 分析】（）利用即可证明； （）由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴的长． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，继而得到，即可得到结论； （2）先证明是等边三角形，得到，根据勾股定理得到． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 是矩形． 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ， ， 是矩形， ， 在中 ，， ． 23. 某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，． （1）求、两点之间的距离； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1） （2）17100元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． （1）直接利用勾股定理得出； （2）利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 24. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接．    （1）求证：四边形为菱形； （2）若，且的周长为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明四边形是平行四边形， 再证明，即可证明四边形是菱形； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得出，设，，得出，，求出， 再求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 是的中点，是斜边上的中线， ，， 又， ∴， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 中，，是斜边上的中线， ∴， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，     四边形是菱形， ， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， 的周长为，， ，， ， 两边同时平方可得：， 展开得：， ， 整理得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 25. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　． （3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】（1）锐角；（2）13或；（3）钝角三角形，过程见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形， ①当x为斜边时 ∴52+122＝x2， ∴x＝13； 当x为直角边时，斜边为12 ∴52+ x2＝122， ∴x= 综上：x的值为13或 故答案为：13或； （3）∵a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+， ∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0 ∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0 ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理和材料问题，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． 26. 已知线段，E是上的一点，且，以为一边在的上方作矩形，点F是边上的一个动点； （1）如图1，连接、，当____________时，四边形是平行四边形； （2）若四边形恰好是菱形，求此时矩形的另一边长的值； （3）如图2，若矩形的另一边长，连接，将四边形沿着翻折得到四边形； ①如图3，折叠后四边形的顶点M落在边上，求的值； ②折叠后的四边形的边所在的直线经过矩形的顶点时，直接写出此时的值． 【答案】（1）1 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，，进而可得当时，，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理求解即可； （3）①由由折叠的性质得，，，利用勾股定理求得，再利用求解即可；②设，则，当直线经过点D时，如图，记交于点P，证明，可得，，即可求解；当直线经过点A时，如图，连接，利用勾股定理求得，再由，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∵，， ∴， 当时，， 则，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：若四边形恰好是菱形，则， 在中，； 【小问3详解】 解：①由折叠的性质得，，，， 在中，， ∴； ②设，则， 当直线经过点D时，如图，记交于点P， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 即； 当直线经过点A时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上期期中质量监测试卷 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ） A. 50米 B. 100米 C. 150米 D. 200米 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 6. 如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ） A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 20° 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 菱形对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 三角形的外角和是 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为9尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若是平行四边形，则与互相平分 D. 若是正方形，则与互相垂直且相等 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 中， ． 若， 则 _________． 12. 中，，则______°． 13. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是______．（写出一种即可） 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 15. 如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为______． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 _____． 17. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 18. 如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为___________ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题，每题6分，第21、22题，每题8分，第23、24题，每题9分，第25、26题，每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 20. 在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长. 21. 如图，在中，，点位于上，过点作，垂足，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，． （1）求、两点之间的距离； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 24. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过点作交的延长线于点，连接．    （1）求证：四边形为菱形； （2）若，且的周长为，求的面积． 25. 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　． （3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 26. 已知线段，E是上的一点，且，以为一边在的上方作矩形，点F是边上的一个动点； （1）如图1，连接、，当____________时，四边形是平行四边形； （2）若四边形恰好是菱形，求此时矩形的另一边长的值； （3）如图2，若矩形的另一边长，连接，将四边形沿着翻折得到四边形； ①如图3，折叠后四边形的顶点M落在边上，求的值； ②折叠后的四边形的边所在的直线经过矩形的顶点时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$