精品解析：陕西省西安中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

西安中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：党江平 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若复数的实部与虚部相等（是虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的乘法将展开，利用实部与虚部相等列方程即可求解. 【详解】， 若实部与虚部相等， 则，解得：， 故选：A 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量减法的坐标表示求出，再利用平面向量平行的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得，故A正确. 故选：A 3. 在中，点是的中点，且，用向量表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算以及向量的基底表示化简判断. 【详解】如图结合条件可知，. 故选：D. 4. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：A. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出的长度，再根据余弦定理求出的值. 【详解】在中，； 由余弦定理，解得. 再根据余弦定理，解得. 故选：. 6. 已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面的位置关系结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若，，则或或直线和平面相交（包含），充分性不成立； 若，，则，必要性成立. 所以”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】设，化简得到，复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆，得到答案. 【详解】设，则， 所以，故， 所以复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 8. 在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长，和平面向量加法，解三角形，再根据正弦定理求解. 【详解】 由图可知边上的中线，因为，所以， 故，解得(负值舍去)， 又，则， 故，解得， 在中，由正弦定理可得， 故， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，不正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B, 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点,有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：ACD 10. 已知是虚数单位，以下关于复数的四个命题中说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若复数满足，则 C. 复数是方程的一个复数根 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简即可根据纯虚数的定义求解A,举反例即可求解B，代入化简即可求解CD. 【详解】对于A, 不是纯虚数，故A错误， 对于B，若,,当是虚数，故B错误， 对于C, ,故是方程的一个复数根,C正确， 对于D, 设，则，故,故，D正确， 故选：CD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设，为非零向量，则“”是“”的充要条件 B. 在中，内角的对边分别为，若，则是直角三角形 C. 设向量，，若与的夹角为钝角，则实数 D. 在中，设，，，则外接圆的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用充要条件的定义进行判断；B选项利用正弦定理将条件化简，求出可判断；C选项与的夹角为钝角，利用向量夹角公式，再考虑与不共线即可求解；D选项将转化为，结合余弦定理求出，的值，再借助正弦定理即可求得外接圆的周长. 【详解】对于A选项，当时，， ，， ； 当时，两边平方得，， ，即； “”是“”的充要条件，故A正确； 对于B选项，，， 由正弦定理得，， ， 化简得，， ，，， ，，是直角三角形，故B正确； 对于C选项，与的夹角为钝角，，且与不共线， 向量，，且， 且，故C错误； 对于D选项，，，即， ，将，代入得，， ，，， ，， 外接圆的周长是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 设，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故答案为：. 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】 【解析】 【详解】设正方体边长为 ，则 ， 外接球直径为. 【考点】 球 【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. 14. 设点是边长为2的正三角形的三边上的动点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标，写出各个点的坐标，分别讨论点在上.写出点坐标，由平面向量的坐标表示分别表示出，结合平面向量数量积的坐标运算求得，再根据二次函数的性质即可求得取值范围. 【详解】根据题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形的边长为2，则，点是三边上的动点， ，当在线段上时，设， 则 所 所以当时取得最小值为；当时取得最大值为2. ，当在线段上时， 直线的方程为， 设， 则， 所 所以当时取得最小值为0；当或时取得最大值为2. ，当在线段上时， 直线的方程为， 设， 则， 所， ， ， ， 所以当时取得最小值为；当时取得最大值为2. 综上可知，的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量在平面直角坐标系中的应用，由坐标法研究向量的数量积，分类讨论思想的综合应用，计算量大，属于难题. 四、解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算得，，即可利用数量积的运算律求解， （2）根据向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为,所以， 又因为所以， 因为所以， 所以 【小问2详解】 由题意可得, , , 所以 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：连接，设，连接， AI    在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面， 因此平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由（1）可知，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则，利用锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为的中点，， 所以. 因此. 17. 在中，已知，点在线段上.，，. （1）求的大小； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据和差角公式，结合正弦定理即可求解. 【小问1详解】 , 由于，故， 故 【小问2详解】 , 故， 在中，由正弦定理可得 18. 如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. （1）求证：平面； （2）若平面平面，证明：. 【答案】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 【解析】 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，公园里有一块三角形草坪，记为.已知，，.图中把草坪分成面积相等的两部分，点在边上，在边上. （1）设，，求关于的函数关系式； （2）如果要沿铺设灌溉水管，则水管最短时，和的位置在哪里？说明理由. 【答案】（1） （2）当，即为边长为的等边三角形时，水管最短. 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，可得，即可根据余弦定理求解， （2）利用基本不等式求解最值即可得解. 【小问1详解】 由于 所以， 在中，由余弦定理可得即， 所以 【小问2详解】 由（1）知，要使水管最短，即的取值最小， 由于， 当且仅当，即时，取到等号，故当，即为边长为的等边三角形时，水管最短. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：党江平 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若复数的实部与虚部相等（是虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 3. 在中，点是的中点，且，用向量表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，不正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10. 已知是虚数单位，以下关于复数的四个命题中说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若复数满足，则 C. 复数是方程的一个复数根 D. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设，为非零向量，则“”是“”的充要条件 B. 在中，内角的对边分别为，若，则是直角三角形 C. 设向量，，若与的夹角为钝角，则实数 D. 在中，设，，，则外接圆的周长是 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 设，则________． 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 14. 设点是边长为2的正三角形的三边上的动点，则的取值范围为______ 四、解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，. （1）求； （2）求. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 在中，已知，点在线段上.，，. （1）求的大小； （2）求的长. 18. 如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. （1）求证：平面； （2）若平面平面，证明：. 19. 如图，公园里有一块三角形草坪，记为.已知，，.图中把草坪分成面积相等的两部分，点在边上，在边上. （1）设，，求关于的函数关系式； （2）如果要沿铺设灌溉水管，则水管最短时，和的位置在哪里？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $